1.2.2 圆的一般方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

2.2　 圆的一般方程 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中______________)称为圆的一般方程，圆心坐标为_______________，半径为__________________. D2+E2-4F>0 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 方程 条件 图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以为圆心坐标， 为半径的圆 |微|点|助|解| (1)圆的一般方程形式上的特点 ①x2，y2的系数均为1;②没有xy项;③D2+E2-4F>0. (2)在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心坐标， 表示半径. (3)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　 ) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　 ) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆，则E≠0. (　 ) (4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　 ) √ × √ × 2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　) A.(-1，2)，3 B.(1，-2)，3 C.(-1，2)，1 D.(1，-2)，1 √ 解析：将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9，所以圆心坐标为(-1，2)，半径为3. 3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2) B.(-2，2) C.[-2，2] D.(-∞，-2)∪(2，+∞) √ 解析：法一:配方法　将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程 为+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0， 解得m<-2或m>2. 法二:判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0， 即m2-8>0，解得m<-2或m>2. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　圆的一般方程的概念 [例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆. (1)求t的取值范围; 解:由题意，方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆， 则满足D2+E2-4F=(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0，解得t>-， 即t的取值范围为. (2)若圆的直径为6，求t的值. 解:由圆的直径为6，可得r= = =3，解得t=. 　　|思|维|建|模| 　　方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. [提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. 针对训练 1.若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆，则b的取值范围为 (　　) A. B.∪ C. D.∪ 解析：若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆，则a=b≠0， 方程可化为x2+y2+x-y+1=0，所以1+-4>0， 解得-<b<，且b不等于0，所以-<b<0或0<b<.故选D. √ 2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　　) A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2 C.x2+= D.x2+= √ 解析：由题意得a=0，则x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0，x2+ =1+b2+，则r2=1+b2+=b2-b+，对称轴为b=， 代入得最小值为，此时圆的方程为x2+=. 题型(二)　求圆的一般方程 [例2]　已知圆M经过点A(2，-2)，B(-4，6)，C(4，2).求圆M的方程. 解:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(2，-2)，B(-4，6)， C(4，2)三个点代入得解得 所以圆M的方程为x2+y2+2x-4y-20=0， 即(x+1)2+(y-2)2=25. |思|维|建|模| 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. (3)解此方程组，求出D，E，F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 针对训练 √ 3.已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l:2x-y-3=0上，则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0 解析：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为， 因为圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l:2x-y-3=0上， 所以解得 所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0. 4.已知O(0，0)，A(2，0)，B(2，-2)，C(m，-1)四点共圆，求实数m的值. 解:设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，将O(0，0)， A(2，0)，B(2，-2)代入可得解得 所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0，将C(m，-1)代入圆的方程得m2-2m-1=0，解得m=1±. [例3]　点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; 题型(三)　与圆有关的轨迹问题 解:设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2，2y). ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解:设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 　　[变式拓展] 若本例条件不变，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 解:设T(x，y). 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在时，有kOT·kBT=-1. 即·=-1，整理得x2+y2-x-y=0. 当x=0或x=1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. |思|维|建|模|　求与轨迹问题有关的圆的方程 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 针对训练 5.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程. 解:以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系，设A(-3，0)，B(3，0)，M(x，y)， 则|MA|2+|MB|2=26，即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26， 化简得点M的轨迹方程为x2+y2=4. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0，所以m>-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为 (　　) A.4，-6　　　B.-4，-6　　　C.-4，6　　　D.4，6 √ 解析：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)，∴-=-2，-=3，∴D=4，E=-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.[多选]已知圆x2+y2-4x-1=0，则下列说法正确的是 (　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 √ √ √ 解析：x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5，即圆心的坐标为(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故A正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，直线x+3y-2=0过圆心，直线x-y+2=0不过圆心，故B、C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.圆心在射线y=x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为(　 ) A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0 C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0 √ 解析：因为圆心在射线y=x(x≤0)上，故设圆心坐标为(a≤0)， 又半径为5，且经过坐标原点，所以 =5， 解得a=-4或a=4(舍去)，即圆的圆心坐标为(-4，-3)， 则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25，即x2+y2+8x+6y=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为(　　) A.π　　　　B.π　　　　C.π　　　　D.π √ 解析：由题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∴解得D=-2，E=-，F=1， 故圆的一般方程为x2+y2-2x-y+1=0⇔(x-1)2+=， 故圆的半径r=，圆的面积S=πr2=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，则△ABC的最小覆盖圆的半径为 (　　) A.　　　B.2　　　C.　　　D.3 解析：∵A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，∴△ABC为锐角三角形，∴△ABC的 外接圆就是它的最小覆盖圆，设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则解得∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2+y2-3y-4=0，即x2+=，∴△ABC的最小覆盖圆的半径为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 (　　) A.π+2　　　B.π+4　　　C.　　　D.π 解析：当x>0，y>0时，曲线为+=， 当x>0>y时，曲线为+=， 当x<0，y<0时，曲线为+=， 当x<0<y时，曲线为+=， 同时点(0，0)，(±1，0)，(0，±1)均在曲线上，如图所示，所以围成的图形是由4个半径均为的半圆与1个边长为的正方形组成，故图形面积为4××π×+()2=π+2.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(-2，0)，B(0，-3)，点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为(　　) A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6 C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3 √ 解析：设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=.又因为|OA|·|OC|=2c=|OB|·|OD|=3d，解得c=3，d=2(舍负)，因此圆心E，r2=，圆E的方程为+=，即x2+y2-x+y=6，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若点P(1，1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是______________. 解析:易知解得-2<k<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称，则圆心C坐标为____________. (-1，2) 解析:由已知得4+m2-16>0，解得m>2或m<-2，圆C:(x+1)2+ =-3，圆心坐标为，若圆C关于直线x+2y-3=0对称， 则-1-×2-3=0，解得m=-4，所以圆心C坐标为(-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为____________. x2+y2=4 解析:设M(x，y)，则|MA|=，|MB|=.故==，两边平方并化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围;(5分) 解:原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4，若方程表示一个圆， 则-m2+3m+4>0，解得-1<m<4，即实数m的取值范围是(-1，4). (2)求圆的周长的最大值.(5分) 解:圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-4，0)，C(4，-4). (1)求△ABC外接圆O1的方程;(7分) 解:设△ABC外接圆O1的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 由已知可得方程组 解得 则圆O1的方程为x2+y2+2x+8y-8=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断点M1(3，-1)，M2(2，-3)是否在这个圆上.(3分) 解:圆O1的标准方程可化为(x+1)2+(y+4)2=25. 把点M1(3，-1)的坐标代入圆O1的方程，得(3+1)2+(-1+4)2=25， 即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上，把点M2(2，-3)的坐标代入圆O1的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25， 即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程. 解:设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 如图所示，因为平行四边形的对角线互相平分， 故==， 则即N(x+3，y-4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又点N在圆x2+y2=4上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 由于O，M，N共线时不能作▱MONP， 又lOM:y=-x，与圆P方程联立 解得或 因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4， 但应除去两点和. $$