4.2.1 对数的概念 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

4.2　对　数 4.2.1　对数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1)⇔logaN=b的等价关系,学会将对数与幂进行相互转化. 2.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值. 逐点清(一)　对数的概念 [多维理解] 1.对数的概念 一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数. 2.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数称为常用对数 lg N 自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数 ln N |微|点|助|解| 定义中规定a>0,且a≠1的理由 (1)当a<0且N为某些数值时,x不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以lo3不存在,因此,规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0. (2)当a=0,且N≠0时,logaN不存在;当a=0,且N=0时,x可取无数个值,因此规定a≠0. (3)当a=1,且N不为1时,x不存在;而a=1且N=1时,x可以为任何实数,因此规定a≠1. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对数log39和log93的意义一样. (　 ) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　 ) (3)对数运算的实质是求幂指数. (　 ) (4)若ln N=2,则N=2e. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.lg 7与ln 8的底数分别是 (　 ) A.10,10 B.e,e C.10,e D.e,10 答案:C 3.已知b=c,则有 (　 ) A.a2b=c B.=b C.bc=2a D.=b 解析:选B　由题意得(a2)c=b,即=b. 4.在M=lo(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为 (　 ) A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4) 解析:选B　由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. 逐点清(二)　对数与指数的关系 [多维理解] 1.对数与指数的关系 当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN. 2.对数与指数的关系示意图 |微|点|助|解| 指数式ab=N,根式=a和对数式logaN=b(N>0,a>0,且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下: 表达形式 a b N 对应的运算 ab=N 底数 指数 幂 乘方,由a,b求N =a 方根 根指数 被开方数 开方,由N,b求a logaN=b 底数 对数 真数 对数,由N,a求b 由此可知: ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算; ②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键. [微点练明] 1.已知loga9=-2,则a的值为 (　 ) A.-3 B.- C.3 D. 解析:选D　∵loga9=-2,a>0,且a≠1,∴a-2=9.解得a=.故选D. 2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　 ) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 解析:选ACD　选项A中,指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;选项B中,指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确;选项C中,对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;选项D中,对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确. 3.求下列各式的值. (1)log981=　　　　;(2)log0.41=　　　　　;(3)ln e2=　　　.  解析:(1)设log981=x,所以9x=81=92.故x=2,即log981=2. (2)设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40.故x=0,即log0.41=0. (3)设ln e2=x,所以ex=e2.故x=2,即ln e2=2. 答案:(1)2　(2)0　(3)2 逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用　　 [多维理解] 对数的性质 (1)loga1=0(a>0,且a≠1); (2)logaa=1(a>0,且a≠1); (3)零和负数没有对数 对数恒等式 =N(a>0,且a≠1,N>0) |微|点|助|解| 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2). (2)将有关数值转化成幂的形式,如3=. [微点练明] 1.已知log3(log2x)=0,那么x= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为log3(log2x)=0,所以log2x=1.则x=2. 2.设=25,则x的值等于 (　 ) A.10 B.13 C.100 D.±1 001 解析:选B　由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13. 3.若log2(log0.5(log2x))=0,则x的值是 (　 ) A. B.2 C. D.1 解析:选A　因为log2(log0.5(log2x))=0, 所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=. 4.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值为　　　　.  解析:由对数的性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z.因为x=14,所以x2y=196,即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49,从而xy=98. 答案:98 [课时检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.下列选项中,可以求对数的是 (　 ) A.0 B.-5 C.π D.-x2 解析:选C　根据对数的定义,得0和负数没有对数,∴选项A、B不可以求对数.又-x2≤0,∴选项D没有对数.∵π>0,∴选项C可以求对数. 2.已知81=x,则x等于 (　 ) A.-8 B.8 C.4 D.-4 解析:选B　由题意得()x=81,即=34,则x=8. 3.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是 (　 ) A.(2,+∞) B. C.(-∞,2) D.∪(1,2) 解析:选D　要使式子log(2x-1)有意义,则即解得<x<1或1<x<2.所以x的取值范围是∪(1,2). 4.方程=的解是 (　 ) A. B. C. D.9 解析:选A　∵==2-2,∴log3x=-2.∴x=3-2=. 5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 ) A.e0=1与ln 1=0 B.=与log8=- C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7 解析:选ABD　e0=1⇔ln 1=0,故A正确;=⇔log8=-,故B正确;log39=2⇔32=9,=3⇔log93=,故C不正确;log77=1⇔71=7,故D正确. 6.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 (　 ) A.若M=N,则logaM=logaN B.若logaM=logaN,则M=N C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2 解析:选B　A中,若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;B正确;C中,M与N也可能互为相反数;D中,当M=N=0时不正确. 7.若a>0,=,则a等于 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　因为=,a>0,所以a==.设a=x,所以=a.所以x=3. 8.若logx=z,则x,y,z之间满足 (　 ) A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz D.y=z7x 解析:选B　由题意得=xz,所以y=(xz)7=x7z. 9.(多选)下列等式正确的有 (　 ) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10,则x=10 D.若ln x=e,则x=e2 解析:选AB　lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;若lg x=10,则x=1010,故C错误;若ln x=e,则x=ee,故D错误. 10.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息,可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的 (　 ) A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 解析:选C　设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg,30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以==106. 11.(5分)若lo(2x2+1)=2,则x=　　　　.  解析:依题意得解得x=2. 答案:2 12.(5分)已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为　　　　.  解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5.同理b=5,故=1. 答案:1 13.(5分)若x>0,y>0,且log7x=log14y=log28(x+y),则=　　　　.  解析:令log7x=log14y=log28(x+y)=t,则x=7t,y=14t,x+y=28t,∴7t·28t=(14t)2.即x(x+y)=y2,则1+=.∵>0,∴=或=(舍去). 答案: 14.(10分)求下列各式中x的值. (1)log3x=-3;(2分)(2)logx49=4;(2分) (3)lg 0.000 01=x;(3分)(4)ln=-x.(3分) 解:(1)由题意得x=3-3=. (2)由x4=49,x>0且x≠1,得x=. (3)由10x=0.000 01=10-5,得x=-5. (4)由e-x==,得x=-. 15.(10分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系. 解:由log3[lo(log3y)]=0, 得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310. 由log2[lo(log2x)]=0, 得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215. 由log5[lo(log5z)]=0, 得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56, ∵310>215>56,∴y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $$