1.1.5 两条直线的交点坐标(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

1.5　 两条直线的交点坐标 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　求相交直线的交点坐标 逐点清(二)　过两条直线交点的直线系方程 逐点清(三) 与三角形有关的问题 4 课时检测 逐点清(一)　求相交直线的交点坐标 01 多维理解 对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，其交点坐标就是方程组的解. (1)若方程组有唯一解，则两条直线_______，此解就是___________; (2)若方程组无解，则两条直线__________，此时两条直线_______.反之，亦成立. 相交 交点坐标 无公共点 平行 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(1，-1)在直线Ax+By=0上，则A=B. (　 ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交. (　 ) (3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. (　 ) (4)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a，b)，则a-b=4. (　 ) √ × √ √ 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为 (　　) A.-24　　　　B.24　　　　C.6　　　　D.±6 解析:联立解得因为直线2x+3y-k=0 和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，所以y==0，解得k=-24. √ 3.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限， 则a的取值范围是_____________. 解析:联立方程组解得 即交点坐标为，因为交点位于第四象限， 所以>0且<0，解得-<a<2，即a的取值范围是. 4.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; 解:联立方程组解得因此直线l1和l2相交， 交点坐标为(3，-1). (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; 解:联立方程组 ①×2得4x-12y+8=0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合. (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 解:联立方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 逐点清(二)　过两条直线交点的直线系方程 02 多维理解 (1)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). (2)求过两条直线交点的直线方程的方法 方程 组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程 直线 系法 先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 微点练明 1.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则该定点为 (　　) A.(1，3)　　　　B.(-1，3)　　　　C.(3，1)　　　　 D.(3，-1) 解析:直线方程可化为2x+y-5+k(x-y-4)=0，则此直线过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.由解得因此所求定点为(3，-1). √ 2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 (　　) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0或3x+4y=0 D.x-y+1=0或x+y+1=0 解析:设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0，令x=0，得y=，令y=0，得x=.由=，得λ=或λ=.所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0. √ 3.已知两条直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求: (1)过点P与Q(1，4)的直线方程; 解:设过直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0， 即(m+1)x+(2-2m)y+2m-6=0　①. 把点Q(1，4)代入方程①， 化简得3-5m=0，解得m=. 所以过两直线交点P与Q的直线方程为 x+y-=0，即2x+y-6=0. (2)过点P且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程. 解:由直线①与直线x-3y-1=0垂直，得m+1-3(2-2m)=0，解得m=，所以所求直线的方程为x+y-=0，即3x+y-8=0. 逐点清(三) 与三角形有关的问题 03 [典例]　当实数m为何值时，三条直线l1:3x+my-1=0，l2:3x-2y-5=0，l3:6x+y-5=0不能围成三角形? 解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时，它们不能围成三角形. 由解得将x=1，y=-1代入直线l1的方程， 解得m=2.故当m=2时，三条直线交于一点.当m=-2时，l1∥l2;当m=时，l1∥l3.故当m=±2或m=时，l1，l2和l3不能围成三角形. 　|思|维|建|模| 　给出三条直线方程，方程中含有参数，当三条直线能构成三角形，求参数的取值范围时，可以先找不能构成三角形的条件，然后利用补集思想，即得所求参数的取值范围. 针对训练 　已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线过点(1，-2)，且直线BH的一个方向向量为(-2，-1). (1)求顶点C的坐标; 解:由题意，知kBH=，由AC⊥BH，得kAC=-2， 又A(5，1)，所以直线AC的方程为y-1=-2(x-5)，即2x+y-11=0. 由解得故顶点C的坐标为(4，3). (2)求直线BC的方程. 解:设点B(x，y)，则M，M在CM上，即2×--5=0，即2x-y-1=0，BH的方程为y+2=(x-1)，即x-2y-5=0. 由解得故点B的坐标为(-1，-3). 又C(4，3)，所以直线BC的方程为=，即6x-5y-9=0. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为 (　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(-2，-3) D.(-3，-2) 解析:解方程组得 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.不论m为何实数，直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 (　　) A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 解析:直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0，令 解得∴直线l恒过定点(-3，1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若直线y=-2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k= (　　) A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D. 