2.2.3 一元二次不等式的解法 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 [教学方式:深化学习课题型研究式教学]

　[课时目标]

1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

(一)一元二次不等式

(1)一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.

(2)一元二次不等式所有解组成的集合为一元二次不等式的解集.

|微|点|助|解|

1.因式分解法

一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)·(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).

2.配方法

一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式.

当k>0时,(x-h)2>k的解集为(-∞,h-)∪(h+,+∞),(x-h)2<k的解集为(h-,h+).

当k<0时,(x-h)2>k的解集为R,(x-h)2<k的解集为∅.

当k=0时,(x-h)2>k的解集为{x|x≠h},(x-h)2<k的解集为∅.

(二)简单的分式不等式的解法

|微|点|助|解|             常见分式不等式的转化

　先将分式不等式移项、通分,整理成一边为0的形式,再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax+b,g(x)=cx+d),即

(1)>0⇔f(x)·g(x)>0;

(2)<0⇔f(x)·g(x)<0;

(3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0;

(4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.

 

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. (　 )

(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. (　 )

(3)不等式x2-2x+3>0的解集为R. (　 )

答案:(1)×　(2)×　(3)√

2.不等式x2-6x-1≤0的解集为　　　　　　　. 

答案:[3-,3+]

3.不等式x2+4x+1≥0的解集为　　　　　　　. 

答案:(-∞,-2-]∪[-2+,+∞)

4.不等式<0的解集为　　　　. 

解析:原不等式⇔(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2.

答案:{x|1<x<2}

5.求不等式≤1的解集.

解:∵≤1,∴≥0,∴∴x≥1或x<0.

 

题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法

 [例1]　解下列不等式:

(1)-2x2+x-6<0;

(2)-x2+6x-9≥0;

(3)x2-2x-3>0.

[解]　(1)原不等式可化为2x2-x+6>0.

因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图1所示).

观察图象可得,原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,

函数y=(x-3)2的图象如图2所示,

根据图象可得,原不等式的解集为{3}.

(3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3.

函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,

与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图3所示.