第6章 幂函数、指数函数和对数函数 专题微课 指、对函数图象与性质的综合 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

专题微课　指、对函数图象与性质的综合 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用,重点提升数学运算素养. (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养. (3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用,重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图,图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质,为研究函数的性质提供了形象的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种:一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时,要确定它的单调性需要讨论;二是含参数的不等式、方程,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需要分类讨论. 　 题型(一)　指数、对数函数的图象及应用 [例1]　已知a>0,a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是 (　 ) [解析]　函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B;若0<a<1,则f(x)=ax是减函数,此时g(x)=loga是减函数,C、D都不满足;若a>1,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足. [答案]　C [例2]　已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围0是　　　　.  [解析]　根据指数函数和对数函数的图象,画出f(x)的图象如图所示,数形结合可知,要满足题意,只需a∈(0,1]. [答案]　(0,1] |思|维|建|模| 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.　 [针对训练] 1.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的大致图象如图,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 (　 ) 解析:选C　由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得0<a<1,0<b<1,根据指数函数y=a-x(0<a<1)的图象与性质,结合图象变换向下移动b个单位长度,可得函数g(x)=a-x-b的图象只有选项C符合.故选C. 2.当0<x≤时,4x<logax,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.(1,) D.(,2) 解析:选B　易知0<a<1,则函数y=4x与y=logax的图象大致如图所示,只需满足loga>=2即可,解得a>. 所以<a<1.故选B. 题型(二)　解不等式、比较大小问题　　　 [例3]　(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析:选B　由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故选B. [例4]　设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) [解析]　由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,得a2x-2ax-2>1,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0<a<1,所以x<loga3.故选C. [答案]　C |思|维|建|模| 方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决. [针对训练] 3.若0<x<y<1,则 (　 ) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 解析:选C　对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0<x<y<1,故3x<3y,A错误;对于B,根据底数a对对数函数y=logax的影响:当0<a<1时,在x∈(1,+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1,所以logx3>logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x<log4y,C正确;对于D,函数y=在R上单调递减,故>,D错误. 4.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是　　　　.  解析:因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1. 答案:(-∞,1] 题型(三)　指数、对数函数的综合问题 [例5]　设函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是增函数;②存在[m,n]⊆D(n>m),使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=loga(a2x+t)(a>0,a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. [解析]　依题意,函数g(x)=loga(a2x+t)的定义域为R,令u=a2x+t,显然u>0,函数y=logau在(0,+∞)上单调性与u=a2x+t在R上单调性相同,则函数g(x)在R上单调递增,显然t≥0,而当t=0时,函数g(x)=2x不满足条件②,因此t>0,由于函数g(x)在[m,n]上的值域为[m,n],则即于是m,n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等实根,令z=ax,则方程z2-z+t=0有两个不等的正实根,因此 解得0<t<,所以t的取值范围是.故选A. [答案]　A |思|维|建|模| (1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则. (2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,该类问题中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围. 　　[针对训练] 5.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是 (　 ) A.{1} B.{0,1} C.{-1,0} D.{-1,0,1} 解析:选C　∵f(x)=-=,f(-x)===-f(x),∴f(x)为奇函数.易知f(x)=-=-,∵1+ex>1,∴0<<1,则-<-<.∴当f(x)∈时,[f(x)]=-1,[f(-x)]=0;当f(x)∈时,[f(x)]=0,[f(-x)]=-1;当f(x)=0时,[f(x)]=[f(-x)]=0.