第7章 三角函数 专题微课 三角函数图象与性质的综合 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

专题微课　三角函数图象与性质的综合 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 经历求解三角函数解析式的过程,掌握三角函数的图象与性质知识,提升解题能力,灵活掌握三角函数平移变换,培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质,都是数形结合思想的应用. (2)在解决较复杂的三角函数问题时,一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.证明三角恒等式及条件求值问题中,常常是化繁为简、化异为同、化切为弦,有时逆用公式,这些都体现了转化与化归思想. 题型(一)　正、余弦函数的对称性 [例1]　函数y=sin的图象的一条对称轴是 (　 ) A.x=- B.x= C.x=- D.x= [解析]　令x-=+kπ(k∈Z),则x=+kπ(k∈Z),当k=-1时,x=-,所以C成立.经检验,其他选项都不正确.故选C. [答案]　C [例2]　设函数f(x)=2cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,则|φ|的最小值为 (　 ) A. B. C. D. [解析]　由题意,得2×+φ=+kπ(k∈Z), 解得φ=-+kπ(k∈Z),所以|φ|=(k∈Z). 当k=1时,|φ|取得最小值为. [答案]　D |思|维|建|模| 　　对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可. 　　[针对训练] 1.函数y=sin的对称轴为　　　　,对称中心为　　　　.  解析:由x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.故函数y=sin的对称轴为x=+kπ,k∈Z;对称中心为,k∈Z. 答案:x=+kπ,k∈Z　,k∈Z 2.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有f= f.则其解析式可以是f(x)=　　　　.(写出一个满足条件的解析式即可)  解析:因为对于任意的x∈R,都有f=f,所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称. 答案:cos 3x(答案不唯一) 题型(二)　利用正、余弦函数的性质求参数 [例3]　已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围是　　　　.  [解析]　由<x<π,ω>0,得+<ωx+<ωπ+. 又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z, 所以k∈Z, 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z. 又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈. [答案]　 |思|维|建|模| 已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤 首先,明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系求解;另外,若是选择题,利用特值验证排除法求解更为简捷. [针对训练] 3.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围为 (　 ) A. B.(1,2] C.(0,1] D. 解析:选A　由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由<+≤,必有+≤π,可得0<ω≤. 4.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.  解析:因为f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π), 所以最小正周期T=, 因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=. 即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z. 解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0, 所以当k=0时ωmin=3. 答案:3 题型(三)　与三角函数零点有关的问题 [例4]　已知f(x)=2sin(2x+φ),φ∈(-π,0),一条对称轴为x=,若关于x的方程f(x)=,在有两个不同的实数根,则m的取值范围为 (　 ) A.(-4,-2] B.[-4,-2] C.[2,4) D.[2,4] [解析]　因为x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)的一条对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.又φ∈(-π,0),所以φ=-. 所以f(x)=2sin. 又f(x)=,x∈,即sin=,x∈,设t=2x-,则t∈, 所以sin t=在t∈上有两个零点, 即y=sin t与y=在t∈上有两个交点,如图所示. 因为当t=-时,sin t=-, 所以-1<≤-,即-4<m≤-2. [答案]　A |思|维|建|模| 与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象,利用图象特征求解,或转化为两个函数图象的交点问题. [针对训练] 5.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)= (　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选B　由T==π, 得ω=2. ∴f(x)=2sin. 作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示. 由图可知x1+x2=,∴f(x1+x2)=2sin=2×=1. 6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  解析:函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根.因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ].令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 答案:[2,3) 题型(四)　正、余弦函数图象与性质的综合 [例5]　(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f= (　 ) A.1 B. C. D.3 [解析]　因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2, 即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z), 又2<ω<3,所以<ω+<, 所以ω+=4π,解得ω=, 所以f(x)=sin+2, 所以f=sin+2=sin+2=1.故选A. [答案]　A |思|维|建|模| 研究三角函数的几个方面 整体研究三角函数的性质,我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑. [针对训练] 7.