2.1.1 等式的性质与方程的解集 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

　等式与不等式 2.1　等　式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.掌握等式的性质,并能进行应用.能通过因式分解求方程的解集. 2.理解常见恒等式及其变形的形式,能对一些式子进行化简. 逐点清(一)　等式的性质与恒等式 [多维理解] 1.等式的性质 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式,等式仍成立 如果a=b,则对任意c,都有a±c=b±c 等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立 如果a=b,那么ac=bc,=(c≠0) |微|点|助|解| 等式性质的延伸 (1)对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a; (2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换). 2.恒等式 (1)恒等式的定义 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等. (2)常见的恒等式 ①a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式); ②(a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式); ③(a+b)2=a2+2ab+b2(两数和的平方公式); ④a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(立方差公式); ⑤a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(立方和公式). [微点练明] 1.(多选)下列式子中变形正确的是 (　 ) A.若3x-1=2x+1,则x=0 B.若ac=bc,则a=b C.若=,则= D.若=,则y=x 解析:选CD　对于A选项,两边同时减去(2x-1),得到x=2,故A不正确;对于B选项,没有说明c≠0,故B不正确;对于C选项,在等式两边同时乘以a(a≠0),得到=,故C正确;对于D选项,在等式两边同时乘以5得到y=x,故D正确. 2.(多选)若x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,则实数a可能的值是 (　 ) A.-9 B.9 C.-3 D.3 解析:选CD　因为x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2),故x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,即(x+a) (x2-ax+a2)=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,所以x2-ax+a2=x2-ax+9,即a2=9,故a=±3. 3.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证的等式为 (　 ) A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 解析:选B　题图甲中阴影部分的面积为a2-b2,题图乙中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),因为两个图形中阴影部分的面积相等,所以a2-b2=(a+b)·(a-b). 4.已知x2-3x+1=0,则x3+的值为　　　　　.  解析:∵x2-3x+1=0,∴x≠0. ∴x2+1=3x,则x+=3. ∴x3+= ==3×(32-3)=18. 答案:18 逐点清(二)　“十字相乘法”因式分解 [多维理解] 对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图来表示:其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. |微|点|助|解| (1)运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①因式分解的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和. (2)对于x2+Cx+D的因式分解,当常数项是正数时,可以分解成两个同号的数的积,符号与一次项系数的符号相同;当常数项是负数时,可以分解成两个异号的数的积,绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (3)分解x2+(a+b)x+ab型的式子时,有时需要经过多次尝试,才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数. [微点练明] 因式分解: (1)6x2+5x+1;(2)6x2+11x-7; (3)42x2-33x+6;(4)2x4-5x2+3. 解:(1)如图所示,6x2+5x+1=(2x+1)·(3x+1). (2)如图所示,6x2+11x-7=(2x-1)·(3x+7). (3)如图所示,42x2-33x+6=(6x-3)·(7x-2). (4)如图所示,2x4-5x2+3=(x2-1)(2x2-3)=2(x+1)(x-1). 逐点清(三)　方程的解集 [多维理解] 1.方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解(或根) 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 2.一元一次方程 一元一次 方程 方程两边都是整式,都只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫一元一次方程 满足的 条件 ①必须是整式方程; ②只含有一个未知数; ③未知数的次数都是1 表示形式 ax+b=0(a≠0)或ax=b(a≠0) [微点练明] 1.一元二次方程x2-5x-6=0的解集为 (　 ) A.{-6,1} B.{6,-1} C.{-2,3} D.{2,-3} 解析:选B　x2-5x-6=0可化为(x-6)(x+1)=0,解得x=6或x=-1,所以一元二次方程x2-5x-6=0的解集为{6,-1}. 2.已知关于x的方程=+1的解集为∅,则实数a的值 (　 ) A.0 B.1 C. D. 解析:选C　由=+1,得x=1.因为关于x的方程=+1的解集为∅,所以-=0,即a=. 3.求下列方程的解集: (1)x2-3x-4=0; (2)x+2=3x2; (3)6x(x+1)=5(x+1); (4)(2x-1)2-(x+1)2=0. 解:(1)因为x2-3x-4=(x+1)(x-4), 所以原方程可化为(x+1)(x-4)=0,故x+1=0或x-4=0,解得x=-1或x=4. 因此原方程的解集为{-1,4}. (2)因为3x2-x-2=(3x+2)(x-1),所以原方程可化为(3x+2)(x-1)=0. 