∴函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. [课时检测]　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　 ) 解析:选C　因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的,过定点(1,1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的.过定点(0,2).故只有C项中的图象符合. 2.已知a=40.6,b=log38,c=ln 2,则 (　 ) A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 解析:选D　因为a=40.6>40.5=2,所以a>2.因为log33<log38<log39,所以1<b<2.因为ln 1<ln 2<ln e,所以0<c<1.所以c<b<a. 3.已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.与a的值有关 解析:选A　设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象,如图.由图可知,有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个实根.故选A. 4.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 (　 ) A.3y<2x<5z B.2x<3y<5z C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y 解析:选A　令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k.∴=·=>1,则2x>3y,=·=<1,则2x<5z.故选A. 5.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　 ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 解析:选D　f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1,故选D. 6.(2024·北京高考)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 (　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 解析:选B　因为(x1,y1),(x2,y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点,所以y1=,y2=,且x1≠x2,则≠,所以y1+y2=+>2=2,即> >0,所以log2>log2=,故选B. 7.(多选)已知logb3>loga3>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.> B.< C.log2(a-b)>0 D.2a-b>1 解析:选BD　logb3>loga3>0,由换底公式,有0<log3b<log3a,解得a>b>1,∴<,A错误;函数f(x)=为减函数,∴<,B正确;a-b>0,但a-b>1不一定成立, 不能得到log2(a-b)>0,C错误;2a-b>20=1,D正确. 8.若m=log56·log67·log78·log89·log910,则m的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:选B　依题意, m=log56····=log510. 而对数函数y=log5x在(0,+∞)上单调递增, 又5<10<25,所以log55<log510<log525, 即1<m<2.所以m的取值范围是(1,2). 9.(5分)已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的单调递增区间为　　　　　.  解析:由已知,得f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4. 答案:(4,+∞) 10.(5分)甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或x=log2,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=1,则原方程所有根的和是　　　　.  解析:设t=2x,由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0,则t2+ct+b=0.对于甲,由于甲写错常数b,则常数c是正确的,由根与系数的关系可得-c=2-2+=,即c=-;对于乙,由于乙写错了常数c,则常数b是正确的,由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0,解得t=或t=4,即2x=或2x=4,解得x=-1或2.所以原方程所有根的和是-1+2=1. 答案:1 11.(10分)比较三个数0.32,log20.3,20.3的大小. 解:法一:∵0<0.32<12=1,log20.3<log21=0,20.3>20=1,∴log20.3<0.32<20.3. 法二:作出函数y=x2,y=log2x,y=2x的大致图象,如图所示,画出直线x=0.3,根据直线与三个函数图象的交点位置,即可看出log20.3<0.32<20.3. 12.(10分)设函数f(x)=log2(2x)·log2. (1)解方程f(x)+6=0;(3分) (2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域.(7分) 解:(1)f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4. 由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0,解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4. (2)由≤43x-2得≤26x-4,即x2+x≤6x-4,解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}. 又f(x)=(log2x)2-3log2x-4, 令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=(t-)2-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为. 13.(10分)我们知道当a>0时,am+n=am·an对一切m,n∈R恒成立,某同学在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式21+1=21+21,带着好奇,他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究. (1)当m=2时,求n的值;(2分) (2)当m≤0时,求证:n是不存在的;(4分) (3)求证:只有一对正整数对(m,n)使得等式成立.(4分) 解:(1)当m=2时,22+n=22+2n,即3·2n=4, 所以n=log2. (2)证明:设t=2m,因为m≤0, 所以t=2m∈(0,1].又t·2n=t+2n, 当m=0时,t=1,t·2n=t+2n不成立; 当m≠0时,t<1,由t·2n=t+2n可得2n=. 因为2n>0,t>0,t-1<0,所以2n=不成立.综上所述,当m≤0时,n是不存在的. (3)证明:由2m+n=2m+2n可得2n=. 当m,n均为正整数时,等号左侧为2的指数幂,故右侧也是2的指数幂, 所以2m-1=1,即m=1时符合题意,此时n=1. 所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立. 14.(10分)已知函数y=g(x)为偶函数,函数y=h(x)为奇函数,g(x)+h(x)=3x对任意实数x恒成立. (1)计算g(log32),h的值;(6分) (2)试探究g(2x)与h(x)的关系,并证明你的结论.(4分) 解:(1)由g(x)+h(x)=3x得g(-x)+h(-x)=3-x,因为y=g(x)为偶函数,y=h(x)为奇函数,则g(x)-h(x)=3-x, 即 解得g(x)=,h(x)=, 所以g(log32)===, h=h==. (2)由(1)可知g(x)=,h(x)=, 探究结果:g(2x)=2h2(x)+1. 证明如下:因为g(2x)=,h2(x)==, 所以g(2x)=2h2(x)+1. [阶段质量评价]　　　　 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(16)= (　 ) A.- B. C.-4 D.4 解析:选B　设f(x)=xα,依题意f(2)=2α==,所以α=-.所以f(x)=.所以f(16)===. 2.已知3x=2,log3=y,则2x+y的值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.9 解析:选B　由3x=2,得log32=x.又因为log3=y,所以2x+y=2log32+log3=log3=log39=2. 3.已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析:选D　由题意可知,log33<log3<log39,即1<a<2,0<<=1,即0<b<1,lo=log36>log3,即c>a.综上可得c>a>b. 4.下列函数为偶函数,且在(-∞,0)上单调递增的函数是 (　 ) A.f(x)= B.f(x)=x-3 C.f(x)= D.f(x)=|ln x| 解析:选C　函数f(x)=x-3是奇函数,不符合题意;函数f(x)=|ln x|是非奇非偶函数,不符合题意;f(x)=为偶函数且在(-∞,0)上单调递减,不符合题意;f(x)=为偶函数且在(-∞,0)上单调递增. 5.若函数y=+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1] B.[-1,0) C.[1,+∞) D.(0,1] 解析:选B　由y=+m与x轴有公共点,知y=与y=-m有公共点,y=的图象如图所示. 由图可知0<-m≤1⇒-1≤m<0. 6.函数f(x)=ln(+x)的图象可能为 (　 ) 解析:选A　因为f(-x)=ln(-x),所以f(x)+f(-x)=ln(+x)+ln(-x)=ln 1=0.所以f(x)为奇函数.所以选项C错误.根据解析式可以发现,当x>0时,随着x的增大,f(x)一定是增大的,所以B、D错误. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:选D　由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.故选D. 8.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　 ) A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递增 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递增 解析:选B　由得x≠±. 又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=-(ln|2x+1|-ln|2x-1|)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|=ln,又=1+=1+,可得内层函数t=的图象如图所示, 在,上单调递减,在上单调递增. 又y=ln t是定义域内的增函数,由复合函数的单调性可得,f(x)在上单调递增,在,上单调递减. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=ln(2x-x2),则 (　 ) A.f(x)的定义域为(0,2) B.f(x)是奇函数 C.f(x)的单调递减区间是(1,2) D.f(x)的值域为R 解析:选AC　对于A,由2x-x2>0,得0<x<2,故A正确; 对于B,∵定义域不关于原点对称,∴f(x)不是奇函数,故B错误; 对于C,∵u=2x-x2在(1,2)上单调递减,而y=ln u在u>0时单调递增,∴f(x)=ln(2x-x2)在(1,2)上单调递减,故C正确; 对于D,∵0<2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴f(x)≤f(1)=0,故D错误. 10.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=ex,则下列说法正确的是 (　 ) A.g(0)=1 B.f2(x)-g2(x)=1 C.f(2x)=2f(x)·g(x) D.若f(m+2)+f(m)>0,则m>-1 解析:选ACD　由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex,可得f(-x)+g(-x)=e-x,即-f(x)+g(x)=e-x,与f(x)+g(x)=ex联立, 可得g(x)=,f(x)=, g(0)===1,A选项正确; f2(x)-g2(x)=-==-1,B选项错误; f(2x)=,2f(x)·g(x)=2×·=,f(2x)=2f(x)·g(x),C选项正确; 函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且在R上单调递增,若f(m+2)+f(m)>0,则f(m+2)>-f(m)=f(-m),有m+2>-m,所以m>-1,D选项正确. 11.已知2x=3y=36,则下列说法正确的是 (　 ) A.xy=2(x+y) B.xy>16 C.x+y<9 D.x2+y2<32 解析:选ABC　由2x=3y=36可得x=log236,y=log336. 对于A,=+=log363+log362=log366=,所以xy=2(x+y),故选项A正确. 对于B,x=log236=log24+log29=2+log29,log28<log29<log216, 即3<log29<4,所以x=2+log29∈(5,6). y=log336=log39+log34=2+log34,log33<log34<log39,即1<log34<2, 所以y=2+log34∈(3,4).所以x+y>8,xy=2(x+y)>16,故选项B正确. 对于C,x=log236=2+2log23,y=log336=2+2log32,所以x+y=4+2(log23+log32)=4+2. 令log23=t∈(1,2), 则x+y=4+2,在t∈(1,2)上单调递增, 所以x+y=4+2<4+2×=9,故选项C正确. 对于D,x=2+log29∈(5,6),y=2+log34∈(3,4),所以x2>52=25,y2>32=9. 所以x2+y2>34,故选项D不正确.故选A、B、C. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)若x∈(0,+∞),幂函数y=(a2-a-1)·xa-1单调递减,则实数a的值为　　　　.  