5.1 第2课时 函数概念的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　函数概念的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标]　进一步了解函数的概念,能求简单函数的定义域及值域.能求一些简单的抽象函数值及定义域. 题型(一)　已知解析式求函数的定义域 [例1]　函数y=的定义域为 (　 ) A.(-∞,3] B.[0,3] C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3] [解析]　由题设可得 解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2, 故x∈[0,2)∪(2,3]. [答案]　D [例2]　函数f(x)= -的定义域是　　　　.  [解析]　由题意,得解得x≥-1且x≠0.故x∈[-1,0)∪(0,+∞). [答案]　[-1,0)∪(0,+∞) |思|维|建|模|　已知解析式求函数的定义域的步骤 [针对训练] 1.函数f(x)=-(x-3)0的定义域为 (　 ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.[3,+∞) 解析:选C　由得x>2,且x≠3. 2.函数f(x)=-的定义域为　　　　.  解析:要使f(x)有意义,则解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1,+∞). 答案:[1,+∞) 题型(二)　求抽象函数的定义域 [例3]　已知函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为　　　　.  [解析]　令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1. 所以f(2x+1)的定义域为[-1,1]. [答案]　[-1,1] [例4]　若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是　　　　.  [解析]　由题意知,-2≤x≤4. 所以-5≤3x+1≤13. 所以y=f(x)的定义域是[-5,13]. [答案]　[-5,13] |思|维|建|模| 抽象函数的定义域的类型及解题策略 (1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域. [针对训练] 3.若函数y=f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域是 (　 ) A.[0,1) B.(0,1) C.[0,1] D.[0,1)∪(1,9] 解析:选A　因为函数y=f(x)的定义域是[0,3],所以解得0≤x<1.所以函数g(x)=的定义域是[0,1). 4.已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选B　由f(x2-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3].所以x2∈[1,9],即x2-1∈[0,8].所以f(x)的定义域为[0,8].令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈.所以f(2x-1)的定义域为. 题型(三)　求函数的值域 [例5]　求下列函数的值域: (1)y=x+1; (2)y=x2-2x+3,x∈[0,3); (3)y=; (4)y=2x-. [解]　(1)(观察法)∵x∈R,∴x+1∈R,即函数值域是R. (2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6). (3)(分离常数法)y===3-.∵≠0,∴y≠3. ∴y=的值域为(-∞,3)∪(3,+∞). (4)(换元法)设t=,则t≥0且x=t2+1,∴y=2(t2+1)-t=2+.由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为. |思|维|建|模|　求函数值域的方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到. (2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域. [针对训练] 5.求下列函数的值域: (1)y=-1(x≥4); (2)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (3)y=x+; (4)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]). 解:(1)因为x≥4,所以≥2.所以-1≥1. 所以函数的值域为[1,+∞). (2)因为x∈{1,2,3,4,5},y=2x+1, 所以y={3,5,7,9,11}. (3)设u=,则u≥0,且x=, 于是y=+u=(u+1)2≥. 所以y=x+的值域为. (4)因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2], 所以当x=1时,ymin=-4, 当x=-1时,ymax=0. 所以函数的值域为[-4,0]. [课时检测] 1.函数f(x)=的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　要使f(x)有意义,只需满足即x≤且x≠0. 2.已知函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 (　 ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 解析:选A　由题意,当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3,所以函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}. 3.函数f(x)=(x∈R)的值域是 (　 ) A.(-∞,1] B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 解析:选B　因为x2+1≥1,所以0<≤1.故函数f(x)=(x∈R)的值域为(0,1],故选B. 4.(多选)下列函数中,定义域为{x|x>1}的是 (　 ) A.y= B.y= C.y=+(3x-3)0 D.y=(2x-2)0 解析:选AC　A选项,依题可知x-1≠0,且2x-2≥0,所以x>1,故A正确;B选项,依题可知x-1≥0,所以x≥1,故B错误;C选项,依题可知x-1≥0,且3x-3≠0,所以x>1,故C正确;D选项,依题可知2x-2≠0,所以x≠1,故D错误. 5.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是 (　 ) A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.[-8,-2)∪(-2,1] C. D.∪(-2,0] 解析:选D　因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],所以对于函数g(x)=有解得-≤x<-2或-2<x≤0. 所以函数g(x)的定义域为∪(-2,0]. 6.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数,则函数的定义域为 (　 ) A.(10,20) B.(0,10) C.(5,10) D.[5,10) 解析:选A　由题设有y=40-2x, 由得10<x<20,故选A. 7.函数f(x)=的值域是 (　 ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:选C　∵f(x)==1-,又x+1≠0,即≠0,∴f(x)≠1. 8.已知函数f(2x-1)的定义域为(0,1),则函数f(1-3x)的定义域是 (　 ) A. B. C.(-1,1) D. 解析:选D　因为函数f(2x-1)的定义域为(0,1),即x∈(0,1),所以-1<2x-1<1.所以函数f(x)的定义域为(-1,1).由-1<1-3x<1,得0<x<.所以函数f(1-3x)的定义域是.故选D. 9.(5分)函数y=x2-1的值域为　　　　.  解析:易知y=x2-1的定义域为R.因为x2≥0,所以x2-1≥-1.所以函数y=x2-1的值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) 10.(5分)已知函数f(x)的定义域为[-1,3],则g(x)=f(x-2)+的定义域为　　　　.  解析:因为函数f(x)的定义域为[-1,3],所以f(x-2)中x-2∈[-1,3].所以g(x)的定义域满足解得1≤x≤3. 答案:[1,3] 11.(5分)已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是　　　　　.  解析:由题意知-1≤x≤2,所以-3≤-2x+1≤3.所以y=f(x)的定义域为[-3,3]. 答案:[-3,3] 12.(5分)若函数y=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.  解析:当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;当a≠0时,由题意知⇒0<a≤4. 综上,a的取值范围为[0,4]. 答案:[0,4] 13.(10分)求下列函数的定义域: (1)f(x)=(x+2)0+;(5分) (2)g(x)=.(5分) 解:(1)由题意得解得x≤1且x≠-2. 所以函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,1]. (2)由题意得解得x≥0且x≠3. 所以函数g(x)的定义域是[0,3)∪(3,+∞). 14.(10分)求下列函数的值域: (1)y=(3分);(2)y=(3分); (3)y=2x+4(4分). 解:(1)∵0≤16-x2≤16,∴0≤≤4,即函数y=的值域为[0,4]. (2)(分离常数法)∵y==1-,且定义域为{x|x≠-1},∴≠0,即y≠1. ∴函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}. (3)(换元法)令t=(t≥0),则x=1-t2,所以y=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0),结合图象(图略)可得函数的值域为(-∞,4]. 15.(10分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),设g(x)=f(2x-1),求g(x)的定义域和值域;(5分) (2)已知g(x)=f(2x-1)+1,且g(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),求函数f(x)的定义域和值域.(5分) 解:(1)因为1<2x-1≤2,所以1<x≤.又f(x)的值域为[-5,+∞),所以函数g(x)的定义域为,值域为[-5,+∞). (2)因为1<x≤2,所以1<2x-1≤3. 因为g(x)≥-5,所以g(x)-1≥-6. 因为g(x)=f(2x-1)+1, 所以f(2x-1)=g(x)-1≥-6,故f(x)≥-6. 因此函数f(x)的定义域为(1,3],值域为[-6,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$