2.1.1 等式的性质与方程的解集（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质、恒等式、十字相乘法及方程解集，通过天平情境导入，从生活实例引出等式性质，搭建具体到抽象的学习支架，衔接恒等式变形与方程求解的知识脉络。 其亮点是互动探究与分层训练结合，用表格对比等式性质的文字与符号语言，通过十字相乘法步骤解析培养数学思维，典型例题（如整体代换求值）强化逻辑推理。小结从知识、方法、思想三维度总结，教师可直接使用例题与训练提升效率，学生能提升知识应用与运算素养。

第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握等式的性质，能用逻辑语言（量词）描述等式的基本性质；理解恒等式的概念，掌握常用恒等式（平方差公式、完全平方公式等），并能灵活运用进行代数变形；掌握十字相乘法进行因式分解；理解方程解集的概念，会求一元一次方程、一元二次方程的解集，并能用集合的形式表示。 通过对等式进行分类，体会恒等式与条件等式的区别； 通过含参数方程的讨论，培养分类讨论的数学思想； 通过代数变形求方程解集，提升逻辑推理与数学运算素养。 天平情境引入 如果现在的天平是平衡的，将天平的左边加上一个10克的砝码，这时天平会怎样？要使天平恢复平衡，该如何操作？ 天平会向左倾斜；要使天平恢复平衡，需要在右边也加上一个10克的砝码。 这实际涉及到等式的性质， 等式与不等式是表示数量关系的基本工具， 而且，等式与不等式的有关知识，在日常生活中有着广泛的应用. 目标一：等式的性质 等式的性质 知识讲解 互动探究 新课引入   文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立. 如果 ,则对任意 , 都有. 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 如果 ,则对任意不为零的,都有 . 5 知识剖析 知识讲解 互动探究 新课引入 因为减去一个数等于加上这个数的相反数,除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数,因此上述等式性质中的”加上”与”乘以”,如果分别改为”减去”与”除以”,结论仍成立. 6 [多选题]下列说法正确的是 ( ) A. 若 a=b,则 a-c=b-c B. 若 =ab,则 a=b C. 若 a=b, D. 若 ,则 a=b 对点体验 解析 ▶ 由等式的性质1可得A正确； B中 a=0,b≠0 时不成立,故B错误； C中c不能为0,故C错误； (要注意除数不能为0) D中易知 c≠0,根据等式的性质2,等式两边同时乘以c,可得 a=b,故D正确. 答案 ▶ AD 目标二：恒等式 恒等式的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一. 平方差公式、两数和(差)的平方公式都是恒等式. 9 化简： (-2+5b)(-2-5b)； . 对点体验 解析 ▶ (1) . (2) . 十字相乘法 知识讲解 互动探究 新课引入 对任意的 x,a,b，都有 (x+a)(x+b)=+(a+b)x+ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解. 给定式子 +Cx+D,如果能找到 a 和 b,使得 D=ab 且 C=a+b,则 +Cx+D=(x+a)(x+b). 为了方便记忆,已知 C 和 D,寻找满足条件的 a 和 b 的过程,通常用右图 来表示:其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 11 分解因式: (1)-4x-12; (2)+4x-12; (3)-x-12. 对点体验 解析 ▶ (1) 因为 所以 -4x-12=(x-6)(x+2). (2) 因为 所以 . (3) 因为 所以 -x-12=(x-4)(x+3). 知识剖析 (1)运用 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 进行因式分解时需满足的条件:①分解因式的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和. (2)对于 +Cx+D 的因式分解,当常数项是正数时,可以分解成两个同号的数的积,符号与一次项系数的符号相同;当常数项是负数时,可以分解成两个异号的数的积,绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. 目标三：方程的解集 方程 含有未知数的等式叫方程. 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解(或根). 方程的解集 一个方程所有解组成的集合叫这个方程的解集. 解方程 求方程的解的过程叫解方程. 求下列方程的解集: 2(x-1)=5-x; 解析 ：原式去括号得,,移项得,, 合并同类项得,, 系数化为1得,. 所以方程的解集为. 方程概念 (1)因式分解法 先对方程 a+bx+c=0 (a≠0) 的左边因式分解,使方程化 (若方程有解,则可因式分解为为方程的解) 为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. (2)因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的乘积等于0,那么这两个因式至少有一个等于0,即如果 ab=0,则 a=0 或 b=0. 因式分解法解一元二次方程 求下列方程的解集: -12x+35=0. 对点体验 因式分解可得(x-5)(x-7)=0, 所以x-5=0或x-7=0, 所以=5,=7. 目标四：用“十字相乘法”分解 E+Fx+G 我们可以根据恒等式 (ax+b)(cx+d)=ac+(ad+bc)x+bd 探讨E+Fx+G的因式分解方法. （二次三项式E+Fx+G能进行因式分解的条件是-4EG≥0） 原理 分解因式： (1)2-5x-3；(2)6+x-2。 对点体验 ∴2-5x-3=(x-3)(2x+1). ∴2-5x-3=(x-3)(2x+1). 目标五：典型例题 题型 Ⅰ 利用恒等式化简、求值 第一 例1 第二 化简: (x+1)(x-1)(-x+1)(+x+1). 已知 a+b+c=4,ab+bc+ac=4, 求 ++ 的值. 典例分析 牛刀小试 解析 (1) 方法1 原式 . 方法2 原式 . . 