解析:解方程组得直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点，依题意，=k，解得k=4，所以实数k=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若直线2x-y+m=0和直线3x-y+3=0的交点在第二象限，则m的取值范围为 (　　) A.(-∞，3) B.(2，+∞) C.(-∞，2)∪(3，+∞) D.(2，3) 解析:联立解得所以交点为(m-3，3m-6)，由于(m-3，3m-6)在第二象限，所以解得2<m<3，所以m的取值范围为(2，3)，故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1，p)，则m-n+p的值为 (　　) A.20　　　　B.-4　　　　C.12　　　　D.4 解析:因为直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，所以2m+4×(-5)=0，解得m=10，所以直线mx+4y-2=0为5x+2y-1=0，又垂足为(1，p)， 可得5×1+2p-1=0，解得p=-2，则垂足为(1，-2).又其在2x-5y+n=0上，可得2×1-5×(-2)+n=0，解得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知直线l经过两条直线l1:x+y=2，l2:2x-y=1的交点，且l的一个方向向量为v=(-3，2)，则直线l的方程为 (　　) A.2x-3y+1=0 B.2x+3y-5=0 C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-1=0 解析:联立解得即直线l1:x+y=2，l2:2x-y=1的交点为(1，1)，又直线l的一个方向向量为v=(-3，2)，所以直线l的斜率为-，故直线l的方程为y-1=-(x-1)，即2x+3y-5=0，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知实数a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0过定点 (　　) A. B. C. D. √ 解析:由a+2b=1，得a=1-2b，则直线ax+3y+b=0可化为(1-2b)x+3y+b=0， 整理得x+3y-b(2x-1)=0，所以解得 故直线过定点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知三条直线l1:x-2y+2=0，l2:y-2=0，l3:mx+y=0将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有 (　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.无数个 √ 解析:因为三条直线l1:x-2y+2=0，l2:y-2=0，l3:mx+y=0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立解得此时2m+2=0，即m=-1，当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，所以m=-或m=0.综上，m=-1或m=-或m=0.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0，l2:ax+(1-a)y-1=0，则 (　　) A.若l1⊥l2，则a2=1 B.若l1∥l2，则a2= C.当a=1时，l1与l2相交，交点为(1，-2) D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:直线l1:(a+1)x+ay+2=0，l2:ax+(1-a)y-1=0，若l1⊥l2，则a(a+1)+a(1-a)=0，解得a=0，即a2=0，故A错误;若l1∥l2，则解得a2=，故B正确;当a=1时，直线l1:2x+y+2=0，l2:x-1=0，∴l1与l2相交，交点为(1，-4)，故C错误;当a=1时，l2:x-1=0，不经过第三象限;当0<a<1时，x=0时，y=>0，当y=0时，x=>0，∴l2不经过第三象限;当a=0时，l2:y-1=0，不经过第三象限.综上，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知直线l1:x+2y-6=0，l2:x-y-3=0，则l1，l2，x轴及y轴围成的四边形的面积为 (　　) A.8　　　　B.6　　　　C.　　　　D.3 解析:解方程组得 即直线l1，l2的交点坐标为(4，1); 直线l1:x+2y-6=0与x轴、y轴的 交点坐标分别为(6，0)，(0，3); 直线l2:x-y-3=0与x轴、y轴的交点坐标分别为(3，0)，(0，-3).如图所示，可得所求四边形的面积为×6×3-×3×1=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)斜率为-2，且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为________________. 2x+y-4=0 解析:法一　由方程组得 ∴交点坐标为(0，4)，即y-4=-2x， ∴所求直线方程为2x+y-4=0. 法二　设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0，即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0，∴k==-2，解得λ=5. ∴所求直线方程为2x+y-4=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线x+y-2=0，则直线l的方程为_____________. x-y-1=0 解析:由得即点P的坐标为(2，1)， 因为直线l与直线x+y-2=0垂直，所以直线l的斜率为1， 由点斜式得直线l的方程为y-1=1×(x-2)，即x-y-1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知定点A(0，1)，点B在直线x+y+1=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________. (-1，0) 解析:当直线AB和直线x+y+1=0互相垂直时，线段AB最短.即直线AB 的方程的斜率为k=1，所以直线AB的方程为y=x+1. 联立解得即B(-1，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知平行四边形ABCD中，AB边所在直线方程为x+y-1=0，AD边所在直线方程为3x-y+4=0. (1)求点A的坐标;(3分) 解:联立解得所以A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点C的坐标为(3，3)，分别求BC与DC边所在直线的方程.(7分) 解:因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，设CD边所在直线的方程为x+y+m=0，代入点C的坐标(3，3)，得m=-6， 所以CD边所在直线的方程为x+y-6=0， 同理AD∥BC，设BC边所在直线的方程为3x-y+n=0，代入点C的坐标(3，3)，得n=-6， 所以BC边所在直线的方程为3x-y-6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，已知在△ABC中，A(-8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0，求直线BC的方程. 解:设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 解得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0).故所求直线BC的方程为=，即4x-y-20=0. $$