故3x+2=0或x-1=0,解得x=-或x=1. 因此原方程的解集为. (3)因为6x(x+1)=5(x+1),所以(x+1)(6x-5)=0, 所以x+1=0或6x-5=0. 所以x=-1或x=.所以原方程的解集为. (4)因为(2x-1)2-(x+1)2=0, 所以4x2-4x+1-x2-2x-1=0.所以3x2-6x=0.所以x(x-2)=0,即x=0或x=2. 所以原方程的解集为{0,2}. [课时检测] 1.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得 (　 ) A.(a+b+10)(a+b-2) B.(a+b+5)(a+b-4) C.(a+b+2)(a+b-10) D.(a+b+4)(a+b-5) 答案:A 2.若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b),则a,b的值是 (　 ) A.a=10,b=2　　　　　　 B.a=10,b=-2 C.a=-10,b=-2 D.a=-10,b=2 解析:选C　∵(x-5)(x-b)=x2-(5+b)x+5b=x2-3x+a,∴5+b=3,5b=a,解得b=-2,a=-10. 3.(多选)下列各式因式分解的结果中,含有x+1的是 (　 ) A.x2+x B.x2-1 C.2x2+x-1 D.4x2-7x+3 解析:选ABC　A中,x2+x=x(x+1);B中,x2-1=(x+1)(x-1);C中,2x2+x-1=(x+1)(2x-1);D中,4x2-7x+3=(x-1)(4x-3).故选A、B、C. 4.若x2+mx-10=(x+a)(x+b),其中a,b为整数,则m的值为 (　 ) A.3或9 B.±3 C.±9 D.±3或±9 解析:选D　∵-10=(-1)×10=1×(-10)=2×(-5)=(-2)×5,∴m=±3或±9. 5.下列等式中,属于恒等式的是 (　 ) A.a2=1 B.=|a| C.|a-1|=0 D.=0 解析:选B　选项A,只有a=±1时,等式成立,故不是恒等式,A错误;选项B,=|a|对任意a∈R恒成立,B正确;选项C,只有a=1时,等式成立,故不是恒等式,C错误;选项D,≠0,故不是恒等式,D错误. 6.如图,天平上的物体a,b,c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同),则物体a与物体c的质量关系是 (　 ) A.2a=3c　　　　　　　　　 B.4a=9c C.a=2c D.a=c 解析:选B　由题图可知,2a=3b,2b=3c,根据等式的性质2,得4a=6b,6b=9c,所以4a=6b=9c,即4a=9c. 7.程大位(1533~1606),明朝人,珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里,有这样一道“荡秋千”的题:平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几?将其译成现代汉语,其大意是,一架秋千当它静止不动时,踏板离地一尺,将它向前推两步(古人将一步算作五尺)即10尺,秋千的踏板就和人一样高,此人身高5尺,如果这时秋千的绳索拉得很直,则绳索的长度为 (　 ) A.14尺 B.14.5尺 C.15尺 D.15.5尺 解析:选B　设绳索长度为x尺,则秋千被推送10尺时,踏板距绳索顶端的距离为x-5+1,此时踏板距绳索顶端距离、往前推送10尺的水平距离、绳索长刚好构成一直角三角形.则根据勾股定理可列方程 102+(x-5+1)2=x2,解得x=14.5,即绳索长度为14.5尺. 8.(5分)因式分解:x2-2xy-8y2=　　　　　　;(x+y+1)2-(x-y+1)2=　　　　　.  解析:x2-2xy-8y2=(x-4y)(x+2y).(x+y+1)2-(x-y+1)2=[(x+1)+y]2-[(x+1)-y]2=(x+1)2+2(x+1)y+y2-[(x+1)2 -2(x+1)y+y2]=4(x+1)y. 答案:(x-4y)(x+2y)　4(x+1)y 9.(5分)小奇设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数a2-3b-5,例如把(1,-2)放入其中,就会得到12-3×(-2)-5=2.现将实数对(m,3m)放入其中,得到实数5,则m=　　　　.  解析:∵将实数对(m,3m)放入其中,得到实数5, ∴m2-9m-5=5,即m2-9m-10=0. 解得m=10或m=-1. 答案:10或-1 10.(10分)已知6x2-7xy-3y2+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c),试确定a,b,c的值. 解:由题设,得6x2-7xy-3y2+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c)=6x2-7xy-3y2+(3b+2c)x+(b-3c)y+bc. 比较对应项系数,得所以 11.(10分)《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,纵之不出二尺,斜之适出,问户斜几何.注:横放,竿比门宽长出四尺;竖放,竿比门高长出二尺,斜放恰好能出去. (1)示意图中,BD表示户斜,求线段CE的长及线段DF的长.(3分) (2)户斜多长?(7分) 解:(1)由“横放,竿比门宽长出四尺”,可得CE=4尺,由“竖放,竿比门高长出二尺”,可得DF=2尺. (2)设户斜x尺,则题图中BD=x,BC=BE-CE=x-4(x>4),CD=CF-DF=x-2(x>2). 又在Rt△BCD中,∠BCD=90°,由勾股定理得BC2+CD2=BD2,即(x-4)2+(x-2)2=x2,整理得x2-12x+20=0,因式分解,得(x-10)(x-2)=0,所以x1=10,x2=2.因为x>4且x>2,所以x=2舍去,所以x=10,即户斜10尺. 12.(10分)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:cm) (1)用含m,n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和;(3分) (2)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　　　　　　　　　　　　;(3分)  (3)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求(m+n)2的值.(4分) 解:(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(2m+n)+2(m+2n)=6m+6n=6(m+n)cm. (2)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)·(2m+n),故填(m+2n)(2m+n). (3)由题意得,2m2+2n2=58,mn=10.∴m2+n2=29. ∵(m+n)2=m2+2mn+n2,∴(m+n)2=29+20=49. 学科网（北京）股份有限公司 $$