解析:因为函数y=(a2-a-1)xa-1是幂函数, 所以a2-a-1=1,解得a=-1或a=2.当a=-1时,y=x-2,满足在区间(0,+∞)上单调递减;当a=2时,y=x,不满足在区间(0,+∞)上单调递减. 答案:-1 13.(5分)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),x∈的值域为　　　　.  解析:令t=log2x,由于函数t=log2x在上单调递增, 当x∈时,log2≤log2x≤log24,即-2≤log2x≤2,则-2≤t≤2. 所以f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log2x+log24)(log2x+log22)=(t+2)(t+1). 令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2=-, 因为函数g(t)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以g(t)min=-. 又g(-2)=0,g(2)=12, 所以g(t)max=g(2)=12,即-≤g(t)≤12. 因此函数f(x)的值域为. 答案: 14.(5分)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:复合函数f(x)=可以看作y=at,t=x2-(a-2)x+1. 当a>1时,外函数y=at单调递增,所以内函数t=x2-(a-2)x+1在上单调递减,则≥1,解得a≥4. 当0<a<1时,外函数y=at单调递减,所以内函数t=x2-(a-2)x+1在上单调递增,则≤-,解得0<a≤. 综上所述,a≥4或0<a≤. 答案:∪[4,+∞) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设函数f(x)=,其中a为常数,且f(3)=. (1)求a的值;(5分) (2)若f(x)≥4,求x的取值范围.(8分) 解:(1)由f(3)=,得=,得3a-10=-4,解得a=2. (2)由(1)知f(x)=22x-10. 由f(x)≥4,得22x-10≥22, 故2x-10≥2,解得x≥6. 故x的取值范围为[6,+∞). 16.(15分)一般地,海面上的大气压强是760 mmHg,高空中因空气稀薄,大气压强就小于760 mmHg,高度越高,大气压强越低,大气压强p(单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为p=760e-hk,其中e是自然对数的底数,k是常数.根据实验,已知500 m高空处的大气压强是700 mmHg. (1)确定关系式中的常数k;(6分) (2)求1 000 m高空处的大气压强;(4分) (3)如果高空某处的大气压强是560 mmHg,那么该处的高度是多少?(5分) 解:(1)由题设,760e-500k=700, 则-500k=ln,故k=-ln. (2)由(1)知p=760,∴当h=1 000时,p=760=760×≈644.74 mmHg. 故1 000 m高空处的大气压强约为644.74 mmHg. (3)由(1)知760=560,则h=≈1 856.69 m.故大约1 856.69 m高空处的大气压强是560 mmHg. 17.(15分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+a(a∈R). (1)求函数f(x)在R上的解析式;(6分) (2)若∀x∈R,f(x2-x)+f(4-mx)>0恒成立,求实数m的取值范围.(9分) 解:(1)由题意知f(0)=0,解得a=-1.所以当x≥0时,f(x)=3x-1. 当x<0时,则-x>0,所以f(-x)=3-x-1. 又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x). 故当x<0时,f(x)=-3-x+1. 综上,f(x)= (2)由f(x2-x)+f(4-mx)>0,得f(x2-x)>-f(4-mx). 因为y=f(x)是奇函数,所以f(x2-x)>f(mx-4). 当x≥0时,f(x)=3x-1,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(x)是定义在R上的奇函数, 所以y=f(x)在R上单调递增. 可得∀x∈R,x2-(m+1)x+4>0恒成立, 故Δ=[-(m+1)]2-16<0,解得-5<m<3. 所以m∈(-5,3). 18.(17分)已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b]⊆D,使函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],那么称y=f(x),x∈D为闭函数. (1)判断函数f(x)=1+x-x2(x∈(0,+∞))是否为闭函数?并说明理由;(4分) (2)求证:函数y=-x3(x∈[-1,1])为闭函数;(5分) (3)若y=k+(k<0)是闭函数,求实数k的取值范围.(8分) 解:(1)函数f(x)在区间上单调递增,在上单调递减. 所以该函数不在定义域内单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数. (2)证明:对于任意x1,x2∈[-1,1],且x1<x2, 有y1-y2=-=(x2-x1)(+x1x2+)=(x2-x1)>0, 即y1>y2,故y=-x3是[-1,1]上的减函数.又因为y=-x3在[-1,1]上的值域是[-1,1], 所以函数y=-x3(x∈[-1,1])为闭函数. (3)易知y=k+是[0,+∞)上的增函数,符合条件①; 设函数符合条件②的区间为[a,b],则有 故a,b是x=k+的两个不等的实数根,即方程组有两个不等非负实数根; 设x1,x2为方程x2-(2k+1)x+k2=0的两根,则解得-<k<0. 故k的取值范围为. 19.(17分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2. (1)求f(x)的解析式;(7分) (2)若对任意x∈,2f(log2x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.(10分) 解:(1)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1, 又f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b,∴2ax+a+b=2x-1. ∴解得 ∴二次函数f(x)=x2-2x+c. 设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|=2.由根与系数的关系可知x1+x2=2,x1x2=c, ∴|x1-x2|===2,解得c=0. ∴f(x)的解析式为f(x)=x2-2x. (2)由2f(log2x)+m≤0,得m≤-2f(log2x). 当x∈时,log2x∈[-2,3], 令h=log2x,则h∈[-2,3], ∴对任意x∈,2f(log2x)+m≤0恒成立,等价于m≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒成立. ∴m≤[-2f(h)]min. 又f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x∈[-2,3]时,f(x)max=f(-2)=8, ∴m≤[-2f(h)]min=-2f(-2)=-16, 即实数m的取值范围为(-∞,-16]. 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$