1.1.4 第2课时 两条直线垂直(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

两条直线垂直 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会用垂直的条件判定两条直线是否垂直. 3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应几何问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2，l1⊥l2⇔k1k2=____. (2)特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线垂直. 2.两条直线垂直时一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. -1 |微|点|助|解| (1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在， 则另一条直线的斜率为零. (2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°. 基础落实训练 1.已知直线l1的斜率k1=2，直线l2的斜率k2=-，则l1与l2(　　) A.平行　　　　B.垂直　　　　C.重合　　　　D.非以上情况 √ 解析:根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直. 2.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　　) A.α1-α2=90° B.α2-α1=90° C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180° √ 3.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直，则m的值是__________. 解析：由题意可知m≠2，则kl==，解得m=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　判定两直线垂直 [例1]　判断直线l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为-10，l2经过点A(10，2)，B(20，3); 解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1=-10，k2==， 因为k1k2=-1，所以l1⊥l2. (2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(-10，40)，N(10，40); 解：由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2， 则k2==0， 所以l2∥x轴，故l1⊥l2. (3)l1经过点A(-1，2)，B(5，-1)，l2经过点C(1，0)，D(4，6); 解：法一　直线l1的斜率k1==-， 直线l2的斜率k2==2， 因为k1k2=-1，所以l1⊥l2. 法二　直线l1的方向向量=(6，-3)， 直线l2的方向向量=(3，6)， 因为·=0，所以⊥，所以l1⊥l2. (4)直线l1：-3x+4y+1=0，直线l2：8x+6y-3=0. 解：法一　由-3x+4y+1=0得其斜率为k1=， 由8x+6y-3=0得其斜率为k2=-， 故k1k2=-1，所以这两条直线互相垂直. 法二　因为A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0， 所以这两条直线互相垂直. |思|维|建|模|　判定两直线垂直的常用方法 斜率法 有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形 向量法 用直线的方向向量或法向量 系数法 用两直线一般式的系数等式(A1A2+B1B2=0) 针对训练 1.已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根，则其位置关系是 (　　) A.平行　　　　B.垂直　　　　C.重合　　　　D.异面 解析:由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根，则k1k2=-1，所以l1⊥l2. √ 2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是 (　　) A.l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B.l1的斜率为-，l2经过点A(2，0)，B(3，) C.l1经过点P(2，1)，Q(-4，-5)，l2经过点M(-1，2)，N(1，0) D.l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为 √ √ √ 解析:=tan 45°=1，=1，·≠-1，所以A不正确;== =-×=-1，故B正确;==1，==-1，=-1， 故C正确;因为(1，m)·=1-1=0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确. 题型(二)　根据直线垂直求参数或点的坐标 [例2]　(1)若直线l1：ax+(1-a)y-3=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直，则a的值是 (　　) A.-3　　　　B.1　　　　C.0或-　　　　D.1或-3 解析:∵l1⊥l2，∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，即(a-1)(a+3)=0，解得a=1或a=-3. √ (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，则a的值为__________. 0或5 解析：因为直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，且2≠-1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a-2=3，即a=5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意;当l1的斜率存在时， a-2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2=-1， 即·=-1，解得a=0.综上，a的值为0或5. |思|维|建|模| (1)由两直线垂直求参数，用A1A2+B1B2=0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形; (2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2=-1或直线的方向向量、法向量垂直求解. 针对训练 3.已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x-by-2=0，则“=-1”是“l1⊥l2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析:因为直线l1：ax-y+1=0，l2：x-by-2=0，所以当l1⊥l2时， a·1+(-1)(-b)=0，即a+b=0，即=-1或a=b=0，所以“=-1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“=-1”，所以“=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. √ 4.在平面直角坐标系内点A(4，2)，B(1，-2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB=，则点C的坐标为(　　) A.(3，0) B.(0，0) C.(5，0) D.(0，0)或(5，0) √ 解析:设C(x0，0)，则kAC=，kBC=.∵∠ACB=，∴AC⊥BC，则kAC·kBC=-1，即·=-1，解得x0=0或x0=5， ∴点C的坐标为(0，0)或(5，0).故选D. [例3]　已知△ABC的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，4). (1)求BC边上的中线的直线方程; 题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程 解：由B(6，7)，C(0，4)和中点坐标公式得BC的中点为，又A(4，0)， 由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为=， 整理得11x+2y-44=0. (2)求BC边上的高的直线方程; 解：由B(6，7)，C(0，4)，得kBC==，所以BC边上的高的直线的 斜率为-2.又A(4，0)，则BC边上的高的直线方程为y-0=-2(x-4)， 整理得2x+y-8=0. (3)求AC边的垂直平分线. 解：因为A(4，0)，C(0，4)，所以其中点坐标为(2，2)，而kAC==-1， 则AC边的垂直平分线的斜率为1，所以其方程为y-2=x-2，即x-y=0. |思|维|建|模| 与已知直线垂直的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求 直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况. (2)待定系数法：与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，再由直线所过的点确定m. 