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点, 令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误; 显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确; 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选B、C. 8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)≤f恒成立. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间. 解:(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π.而ω>0,解得ω=2. 因为f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)≤f, 所以f为最大值f=2sin=2,则2×+φ=2kπ+,k∈Z, 所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是,,. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (　 ) A.x= B.x= C.x= D.x=- 解析:选B　函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故选B. 2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是 (　 ) A. B. C.- D.- 解析:选C　依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-. 3.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为 (　 ) A.π B. C. D. 解析:选A　f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π. 4.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为 (　 ) A. B. C. D.π 解析:选A　易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以⇒a≤,于是0<a≤,即a的最大值为. 5.(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=sin B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos 解析:选B　对于A,f(x)=sin,最小正周期为=4,因为f(2)=sin π=0,所以函数f(x)=sin的图象不关于直线x=2对称,故排除A;对于B,f(x)=cos,最小正周期为=4,因为f(2)=cos π=-1,所以函数f(x)=cos的图象关于直线x=2对称,故选项B符合题意;对于C、D,函数f(x)=sin和f(x)=cos的最小正周期均为=8,均不符合题意,故排除C、D.故选B. 6.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω= (　 ) A. B. C. D.1 解析:选C　当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C. 7.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　 ) A.- B.- C. D. 解析:选D　由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0, 于是f(x)=sin, f=sin=sin=,故选D. 8.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),现有如下四个命题: 甲:该函数的最小值为-; 乙:该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π; 丙:该函数的一个零点为; 丁:该函数图象可以由y=sin的图象平移得到. 如果有且只有一个假命题,那么下列说法正确的是 (　 ) A.乙一定是假命题 B.φ的值可唯一确定 C.函数f(x)图象的一条对称轴为x= D.函数f(x)的图象可以由y=cos的图象伸缩变换得到 解析:选BCD　若甲命题正确,则A=.若乙命题正确,则最小正周期T=2π=,因为ω>0,则ω=1.若丙命题正确,则Asin=0,即+φ=kπ,k∈Z.若丁命题正确,函数图象可以由y=sin的图象平移得到,则A=,ω=2.故命题乙与命题丁矛盾.由甲、乙、丙、丁有且只有一个假命题可知,命题甲与命题丙均为真命题,命题乙与命题丁一真一假.若命题乙为真命题,则ω=1,由+φ=kπ,k∈Z,0<φ<,可得φ=,此时f(x)=sin;若命题丁为真命题,则ω=2,由+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又0<φ<,则不存在符合条件的φ,不合题意.综上,命题丁为假命题,命题甲、乙、丙均为真命题,所以f(x)=sin,故A错误,B正确.由x+=kπ+,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z.当k=0时,x=,故C正确.由y=cos=sin可知,把y=cos的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标保持不变,可以得到f(x)=sin的图象,故D正确.故选B、C、D. 9.(5分)写出一个以x=为对称轴的奇函数　　　　.  解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx. 答案:y=sin πx(答案不唯一) 10.(5分)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f=　　　　.  解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3. 答案:±3 11.(5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 答案: 12.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x);(5分) (2)求f(x)的单调递增区间.(5分) 解:(1)依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z. 又|φ|≤,∴φ=.∴f(x)=sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 13.(10分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)单调递增区间;(4分) (2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.(6分) 解:(1)因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,所以T==π.由于ω<0,所以ω=-2.