题型 Ⅰ 利用恒等式化简、求值 例2 已知 -3x+1=0,求 + 的值. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 则 思路点拨 ▶ 本题若先从方程中解出 x 的值,再代入代数式求值,计算较烦琐,可根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算. 常见的恒等式 ； ； ； ； 。  (1)求解给式求值问题,可根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化计算的程序. (2)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 题型 2 用分组法、公式法分解因式 例4 分解因式: (1)+3+3x+9; (2)-4-2x+4y; (3)-a. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1)原式. (2)原式. (3)方法1▶ 原式 . 题型 2 用分组法、公式法分解因式 例4 分解因式: (1)+3+3x+9; (2)-4-2x+4y; (3)-a. 典例分析 牛刀小试 在运用平方差或立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号. 方法2▶ 原式 .   题型 3 用十字相乘法分解因式 例5 分解因式: (1); (2); (3); (4). 典例分析 牛刀小试 余下的步骤大家自行完善 对 E+Fx+G 进行因式分解的主要步骤 第一步,将 E 拆成 a 与 c 两数之积,并将 G 拆成 b 与 d 两数之积. 第二步,检验 ad+bc 或 ab+cd 是否等于 F. 若 ad+bc=F,则原式可分解为 (ax+b)(cx+d); 若 ab+cd=F,则原式可分解为 (ax+d)(cx+b); 若 ad+bc 和 ab+cd 均不等于 F,则重复第一步,直到能分解为止. 上述步骤可表示为: 题型 4 一元一次方程的解集 例6 求下列方程的解集： (1)； (2) 典例分析 牛刀小试 解析 (1)原方程可化为.去分母,得. 去括号,得.移项、合并同类项,得. 的系数化为,得.所以方程的解集为. 题型 4 一元一次方程的解集 例6 求下列方程的解集： (1)； (2) 典例分析 牛刀小试 (2)设,则原方程可化为. 解这个方程,得.所以,解得. 所以原方程的解集为.   解一元一次方程的一般步骤 一般步骤 具体做法 依据 去分母 方程两边同时乘以各分母的最小公倍数. 当分母是小数时,要先把小数化为整数,再去分母. 等式的性质2 去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 乘法对加法的分配律、去括号法则 移项 把含有未知数的项都移到方程的同一边,其他项都移到方程的另一边. 等式的性质1 题型 5 因式分解法求一元二次方程的解集 例7 解下列关于的一元二次方程: (1); (2); (3). 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1) 可化为 , 即,解得 , 故原方程的解集为. (2)因为 , 所以原方程化为, 解得 或 . 所以原方程的解集为. 题型 5 因式分解法求一元二次方程的解集 例7 解下列关于的一元二次方程: (1); (2); (3). 典例分析 牛刀小试 因为 , 所以原方程化为 , 解得 或 . 当 或 时，，此时原方程的解集为 或 ； 当 且 时，，此时原方程的解集为 . 解题通法 利用因式分解法求一元二次方程的解集的方法 (1)移项,将一元二次方程的右边化为0; (2)化积,利用十字相乘法将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积; (3)转化,两个因式分别为0,转化为两个一元一次方程; (4)求解,解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解; (5)写出一元二次方程的解集. 目标六：针对训练 举一反三 1.方程 的解集可表示为() A. B. C. D.   解析：因为，所以，故方程的解集可表示为， 故选：C.   举一反三 2.已知等式，则下列变形正确的是() A. B. C. D. 解析: 对于 A， 满足 ， 但 无意义， 故错误； 对于 B， 两边同时加上 2， 该等式仍然成立， 故正确； 对于 C， 当 ， ， ， 满足 ， 但得不到 ， 故错误； 对于 D， 当 时， 无法得到 ， 故错误.故选： B. 举一反三 3.关于 的一元二次方程 有两个不相等的正实数根，则实数 的取值范围是() A. 解析：因为方程有两个不相等的正实数根，所以 解得且.故选 A. 举一反三 4.已知关于 的一元二次方程 有一个根为零, 则实数() A.1 B. C. 或 D.或 解析：由题意知即可得. 故选 B. 举一反三 5.下列运用等式的性质进行的变形中正确的是(B) A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 解析：如果，，那么不成立，故A错误； 如果，那么由等式的性质知，故B正确； 如果，，那么与无意义，故C错误； 如果，那么或，故D错误.故选B. 目标七：小结 学海拾贝 1、知识小结 知识点 核心内容 等式的性质 两边同时加/减同一个数或代数式，等式仍成立；两边同时乘/除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。注意变形的等价性。 恒等式 含有字母的等式，字母取任意实数时等式都成立。是代数变形的重要依据。 十字相乘法 对二次三项式进行因式分解： 方程的解集 方程所有解组成的集合。一元一次方程解集为单元素集；一元二次方程解集可能为单元素集、双元素集或空集。 学海拾贝 2. 方法总结 十字相乘法：找两个数，使其积等于常数项、和等于一次项系数。 求方程解集的方法：利用等式性质和恒等式进行代数变形，最终结果必须写成集合形式。 含参数方程：注意分类讨论，特别关注： 系数是否为零； 集合元素的互异性（避免重复元素）。 学海拾贝 3. 思想方法 分类讨论思想：处理含参数方程时，根据参数取值范围分类求解； 等价变形思想：等式变形过程中保持等价性，避免”失根”或”增根”。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $