4.1.1 根式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第4章　指数与对数 4.1　指　数 4.1.1　根　式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负. 逐点清(一)　n次方根　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 定义 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根 个数 n为奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x= a<0 x<0 n为偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=± a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于0 |微|点|助|解| (1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广. (3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算. [微点练明] 1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 (　 ) A.当n为奇数时,x的n次方根为a B.当n为奇数时,a的n次方根为x C.当n为偶数时,x的n次方根为±a D.当n为偶数时,a的n次方根为±x 解析:选BD　当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选B、D. 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| 解析:选BD　负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确. 逐点清(二)　根　式 [多维理解] 1.根式 式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. 2.根式的性质(n>1,n∈N*) (1)当n为奇数时,=a. (2)当n为偶数时,=|a|= (3)=0. (4)负数没有偶次方根. |微|点|助|解| 根式符号的注意点 (1)n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a. (3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a. (4)式子对任意a∈R都有意义. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)()5=-2. (　 ) (2)()4=-2. (　 ) (3)()4=2. (　 ) (4)=-5. (　 ) (5)=b. (　 ) (6)=b2. (　 ) (7)()n总有意义. (　 ) (8) 总有意义. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×　(8)√ 2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是 (　 ) A.xy<0 B.xy>0 C.x>0,y>0 D.x<0,y<0 解析:选A　由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确. 3.若x≠0,则|x|-+的值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　因为x≠0,所以|x|-+=|x|-|x|+=1. 4.若=,则实数a的取值范围是 (　 ) A.R B.{0} C. D. 解析:选D　由===,可得2a-1≤0,即a≤.所以实数a的取值范围是. 逐点清(三)　根式的化简与求值 [典例]　化简下列各式: (1) (n>1,且n∈N*); (2) . [解]　(1)=|3-π|.当n为奇数时,=3-π;当n为偶数时,=|3-π|=π-3. (2) =|x-y|. 当x≥y时,=x-y; 当x<y时,=y-x. |思|维|建|模| 化简根式的注意点 (1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数. (2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有=±. 　　[针对训练] 求下列各式的值: (1)+; (2)-+. 解:(1)法一:原式=+=+=+1+-1=2. 法二:令x=+,两边平方得x2=6+2=8. 因为x>0,所以x=2. (2)原式=-+=+-(2-)+2- =2. [课时检测] 1.已知m10=2,则m= (　 ) A. B.- C. D.± 解析:选D　因为m10=2,所以m是2的10次方根.又10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数.所以m=±. 2.若m3=64,则= (　 ) A.±8 B.8 C.4 D.2 解析:选D　因为m3=64,所以m=4.则==2,故选D. 3.若a<,则化简的结果是 (　 ) A.4a-1 B.1-4a C.- D.- 解析:选B　∵a<,∴4a-1<0.∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 4.若m=,n=,则m+n的值为 (　 ) A.-7 B.-1 C.1 D.7 解析:选C　m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1. 5.化简等于 (　 ) A.π-π-1 B.π-1-π C.π+π-1 D.0 解析:选A　====|π-1-π|=π-π-1. 6.当a>0时,等于 (　 ) A.x B.x C.-x D.-x 解析:选C　由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C. 7.若+=0,a≠0,且n∈N*,n≥2,则 (　 ) A.a>0,且n为偶数 B.a<0,且n为偶数 C.a>0,且n为奇数 D.a<0,且n为奇数 解析:选B　依题意,+=+a=0,即=-a,而a≠0,且n∈N*,n≥2,若n为奇数,则=a,必有a=0,矛盾,于是得n为偶数,此时,-a=>0,即a<0.所以a<0,且n为偶数,B正确. 8.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 (　 ) A.(-)6=a-b B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b 解析:选B　A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|.故C和D错误. 9.下列式子成立的是　 (　 ) A.a= B.a=- C.a=- D.a= 解析:选C　要使a有意义,则a≤0,故a=-(-a)=-=-. 10.镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,,.则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为 (　 ) A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学 C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学 解析:选C　()10=52=25,()10=25=32.∵25<32,∴<.又∵=32=9,=23=8,∴>.∴<<.又∵镜片折射率越高,镜片越薄,∴甲同学制作的镜片最厚,乙同学制作的镜片最薄. 11.若-=m,则的结果是 (　 ) A.m2+2 B.m2-2 C.+2 D.-2 解析:选A　因为m2==y+-2,所以=+y=m2+2. 12.(5分)等式=(5-x)成立的x取值范围是　　　　.  解析:要使==|x-5|=(5-x)成立, 则所以-5≤x≤5. 答案:[-5,5] 13.(5分)化简:+=　　　　　.  解析:+=+=3++3-=6. 答案:6 14.(10分)已知x=,y=,求-的值. 解:-=-=.将x=,y=代入上式,得原式===-24=-8. 15.(10分)设f(x)=,若0<a≤1,求f. 解:f====, 因为0<a≤1,所以a≤,故f=-a. 16.(10分)求证:=±(其中A>0,B>0,A2-B>0). 证明:设+=x,x>0,两边平方, 得x2=++ 2=A+. 由x>0,得x=, 所以 +=. 同理可得-=.由此得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$