所以f(x)=2sin=-2sin,所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1]. 14.(15分)已知函数f(x)=2sin+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(4分) (2)若f(x)=0,x∈,求x的值;(5分) (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.(6分) 解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴y=f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由f(x)=0,得2sin+1=0, ∴sin=-. 又∵x∈, ∴2x-∈, ∴2x-=-或2x-=-或2x-=, 解得x=0或x=-或x=. (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度, 可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1. 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象. 又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1.∵x∈, ∴sin x∈, ∴2sin x+1∈(0,3]. ∴函数h(x)在上的值域为(0,3]. [阶段质量评价]　　　　　　　　第7章　三角函数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.tan 390°的值等于 (　 ) A.- B. C.- D. 解析:选D　tan 390°=tan(360°+30°)=tan 30°=. 2.半径为r,圆心角是α(弧度)的扇形面积是 (　 ) A.r2α B.rα C.rα2 D.r2α2 解析:选A　因为扇形的半径为r,圆心角是α(弧度),所以扇形的弧长l=rα. 又因为S=lr,所以S=r2α. 3.已知P(cos 305°,sin 305°),则点P在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D　因为270°<305°<360°,所以305°为第四象限角.所以cos 305°>0,sin 305°<0. 所以点P(cos 305°,sin 305°)位于第四象限. 4.若f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期为1,则f的值为 (　 ) A.- B.- C. D. 解析:选D　∵f(x)=tan ωx(ω>0)的周期为=1,∴ω=π,即f(x)=tan πx, 则f=tan=. 5.与图中曲线对应的函数可能是 (　 ) A.y=|sin x| B.y=sin|x| C.y=-|sin x| D.y=-sin|x| 解析:选D　对于A选项,当0<x<π时, y=|sin x|>0,A选项不满足条件; 对于B选项,当0<x<π时,0<|x|<π,y=sin|x|>0,B选项不满足条件; 对于C选项,当π<x<2π时,y=-|sin x|<0,C选项不满足条件; 对于D选项,令f(x)=-sin|x|,该函数的定义域为R, f(-x)=-sin|-x|=-sin|x|=f(x),故函数y=-sin|x|为偶函数, 当0<x<π时,f(x)=-sin|x|<0,D选项满足条件. 6.函数f(x)=sin,x∈的最大值和最小值分别为 (　 ) A.1,-1 B.,- C.1, D.1,- 解析:选D　由题设,2x+∈, 故f(x)=sin∈. 所以f(x)的最大值和最小值分别为1,-. 7.已知|x|≤,则函数f(x)=cos2x+sin x的最小值为 (　 ) A. B. C.1 D. 解析:选A　y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1.令t=sin x,∵|x|≤,∴-≤sin x≤ . 则y=-t2+t+1=-+, ∴当t=-时,即x=-时,f(x)有最小值,且最小值为-+=. 8.把函数y=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选C　将函数y=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y=sin. ∵所得函数图象关于y轴对称, 即-2φ=+kπ(k∈Z), ∴φ=-(k∈Z). ∵φ>0,∴当k=0时,φ的最小值为. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　 ) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=-tan x D.y=-sin x 解析:选AC　对于选项A,y=|sin x|的最小正周期为π,在区间上y=|sin x|=sin x单调递减,故选项A正确; 对于选项B,y=cos x的最小正周期为2π,故选项B不正确; 对于选项C,y=-tan x的最小正周期为π,在区间上单调递减,故选项C正确; 对于选项D,y=-sin x的最小正周期为2π,故选项D不正确. 10.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是 (　 ) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 解析:选ABD　因为sin θ+cos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, 则2sin θcos θ=-. 因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0. 所以θ∈,故A正确. 所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=. 所以sin θ-cos θ=,故D正确. 联立可得sin θ=,cos θ=-,故B正确. 所以tan θ==-,故C错误. 11.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象,则 (　 ) A.f(x)=2cos B.g(x)=2cos+1 C.g(x)的图象关于点对称 D.g(x)在(k∈Z)上单调递减 解析:选ABD　由题图可知函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,所以A=2, =-=⇒T=π. 又T=,所以ω=2. 因为f=2⇒2cos=2, 所以+φ=2kπ(k∈Z)⇒φ=2kπ-(k∈Z). 又|φ|<,所以φ=-. 所以f(x)=2cos,故A正确. 将f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos+1=2cos+1,故B正确. 由2x+=+kπ(k∈Z)⇒x=+(k∈Z), 所以g(x)的图象关于点对称,故C错误. 由2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z), 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 故D正确.故选A、B、D. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)把函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的解析式是 y=sin,则函数f(x)的解析式为　　　　.  