8.2.2函数的实际应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数实际应用，分层设计从基础模型到综合问题解决，强化数学建模与现实情境结合，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-4题）|正比例/指数函数解析式、模型识别|以海拔含氧量、茶水温度等生活情境直接应用概念，培养数学眼光| |提升层（5-9题）|函数性质综合、多模型辨析|结合视力表、消毒含药量图表分析，通过多选和填空强化推理思维| |综合层（10-14题）|复杂问题建模与优化|病毒传播、销售利润等完整问题解决，体现数学语言表达与应用意识|

8.2.2　函数的实际应用 1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解析式为（　　） A.y＝3x（x≥0） B.y＝3x C.y＝x（x≥0） D.y＝x 2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（　　） A.y＝mx2＋n（m＞0） B.y＝mx＋n（m＞0） C.y＝max＋n（m＞0，a＞0，a≠1） D.y＝mlogax＋n（m＞0，a＞0，a≠1） 3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（　　） A.a12－1 B.（1＋a）12－1 C.a D.a－1 4.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝ae－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为（　　） A.125　　　B.100 C.75　　　　D.50 5.（多选）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，当小数记录数据为0.1时，对应的五分记录数据记为4.0，现有两个函数模型供选择：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg.根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（参考数据：100.1≈1.25）（　　） A.选择函数模型① B.选择函数模型② C.小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9 D.小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 6.（多选）为预防秋冬季流感，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝0.3x－a（a为常数），则下列结论中正确的是（　　） A.当0≤x≤0.2时，y＝5x B.当x＞0.2时，y＝0.3x－0.2 C.x＝2时，教室内每立方米空气中的含药量高于0.09 mg D.教室内每立方米空气中的含药量高于0.3 mg的持续时间超过90 min 7.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是　　　　万元. 8.如图所示，由桶①向桶②倒水，开始时，桶①中有a L水，桶②中无水，t min后，桶①中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt.假设经过5 min，桶①和桶②中的水一样多，则再过　　　　min，桶①中的水只有 L. 9.某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格y（单位：元）与订购数量x（单位：个）之间满足y＝则该电商购入3 000个包装盒至少需要　　　　元.（说明：每个纸盒计费面积为六个面的面积之和） 10.医学上为研究某种传染病传播过程中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒细胞在体内的总数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物，将可杀死此时其体内该病毒细胞的98%. 天数/x 病毒细胞总数/N 1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 32 7 64 … … （1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天） （2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）（参考数据：lg 2≈0.301 0） 11.某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（　　） A.A区　　　　　　　　B.B区 C.C区 D.A，B两区之间 12.（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…，k，b为常数）.若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（　　） A.k＜0 B.储存温度越高保鲜时间越长 C.在10 ℃的保鲜时间是60小时 D.在30 ℃的保鲜时间是20小时 13.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过　　　　小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）. 14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q（x）/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k的值； （2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）求该小物品的日销售收入f（x）（单位：元）的最小值. 8.2.2　函数的实际应用 1.A　由题意设y＝kx（k≠0），将（36，108）代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0. 2.C　由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型.故选C. 3.B　不妨设第一年1月份的产值为b，则2月份的产值为b（1＋a），3月份的产值为b（1＋a）2，依此类推，第二年1月份产值是b（1＋a）12.由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝（1＋a）12－1.故选B. 4.C　由已知，得a＝ae－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a，∴＝（e－k＝，∴＝，t1＝75.故选C. 5.BD　当x＝0.1时，代入y＝5＋2lg x得y＝5－2＝3，代入y＝5－lg得y＝5－1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确；当y＝5时，由y＝5－lg，解得x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误；当y＝4.9时，由y＝5－lg，解得x≈0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确.故选B、D. 6.ABC　对于A，当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，解得k＝5，即y＝5x，故A正确；对于B，当x＞0.2时，将（0.2，1）代入y＝0.3x－a，得1＝0.30.2－a，解得a＝0.2，即y＝0.3x－0.2，故B正确；对于C，当x＝2时，y＝0.32－0.2＝0.31.8＞0.32＝0.09 mg，故C正确；对于D，当0≤x≤0.2时，由5x＞0.3，得x＞＝0.06，当x＞0.2时，由0.3x－0.2＞0.3，得x－0.2＜1，即x＜1.2，故持续时间为1.2－0.06＝1.14（h）＝1.14×60＝68.4（min），故D错误.故选A、B、C. 7.2 500　解析：L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500，当Q＝300时，L（Q）取得最大值，最大值为2 500万元. 8.10　解析：由题意，可得ae－5n＝，得n＝ln 2.令a＝，得t＝15，从而再经过10 min，桶①中的水只有 L. 9.1 260　解析：设长方体包装盒的底面长为t（t＞0）分米，则宽为分米，故长方体包装盒的表面积S＝4t＋＋18（t＞0）.∵S＝4t＋＋18≥2＋18＝42，当且仅当4t＝，即t＝3时取等号，∴Smin＝42.当x＝3 000时，y＝0.01，∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260（元）. 10.解：（1）由题意，病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y＝2x－1（其中x∈N*）. 则将2x－1≤108两边取常用对数，得（x－1）lg 2≤8， 从而x≤＋1≈27.58. 故第一次最迟应在第27天注射该种药物. （2）由题意，第一次最迟注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%. 再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x， 则226×2%×2x≤108. 两边取常用对数，得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.2. 故再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命. 11.A　由题意得，若停靠在A区，所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500（米）；若停靠在B区，所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在C区，所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x＋15×（100－x）＋10×（100＋200－x）＝5x＋4 500，当x＝0时取得最小值，故停靠点为A区.综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区. 12.AC　因为在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，所以易知y＝ekx＋b是减函数，结合复合函数的单调性可知k＜0，故A正确；储存温度越高保鲜时间越短，故B错误；120＝eb，30＝e20k＋b＝e20k·eb，则e20k＝，e10k＝，故e10k＋b＝e10k·eb＝×120＝60（小时），故C正确；e30k＋b＝e30k·eb＝（）3×120＝15（小时），故D错误.故选A、C. 13.2.3　解析：设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，x＝＝＝≈≈2.3. 14.解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1. （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）. （3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜ ＝ 所以f（x）＝P（x）·Q（x） ＝ 当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124. 综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $