1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

1.3 直线的方程 直线方程的点斜式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式. 2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系. 3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.直线方程的点斜式 设过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程为_____________，此方程称为直线方程的点斜式. y-y0=k(x-x0) 斜率 存在 不存在(α=90°) 点斜式 _______________ 无 特殊 情况 图示 k=0时，l与x轴平行或重合 k不存在时，l⊥x轴，不能用点斜式求方程 y-y0=k(x-x0) |微|点|助|解| (1)点斜式的前提条件是斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)由方程的点斜式y-y0=k(x-x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k. 2.直线方程的斜截式   斜截式 已知条件 经过点(0，b)且斜率为k 图示 方程形式 ________ 适用条件 斜率存在 y=kx+b |微|点|助|解| (1)直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用;由直线方程的斜截式可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线和坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以是正数、负数或0，当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)也可写成k=. (　 ) (2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1，3). (　 ) (3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. (　 ) × √ √ 2.若直线l过点(-1，1)且斜率为1，则直线l的方程为 (　　) A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 √ 解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(-1，1)，则直线l的方程为y-1=x+1，即x-y+2=0. 3.直线l在y轴上的截距为2，且斜率为-1，则该直线方程为 (　　) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直线方程的点斜式 [例1]　写出下列直线方程的点斜式： (1)过点A(-4，3)，斜率k=3; 解：由方程的点斜式可知， 所求直线方程为y-3=3[x-(-4)]. (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°; 解：由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线方程的点斜式为y-4=-[x-(-1)]. (3)过点D(2，1)和E(3，-4). 解：∵直线过点D(2，1)和E(3，-4)， ∴斜率k==-5. 故所求直线方程的点斜式为y-1=-5(x-2). |思|维|建|模| 求直线方程的点斜式的思路 针对训练 1.与向量a=平行，且经过点的直线方程为(　　) A.y=x- B.y=-x- C.y=x-18 D.y=-x+10 √ 解析：依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y+4=(x-4)，即y=x-. 2.求满足下列条件的直线方程的点斜式. (1)过点P(0，5)，且与x轴垂直; 解：∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在， ∴直线的方程为x=0. (2)过点P(，1)，倾斜角是120°; 解：∵直线的倾斜角是120°， ∴k=tan 120°=-.又直线过点P(，1)， ∴直线方程的点斜式为y-1=-(x-). (3)过点(1，1)，且直线的一个方向向量为(1，2). 解：由题意知，直线的斜率为2，又直线过点(1，1)， ∴所求直线方程的点斜式为y-1=2(x-1). 题型(二)　直线方程的斜截式 [例2]　写出下列直线方程的斜截式： (1)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5; 解：∵k=tan 60°=， ∴所求直线方程的斜截式为y=x+5. (2)斜率与直线y=x+1互为相反数，且在x轴上的截距为-2; 解：由题意知，所求直线的斜率为-，可设直线方程为y=-x+b，∵在x轴上的截距为-2，∴0=-×(-2)+b，得b=-2.∴直线方程的斜截式为y=-x-2. (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2. 解：∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2， ∴直线过点(4，0)和(0，-2).∴k==， ∴所求直线方程的斜截式为y=x-2. |思|维|建|模| 直线方程的斜截式的求解策略 (1)求直线方程的斜截式只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线方程的斜截式. 针对训练 3.根据下列条件求直线方程的斜截式： (1)斜率是，截距是-2; 解：由题意，当直线在y轴上的截距为-2时，直线方程的斜截式为y=x-2;当直线在x轴上的截距为-2时，直线的方程为y=(x+2)， 即直线方程的斜截式为y=x+.综上，直线方程的斜截式为y=x-2或y=x+. (2)倾斜角为120°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为倾斜角为120°，所以k=tan 120°=-， 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为3或-3. 故所求直线方程的斜截式为y=-x+3或y=-x-3. 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 [例3]　已知直线l：y=kx+2k+1. (1)求证：直线l恒过一个定点; 解：证明：由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2)，由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1). (2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解：设y=f(x)=kx+2k+1， 因为当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得-≤k≤1，所以实数k的取值范围是. |思|维|建|模| 　　对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0)，该直线恒过定点(x0，y0). 针对训练 4.已知直线l：y=ax+. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限; 解：证明：因为y=ax+=a+，所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限，所以无论a为何值，直线l必经过第一象限. (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解：设A，则直线OA的斜率kOA==3.若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，+∞). 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- √ 解析：由y+=(x-1)，得y=x-9，∴l在y轴上的截距为-9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.过点(1，-1)且方向向量为(-2，3)的直线的方程为 (　　) A.y-1=-(x-1) B.y-1=-(x+1) C.y+1=-(x-1) D.y+1=(x-1) √ 解析：由方向向量得直线的斜率为-， 所以得直线方程为y+1=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知直线方程为y=-x+2，则直线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设直线y=-x+2的倾斜角为θ，可知tan θ=k=-1 ，又 0≤θ<π，所以θ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知直线l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2的位置关系如图所示，则有 (　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 √ 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°， 所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知直线l的一个方向向量为(cos 45°，-sin 45°)，且过点(1，2)，则直线l在y轴上的截距为 (　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 √ 解析：∵直线l的一个方向向量为(cos 45°，-sin 45°)， ∴直线l的斜率k==-1.又直线过点(1，2)， ∴直线l的方程为y-2=-(x-1)，即y=-x+3，∴直线l在y轴上的截距为3. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.下列选项中，在同一平面直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是 (　　) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：①当a>0时，直线y=ax的倾斜角为锐角，直线y=x+a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立;②当a=0时，直线y=ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立;③当a<0时，直线y=ax的倾斜角为钝角， 直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在等腰三角形AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB方程的点斜式为 (　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) √ 15 解析：设线段OB的中点为M，连接AM， 因为|AO|=|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1，0)， 故点B(2，0)，所以直线AB的斜率为k==-3， 所以直线AB方程的点斜式为y-3=-3(x-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)经过点(3，-1)且斜率为的直线方程的点斜式为 __________________.  解析：根据直线方程的点斜式，可得y-(-1)=(x-3). y-(-1)=(x-3) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线方程的斜截式是______________________.  解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或-.又因为在y轴上的截距为-6，所以直线方程的斜截式是y=x-6或y=-x-6. y=x-6或y=-x-6 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)过点(-1，1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为__________________.  解析：由题意可知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为y-1=k(x+1)，令x=0，解得y=k+1;令y=0，解得x=-.由题意可得-=2(k+1)， 解得k=-1或k=-，所以直线方程为y=-x或y=-x+. y=-x或y=-x+ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知点A(1，3)，B(-2，-1).若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交， 则k的取值范围是______________.  解析：由已知得，直线l恒过定点P(2，1)， 如图所示.若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，因为kPA==-2，kPB==，所以-2≤k≤. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(-4，1);(5分) 解：由直线y=-x+1的斜率为-，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k=. 因为直线过点(-4，1)，所以该直线方程的点斜式为y-1=(x+4)，即y=x+4+1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在y轴上的截距为-10.(5分) 解：因为直线在y轴上的截距为-10，所以该直线方程的斜截式为y=x-10. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的 三角形的周长是30，求直线l的方程. 解：依题意，设直线l与y轴交于点B(0，b)(b>0)， 则直线l：y=x+b交x轴于点A， 即有|AB|==b，则有b+b+b=30， 解得b=5，所以直线l的方程为y=x+5，即5x-12y+60=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知当-1<x<1时，直线l：y=mx+1在x轴上方，求实数m的取值范围. 解：由题意，得当-1<x<1时，y>0， 如图所示，要满足题意，只需点A(-1，-m+1)，B(1，m+1)在x轴上方或在x轴上即可， 所以解得-1≤m≤1， 故实数m的取值范围是[-1，1]. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(5，1)，点C在x轴上，且∠CAB=. (1)求直线AC的斜率;(7分) 解：如图，A(1，1)，B(5，1)，可知直线AB平行于x轴，已知点C在x轴上且∠CAB=，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，即直线AC的倾斜角为，故直线AC的斜率kAC=tan =-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求直线BC的方程.(8分) 解：由(1)可知kAC=-1，可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1)， 即lAC：x+y-2=0，将y=0代入，即求得C点坐标为(2，0). 已知B(5，1)，kBC==，可得直线BC的方程为y-0=(x-2)， 化简得lBC：x-3y-2=0. $$