5.2 第2课时 分段函数 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　分段函数 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]　　　　　　 [课时目标] 1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画分段函数的图象. 2.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 分段函数的概念和特点 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式.像这样的函数,通常叫作分段函数.分段是对于定义域而言的,将定义域分成几段,各段上的解析式不一样,分段函数是一个函数,而不是多个函数 分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象 题型(一)　分段函数求值问题 [例1]　已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(1),f; (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. [解]　(1)由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f(1)=3×1+5=8,f=f=f=3×+5=. (2)因为a2+2≥2, 所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3, 所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0, 解得a≥1或a≤-, 即实数a的取值范围是∪[1,+∞). [变式拓展] 1.本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值. 解:当a≤-2时,f(a)=a+1=3, 即a=2>-2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,f(a)=3a+5=3, 即a=-∈(-2,2),符合题意; 当a≥2时,f(a)=2a-1=3, 即a=2∈[2,+∞),符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,实数a的值为-或2. 2.本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围. 解:当x≤-2时,f(x)>2x可化为x+1>2x, 即x<1,所以x≤-2; 当-2<x<2时,f(x)>2x可化为3x+5>2x, 即x>-5,所以-2<x<2; 当x≥2时,f(x)>2x可化为2x-1>2x, 则x∈⌀.综上可得,x的取值范围是(-∞,2). |思|维|建|模| 1.分段函数求值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.　 2.求自变量的值的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解. 3.求参数值的方法 若分段函数的自变量含参数,要考虑自变量整体的取值属于哪个范围,从而根据对应的解析式整体代入,转化为方程或不等式问题. [针对训练] 1.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 (　 ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选A　由题易知f(1)=2×1=2,据此结合题意分类讨论: 当a>0时,f(a)=2a,由f(a)+f(1)=0,得2a+2=0,解得a=-1,舍去; 当a≤0时,f(a)=a+1,由f(a)+f(1)=0,得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意. 2.函数f(x)=则f(7)=　　　　.  解析:∵函数f(x)= ∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8. 答案:8 题型(二)　分段函数的图象及应用 [例2]　已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的值域. [解]　(1)当0≤x≤2时, f(x)=1+=1. 当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x. ∴f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). [变式拓展] 把本例条件改为“f(x)=|x|-2”,如何求解. 解:(1)f(x)=|x|-2= (2)函数的图象如图所示. (3)由图可知,f(x)的值域为[-2,+∞). |思|维|建|模| 分段函数图象的画法 　　作分段函数的图象时,分别作出各段的图象.在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. [针对训练] 3.已知函数f(x)= (1)画出f(x)的图象; (2)若f(x)=,求x的值; (3)若f(x)≥,求x的取值范围. 解:(1)函数y=x2的对称轴为x=0,当x=0时,y=0; 当x=-1时,y=1;当x=1时,y=1,故f(x)的图象如图所示. (2)f(x)=等价于　①或　②或　③ 解①得x=±,②③的解集都为⌀. 所以当f(x)=时,x=±. (3)由于f=,结合此函数图象可知, f(x)≥的x的取值范围是∪. 题型(三)　分段函数的实际应用问题 [例3]　某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣;如果顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元,求此人购物实际所付金额. [解]　设此人购物总金额为x元,可获得购物折扣金额为y元,则y= 当x=900时,y=0.1×(900-500)=40. ∵60>40,∴x>900.∴0.2(x-900)+40=60. 解得x=1 000.∴1 000-60=940. 故此人购物实际所付金额为940元. |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件,将文字语言转化为数学语言; (2)建立恰当的分段函数模型解决问题. [针对训练] 4.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式; (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么? 解:(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30], g(x)= (2)①当12≤x≤20时,令6x=90,解得x=15, 即当12≤x<15时,f(x)<g(x); 当x=15时,f(x)=g(x); 当15<x≤20时,f(x)>g(x). ②当20<x≤30时,f(x)>g(x). 