解析:将函数y=sin的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin, 再向左平移个单位长度, 得到y=sin=sin=cos x. 所以f(x)=cos x. 答案:f(x)=cos x 13.(5分)已知角α的终边经过点P(3,4),则 (1)tan(-6π+α)的值为　　　　;  (2)·sin(α-2π)·cos(2π+α)的值为　　　　.  解析:设x=3,y=4,则r==5, 所以sin α==,cos α==,tan α==. (1)tan(-6π+α)=tan α=. (2)原式=·sin α·cos α=sin2α=. 答案:(1)　(2) 14.(5分)若函数f(x)=2sin在区间和上都是严格增函数,则实数x0的取值范围是　　　　.  解析:当x∈时,2x+∈, 当x∈时,2x+∈, 由题意得又解得≤x0≤. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2023·全国甲卷改编)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,求a的值. 解:法一:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x-1)2-ax+sin=(x-1)2+ax+sin,得a=2. 法二:因为f(x)为偶函数,所以f=f,即-a=+a,得a=2. 16.(15分)定义函数f(x)=cos(sin x)为“正余弦”函数.结合学过的知识,可以得到该函数的一些性质:容易证明2π为该函数的周期,但是否是最小正周期呢?我们继续探究:f(x+π)=cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x).可得π也为函数f(x)=cos(sin x)的周期.但是否为该函数的最小正周期呢?我们可以分区间研究f(x)=cos(sin x)的单调性:函数f(x)=cos(sin x)在上是严格减函数,在上是严格增函数,再结合f(x+π)=f(x),可以确定f(x)=cos(sin x)的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数f(x)=sin(cos x)为“余正弦”函数,根据阅读材料的内容,解决下列问题: (1)求“余正弦”函数的定义域;(3分) (2)判断“余正弦”函数的奇偶性,并说明理由;(5分) (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期,说明理由,并求其值域.(7分) 解:(1)f(x)=sin(cos x)的定义域为R. (2)对于函数f(x)=sin(cos x), 因为f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),所以f(x)是偶函数. (3)f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]=sin(cos x)=f(x), y=cos x在区间[0,π]上单调递减,y=sin x在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)=sin(cos x)在[0,π]上单调递减. y=cos x在区间[π,2π]上单调递增,y=sin x在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)=sin(cos x)在[π,2π]上单调递增. 所以f(x)的最小正周期为2π, f(x)在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是严格减函数,在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是严格增函数. 结合f(x)=sin(cos x)的单调性可知,f(x)的值域为[-sin 1,sin 1]. 17.(15分)设函数f(x)=Asin(2x+φ),函数f(x)的最小值为-2,且x=为函数f(x)的一个零点. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(6分) (2)若对任意的x∈,不等式f(x)>m-3恒成立,求实数m的取值范围.(9分) 解:(1)∵f(x)min=-A=-2,∴A=2. ∵x=为f(x)的一个零点, ∴+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z). 又0<φ<,∴φ=.∴f(x)=2sin. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)当x∈时,2x+∈, ∴sin∈.∴f(x)∈[1,2]. ∵对任意的x∈,f(x)>m-3恒成立, ∴m-3<f(x)min=1,解得m<4. 即实数m的取值范围为(-∞,4). 18.(17分)如图,函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象与y轴的交点为(0,1),且其图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的横坐标分别为x0和x0+2π. (1)求函数f(x)的解析式;(7分) (2)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a∈(0,2π))个单位长度后,所得图象对应的函数y=g(x)是奇函数,求a的值.(10分) 解:(1)由题意,知=x0+2π-x0=2π, ∴T==4π,得ω=. ∴f(0)=2cos=1,即cos φ=. ∵-<φ<,∴φ=-或φ=. 当φ=时,函数f(x)在(0,+∞)上先取得最小值,后取得最大值,不符合题意,∴φ=-. ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos. (2)由题意得g(x)=2cos. ∵y=g(x)是奇函数, ∴g(0)=2cos=0. ∴-=kπ-(k∈Z),得a=2kπ-(k∈Z).又a∈(0,2π),∴a=. ∴g(x)=2cos=2cos=-2sinx,满足g(-x)=-g(x). ∴g(x)为奇函数.∴a=满足题意. 19.(17分)设f(x)=sin(ωx+φ),其中ω为正整数,|φ|<.当φ=0时,函数f(x)在上单调递增且在上不具有单调性. (1)求正整数ω的值;(7分) (2)已知函数f(x)在上的最小值为-,在锐角三角形ABC中,A<B,且f(A)=f(B).试问:这样的锐角三角形ABC是否存在?若存在,求角C;若不存在,请说明理由.(10分) 解:(1)当φ=0时,f(x)=sin ωx,ω∈N*. 因为当φ=0时,函数f(x)在上单调递增, 所以-≥-,且≤,得0<ω≤. 因为ω为正整数,所以ω=1或ω=2. 当ω=1时,f(x)=sin x,显然在上具有单调性,不合题意; 当ω=2时,f(x)=sin 2x在上不具有单调性,符合题意,所以ω=2. (2)f(x)=sin(2x+φ)在上的最小值为-,因为|φ|<,所以f(x)=sin(2x+φ)在上的最小值为f(0)=sin φ=-. 所以φ=-. 所以f(x)=sin. 因为f(A)=f(B), 即sin=sin, 所以2A-=2B-+2kπ或2A-+2B-=π+2kπ,k∈Z, 即A=B+kπ或A+B=+kπ,k∈Z. 又A,B为△ABC的内角,且A<B,故A+B=,所以C=. 故这样的锐角三角形ABC存在,且C=. 145 / 145 学科网（北京）股份有限公司 $$