1.1.6 第1课时 距离公式(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

1.6　 平面直角坐标系中的距离公式 距离公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.会用两点间的距离公式解决一些相关问题. 2.经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程.掌握点到直线的 距离公式. 3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两点间的距离公式 逐点清(二) 点到直线的距离公式 逐点清(三)　两条平行直线间的距离公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　两点间的距离公式 01 多维理解 条件 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2) 结论 ________________________________ 特例 点A(x，y)到原点O(0，0)的距离|OA|= |AB|= 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点A(0，a)，点B(b，0)之间的距离为a-b. (　 ) (2)点A(a，0)，点B(b，0)之间的距离为a-b. (　 ) (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1=x2，y1≠y2时，|AB|=|y2-y1|. (　 ) (4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用. (　 ) × × √ × 2.A(2，1)，B(4，2)两点间的距离为 (　　) A.3　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2 解析:由两点间距离公式得|AB|==. √ 3.已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　 D.2 解析:由两点间的距离公式及|AB|=|AC|可得， =，解得a=-2. √ 4.已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，-6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为 (　　) A.2　　　　B.　　　　C.11　　　　D.3 √ 解析:设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得 所以D(4，-2)，所以|AD|===2.故选A. 逐点清(二) 点到直线的距离公式 02 多维理解 1.点到直线的距离 定义 点P到直线l的距离，就是点P到直线l的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=__________________ (其中A，B不全为0) |微|点|助|解| (1)利用公式时直线的方程必须是一般式; (2)分子含有绝对值; (3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 2.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0，y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0，y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|. 微点练明 1.点P(-1，1)到直线l:y=-x的距离为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 解析:点P到直线l:3x+4y=0的距离d==. 2.已知点P(-1，2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1，则C的值是(　　) A.5或15　　　　B.10　　　　C.-5 　　　　D.15 解析:由点线距离公式有=1，解得C=15或C=5. √ √ 3.已知过点P(1，2)的直线l，且点A(2，3)与点B(0，-5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为 (　　) A.4x-y-2=0 B.4x-y+2=0 C.4x-y-2=0或x=1 D.4x-y+2=0或x=1 √ 解析:当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，点A(2，3)与点B(0，-5)到x=1的距离为1，符合题意.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，由于点A(2，3)与点B(0，-5)到直线l的距离相等，则=，解得k=4，故直线l的方程为4x-y-2=0， 综上所述，直线l的方程为4x-y-2=0或x=1. 4.已知直线l平行于向量a=(1，2)，并且与原点的距离为3，求直线l的方程. 解:因为直线l平行于向量a=(1，2)，所以直线l的斜率k=2， 不妨设直线l的方程y=2x+b，即2x-y+b=0， 则原点到直线l的距离d==3， 解得b=±3，所以直线l的方程为y=2x±3. 逐点清(三)　两条平行直线间的距离公式 03 多维理解 两条平行直线间的距离 指夹在两条平行直线间的__________的长 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=____________(其中A，B不全为0，且C1≠C2) 公垂线段 |微|点|助|解| (1)使用此公式的两个条件:①直线方程都为一般式;②x，y的系数对应相等. (2)①两条直线都与x轴垂直时，l1:x=x1，l2:x=x2，则d=|x2-x1|; ②两条直线都与y轴垂直时，l1:y=y1，l2:y=y2，则d=|y2-y1|. 微点练明 1.已知直线l1:2x+y-1=0，l2:4x+2y+1=0，则l1，l2间的距离为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:将直线l1方程化为4x+2y-2=0，由平行直线的距离公式得d==. √ 2.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行，则两条直线之间的距离为 (　　) A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2 解析:依题意，由两条直线平行可知2a=a2+1，解得a=1，所以两条直线分别为x+y-2=0，x+y-1=0，可得两条直线之间的距离为=，故选C. √ 3.与l:x-y+1=0距离为的直线方程为(　　) A.x-y+1+=0或x-y+1-=0 B.x-y+2=0或x-y=0 C.x-y+2=0或x-y+1-=0 D.x-y+1+=0或x-y=0 解析:依题意，设所求直线方程为x-y+m=0，则两条平行直线间的距离d==，解得m=0或m=2，所以所求直线方程为x-y+2=0或x-y=0. √ 4.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是，则m+n=(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.-2　　　　D.-1 解析:由题意两条直线平行，则=，解得n=-2，又d==，而m>0，所以m=2.所以m+n=0. √ 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是 (　　) A.x2-y2=1 B.x2+y2=0 C.=1 D.=0 解析:由两点间的距离公式得 =1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知直线y=x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于 (　　) A.4　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.2 解析:∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|==4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知点A(6，0)，P在直线y=-x上，|AP|=3，则P点的个数是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 √ 解析:因为点A(6，0)到直线y=-x的距离为=3=|AP|， 所以P点的个数是1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知点(0，1)到直线mx+3y-2=0的距离是，那么m的值是(　　) A.4 B.-3 C.4或-3 D.-4或4 解析:由题意，=，解得m=±4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知点P(-2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为 (　　) A.41　　　　B.　　　　C.　　　　D.39 解析:设M(x，y)，由中点坐标公式得=1，=0，解得x=4，y=-5.所以点M(4，-5).则|OM|==.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d，则a，d分别为 (　　) A.a=2，d= B.a=2，d= C.a=-2，d= D.a=-2，d= 解析:因为直线2x-y+3=0与直线ax-y+4=0平行，所以-2+a=0，解得a=2，所以两直线分别为2x-y+3=0和2x-y+4=0，所以d==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是 (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.　　　　D. 解析:由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P，则P到直线l:2x-y=1的距离为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:联立两条直线方程解得即P(1，2)，由点到直线的距离公式可得P到直线l:2x-y=1的距离为d==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行，故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离，故d==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.与点M(2，1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是 (　　) A.x=4 B.3x-4y-12=0 C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0 √ 解析:x=4与M(2，1)的距离为2，且在x轴上的截距为4，故x=4符合要求; 对于直线3x-4y-12=0，有d==2，且当y=0时，x=4，故也符合 要求;y=4与M(2，1)的距离为3且与x轴无交点，不符合要求.∴x=4， 3x-4y-12=0都是与点M(2，1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知直线l1:x+y-1=0，l2:x+y+a=0，且两直线间的距离为，则a=__________. -3或1 解析:由两平行直线间的距离公式得d==，即|a+1|=2，∴a=-3或a=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为__________. 解析:∵A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)， ∴|AB|====，∴当a=时，|AB|取得最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知A(-2，-3)，B(2，-1)，C(0，2)，则△ABC的面积为_______. 8 解析:由A(-2，-3)，B(2，-1)可得直线AB方程为=⇒x-2y-4=0，|AB|==2，点C(0，2)到直线AB的距离为=，所以△ABC的面积为×2×=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解:由题易知a≠0，在直线ax+2y-1=0中，令y=0，有x=，则A，令x=0，有y=，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴ =，解得a=±2.所以a的值为2或-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知直线l1:2x+3y+18=0，l2:2x+3y-8=0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离;(5分) 解:易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d==2. (2)求直线l3的方程.(5分) 解:由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x+3y+C=0(-8<C<18).由题意知l3与l1之间的距离为，所以有=，解得C=5或C=31(舍去)， 所以直线l3的方程为2x+3y+5=0. $$