综上,当12≤x<15时,选A俱乐部合算; 当x=15时,选A,B俱乐部都合算; 当15<x≤30时,选B俱乐部合算. [课时检测] 1.函数f(x)=的图象是 (　 ) 解析:选C　函数f(x)==故选C. 2.函数f(x)=的值域是 (　 ) A.R B.[0,2]∪{3} C.[0,+∞) D.[0,3] 解析:选B　当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}. 3.已知函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为 (　 ) A.-1 B.±1 C.0 D.1 解析:选B　当a≥0时,f(a)=a3=1,则a=1, 当a<0时,f(a)==1,解得a=-1. 综上a=±1. 4.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 (　 ) A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5] 解析:选AD　选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;选项B,图象法只能近似地求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;选项C,由图象可得函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;选项D,由图象可得函数的值域为[1,5],D正确. 5.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a= (　 ) A. 　 B. C.2 　 D.9 解析:选C　∵函数f(x)=∴f(0)=2,则f(f(0))=f(2)=4+a2=4a,即(a-2)2=0,解得a=2. 6.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是 (　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 解析:选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误; 当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1], 当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4), 因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确; 当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去), 当-1<x<2时,x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确; 当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x2<1,解得-1<x<1, 因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误. 7.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论不成立的是 (　 ) A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B.fp[f(1)]=f[fp(1)] C.fp[fp(2)]=f[f(2)] D.fp[fp(3)]=f[f(3)] 解析:选B　因为f(x)=x2-2x-1,p=2,所以f2(x)=对于A,fp[f(0)]=f2(-1)=2,f[fp(0)]=f(-1)=1+2-1=2,所以A正确;对于B,fp[f(1)]=f2(-2)=2,f[fp(1)]=f(-2)=4+4-1=7,所以B错误;对于C,fp[fp(2)]=f2(-1)=2,f[f(2)]=f(-1)=2,所以C正确;对于D,fp[fp(3)]=f2(2)=-1,f[f(3)]=f(2)=-1,所以D正确. 8.(5分)已知函数f(x)=则f(3)=　　　　.  解析:f(3)=-2×3+3=-3. 答案:-3 9.(5分)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为　　　　.  解析:原不等式转化为或解得-1≤x≤1. 答案:[-1,1] 10.(5分)已知函数f(x)=若f=-6,则f(4)=　　　　.  解析:由题意,得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.故f(4)=42-5×4=-4. 答案:-4 11.(10分)已知函数f(x)= (1)求f(f(f(5)))的值;(6分) (2)画出函数f(x)的图象.(4分) 解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3. 因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1. 因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1. (2)f(x)的图象如图所示. 12.(10分)如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C,D,A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式. 解:当点P在BC上运动, 即0≤x≤4时,y=×4×x=2x; 当点P在CD上运动,即4<x≤8时, y=×4×4=8; 当点P在DA上运动,即8<x≤12时, y=×4×(12-x)=24-2x. 综上可知,f(x)= 13.(10分)已知函数f(x)的图象如图所示,在区间[0,4]上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式;(5分) (2)解不等式f(x)≤x+1.(5分) 解:(1)由题图可知,当x<0时,f(x)=3. 当0≤x≤4时,设f(x)=a(x-2)2-1, 把点(1,0)代入,得a-1=0,解得a=1. 所以f(x)=(x-2)2-1. 当x>4时,设f(x)=kx+b, 把(4,3),(5,0)代入,得 解得 所以f(x)=-3x+15. 综上,f(x)= (2)当x<0时,3≤x+1,解得x≥4,不符合,舍去; 当0≤x≤4时,(x-2)2-1≤x+1,解得≤x≤4; 当x>4时,-3x+15≤x+1,解得x≥4,所以x>4. 综上,不等式f(x)≤x+1的解集为. 14.(10分)设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,求x0的取值范围. 解:因为x0∈A,所以0≤x0<, 且f(x0)=x0+, 又≤x0+<1,所以x0+∈B, 所以f(f(x0))=2=2, 又f(f(x0))∈A,所以0≤2<,解得<x0≤,又0≤x0<,所以<x0<. 故x0的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$