5.求与直线4x-3y+5=0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程. 针对训练 解：由题意，可设所求直线的方程为3x+4y+b=0. 令x=0，可得y=-， 即A，令y=0，可得x=-， 即B，又∵△AOB的周长为10， 即|OA|+|OB|+|AB|=10， ∴++=10，解得b=±10. 故所求直线的方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.直线l1，l2的斜率分别为-，-，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 解析:∵l1⊥l2，∴-×=-1， ∴a=-. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列直线与直线2x+y+1=0垂直的是 (　　) A.2x-y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+2y-1=0 D.x+y+1=0 解析:∵直线2x+y+1=0的斜率为k1=-2，∴与直线2x+y+1=0垂直的直线的斜率k2==，对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于，故选B. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若直线2x+6y-1=0与直线mx-2y+7=0垂直，则m= (　　) A.6　　　　B.4　　　　C.-　　　　D.-2 解析:由题意可知2m-12=0，解得m=6. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知A(-2，1)，C(0，5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y+5=0 D.2x-y+5=0 解析:因为A(-2，1)，C(0，5)，所以其中点坐标是(-1，3)，又kAC==2，所以AC的垂直平分线所在直线方程为y-3=-(x+1)，即x+2y-5=0.故选A. √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知四边形MNPQ的顶点M(1，1)，N(3，-1)，P(4，0)，Q(2，2)，则四边形MNPQ的形状为 (　　) A.平行四边形　　　　B.菱形　　　　C.梯形 D.矩形 √ 解析:因为kMN=-1，kPQ=-1，所以MN∥PQ，又因为kMQ=1，kNP=1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形.又因为kMN·kMQ=-1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知直线l1：ax-3y+1=0，l2：x-by+2=0，则 (　　) A.若l1⊥l2，则=-3 B.若l1∥l2，则ab=3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a=± D.当b<0时，l2不经过第一象限 解析:当l1⊥l2时，a+3b=0，解得=-3或a=b=0，故A错误. 当l1∥l2时，-ab+3=0，解得ab=3.故B正确. 在直线l1：ax-3y+1=0中，当x=0时，y=，当y=0时，x=-， 所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S=··=1，解得a=±， 故C正确.由题知当b<0时，l2：y=x+的图象如图所示，故D正确. √ √ √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知点P(3，1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是 (　　) A.　　B.　　C. D. √ 解析:设M(x，0).①当x=3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t=0;②当x=0时， kMQ不存在，kMP=，不合题意;③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ=×=-1，得t=-x2+3x=-+≤且t≠0.综上所述，实数t的取值范围是. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若直线l1：2x+3y-1=0的方向向量是直线l2：ax-y+2a=0的法向量，则实数a的值等于________. 解析：由题意得l1⊥l2，∴2a-3=0，解得a=. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)过原点作直线l的垂线，若垂足为(-2，3)，则直线l的方程是_________________. 2x-3y+13=0 解析：设垂足为A，则kOA==-，由题意可知kl=-=， 所以直线l的方程是y-3=(x+2)，整理得2x-3y+13=0. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)当直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时，a=__________. ±1 解析：∵l1⊥l2，∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1.将a=±1代入方程，均满足题意.故a=±1. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知m，n为正数，且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直，则m+2n的最小值为__________. 9 解析：∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直， ∴n-(n-2)m=0，∴2m+n=mn， ∴+=1. ∴m+2n=(m+2n) =5++≥5+2=9， 当且仅当m=n=3时取等号. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1) 按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=__________. 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°，∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2知， 直线l2的斜率k2=k1=.∴直线AB的斜率存在， 且kAB=-=-.∴=-， 解得m=4+. 4+ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)判断下列两条直线是否垂直，并说明理由. (1)l1：y=-3x+2，l2：y=x+5;(3分) 解：∵k1=-3，k2=，∴k1k2=-1，则l1⊥l2. (2)l1：4x+3y=10，l2：3x-4y=5;(4分) 解：法一　∵k1=-，k2=， ∴k1k2=-1，则l1⊥l2. (3)l1：y=2 025，l2：x=2 024.(3分) 解：∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2. 15 16 法二　由两直线方程可得它们的法向量分别为n1=(4，3)，n2=(3，-4). ∵n1·n2=0，∴l1⊥l2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的 顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q (1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 解：由斜率公式得kOP==t， kQR===t，kOR==-， kPQ===-. 所以kOP=kQR，kOR=kPQ， 从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形. 解：①当∠A=∠D=90°时，如图①所示. ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m=2，n=-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当∠A=∠B=90°时，如图②所示. ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC且AB⊥BC， ∴kAD=kBC，kAB·kBC=-1， ∴解得 综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(15分)已知M(1，-1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ;(7分) 16 解：设Q(x，y)，由已知得kMN=3， 由PQ⊥MN，得kPQ·kMN=-1， 即×3=-1.① 由已知得kPN=-2，由PN∥MQ，得kPN=kMQ，即=-2.② 联立①②，解得x=0，y=1，即Q(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(8分) 16 解：设Q(x，0)，∵∠NQP=∠NPQ， ∴kNQ=-kNP，又∵kNQ=，kNP=-2， ∴=2，即x=1，∴Q(1，0). 又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. $$