5.3 第1课时 函数的单调性及其应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

5.3　函数的单调性 第1课时　函数的单调性及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用与实际意义.能应用函数的单调性解决一些简单问题. 函数的单调性 前提条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A 条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 y=f(x)在区间I上单调递增,I称为y=f(x)的增区间.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数 y=f(x)在区间I上单调递减,I称为y=f(x)的减区间.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数 单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间 |微|点|助|解| 1.对函数单调性的理解 (1)x1,x2的三个特征 ①任意性:定义中“任意”不能去掉,应用时不能以特殊代替一般;②有大小:一般令x1<x2;③同区间:x1和x2属于同一个单调区间. (2)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数” 单调递增(减)强调的是函数的局部性质,即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少),而增(减)函数强调的是函数的整体性质,即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少). 2.增、减函数与自变量、函数值的互推关系 ①在定义域上若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0或>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),所以f(x)是增函数; ②在定义域上,若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0或<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,即x2>x1时,f(x2)<f(x1),所以f(x)是减函数 3.对单调区间的理解 (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间. (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (3)对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x2在R上是增函数. (　 ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. (　 ) (3)在函数单调性的定义中,可以把“∀x1,x2”改为“∃x1,x2”. (　 ) (4)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f(x)在[3,4]上也单调递增. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(多选)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　 ) A.y=- B.y=x C.y=-|x| D.y=1-x 解析:选CD　选项A、B中的函数在(0,+∞)上都单调递增,选项C、D满足条件. 3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是 (　 ) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 解析:选C　由题图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1].故选C. 4.若函数f(x)在[-2,2]上是增函数,则f(-1)　　　　f(2).(填“>”“=”或“<”)  解析:∵函数f(x)在[-2,2]上是增函数,且-1<2,∴f(-1)<f(2). 答案:< 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [例1]　证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减. [证明]　设∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2) =- = =. 因为2<x1<x2, 所以x2-x1>0,>4,>4. 所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减. |思|维|建|模|　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 [针对训练] 1.试用函数单调性的定义证明:f(x)=在(1,+∞)上单调递减. 证明:易得f(x)=2+,设x1>x2>1, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0.所以f(x1)<f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上单调递减 . 题型(二)　求函数的单调区间 [例2]　求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减. (1)f(x)=-; (2)f(x)= (3)f(x)=-x2+2|x|+3. [解]　(1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增. (2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=-x2+2|x|+3= 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在(-1,0),[1,+∞)上单调递减. |思|维|建|模| 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解. (2)利用函数的图象,如本例(3). [提醒]　若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3). [针对训练] 2.画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 解:由题意,得 y=|x|(x-2)= 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0)和[1,+∞),单调递减区间为[0,1). 题型(三)　函数单调性的简单应用 题点1　利用函数单调性求参数范围 [例3]　若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为 (　 ) A. B. C. D.∪ [解析]　因为f(x)是定义在R上的减函数, 所以解得≤a<. [答案]　A [例4]　若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,求实数a的取值范围. [解]　f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1], 因为f(x)在(-∞,3]上单调递增,所以3≤-a-1, 解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4]. [变式拓展] 在例4中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],实数a的取值范围又是如何? 解:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此的函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由题意得-a-1=3,所以a=-4. |思|维|建|模| 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 ①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件. ②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性 ③若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小.探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符合“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 题点2　利用函数单调性解不等式 [例5]　已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围. [解]　由题意,得 解得0≤x≤3,　① ∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x). 所以x-2<1-x,解得x<,　② 由①②得0≤x<. 所以满足题意的不等式解集为. |思|维|建|模| 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. [针对训练] 3.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 (　 ) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 解析:选B　由题意,得m-1>0,即m>1.因为f(x)在R上是增函数,所以f(m)>f(1). 4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,0) C.(-3,-2] D.[-3,-2] 解析:选D　因为函数f(x)=是R上的增函数, 所以解得-3≤a≤-2,即a的取值范围是[-3,-2]. 5.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是　　　　.  解析:依题意,得不等式组 解得<x≤4. 答案: [课时检测]　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是 (　 ) A.(0,1) B.(-∞,1) C. D.(-∞,3) 答案:A 2.若f(x)在R上是减函数,则f(-1)与f(a2+1)之间有 (　 ) A.f(-1)≥f(a2+1) B.f(-1)>f(a2+1) C.f(-1)≤f(a2+1) D.f(-1)<f(a2+1) 解析:选B　∵f(x)在R上是减函数,∴对任意x1,x2,若x1<x2,均有f(x1)>f(x2). 又∵-1<a2+1,∴f(-1)>f(a2+1). 3.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的单调递增区间依次是 (　 ) A.(-∞,0],(-∞,1] B.(-∞,0],(1,+∞) C.[0,+∞),(-∞,1] D.[0,+∞),[1,+∞) 解析:选C　分别作出f(x)与g(x)的图象(图略),知f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在(-∞,1]上单调递增.故选C. 4.已知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,则b的取值范围为 (　 ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.R 解析:选A　f(x)=a+,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以b>0,故选A. 5.已知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 (　 ) A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.[2,3) D.[0,3) 解析:选C　∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,对于f(2x-4)>-1,则0≤2x-4<2,解得2≤x<3,∴实数x的取值范围是[2,3). 6.已知函数f(x)=-x|x|,则不等式f(2+5m)<f(2m2-1)的解集为 (　 ) A. B. C.∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪ 解析:选A　由函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得函数f(x)在R上单调递减.又由不等式f(2+5m)<f(2m2-1),可得2+5m>2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-<m<3,即实数m的取值范围为.故选A. 7.(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)在R上是减函数 B.f(-5)<f(0)<f(1) C.f(0)=0 D.f(2x-1)<f(3-x)的解集为 解析:选BD　由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)<f(0)<f(1),B正确;不一定有f(0)=0,如f(x)=x3+1在R上为增函数,f(0)=1,C错误;由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<,D正确.故选B、D. 8.(5分)函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　　　.  解析:易知y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图所示. 由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 答案:[-1,1]和[3,+∞) 9.(5分)已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为　　　　.  解析:因为f(x)在区间[-1,1]上为增函数,且f(x)<f,所以解得-1≤x<. 答案: 10.(5分)已知函数f(x)=在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:根据反比例函数的单调性可知,要使函数f(x)=在区间(-1,+∞)上单调递增,只有1-a<0,即a>1,所以实数a的取值范围是(1,+∞). 答案:(1,+∞) 11.(5分)函数y=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  解析:y==1+, 由题意知解得a≤-3. 答案:(-∞,-3] 12.(10分)已知函数f(x)=mx++(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=. (1)求m,n的值;(3分) (2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并用定义证明.(7分) 解:(1)因为f(1)=m++=2, f(2)=2m++=,所以m=1,n=2. (2)由(1)知f(x)=x++,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,证明如下: 设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2) =x1++- =(x1-x2)=. 因为1≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1, 所以2x1x2>2>1. 所以<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. 13.(10分)已知f(x)=(x≠a) . (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(4分) (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.(6分) 解:(1)证明:设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=. ∵x1<x2<-2,∴x1-x2<0,x1+2<0,x2+2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=. ∵a>0,1<x1<x2,∴a(x2-x1)>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,若a>1,则当1<x1<a<x2时,(x1-a)(x2-a)<0,当0<a≤1时,(x1-a)(x2-a)>0,∴0<a≤1.综上所述,a的取值范围为(0,1]. 14.(10分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1. (1)求f(1)的值.(2分) (2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值.(3分) (3)若f(x-2)>2,求x的取值范围.(5分) 解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0. (2)因为f=1,所以f(m)=2=f+f=f=f,所以m=. (3)因为f(x-2)>2=f,又y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以解得2<x<.故x的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$