3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　一元二次不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法.2.能解决简单的一元二次不等式恒成立问题.

3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.

题型(一)　简单分式不等式的解法

先将分式不等式移项、通分,整理成一边为0的形式,再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax+b,g(x)=cx+d),即

(1)>0⇔f(x)·g(x)>0;

(2)<0⇔f(x)·g(x)<0;

(3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0;

(4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.

[例1]　解下列不等式:

(1)<0;

(2)≤1.

[解]　(1)<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3,∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}.

(2)∵≤1,∴-1≤0,

∴≤0,即≥0.

此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,

解得x<或x≥4,

∴原不等式的解集为.

|思|维|建|模|

分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.

　

 [针对训练]

1.解下列不等式:

(1)≥0;(2)<3.

解:(1)不等式≥0可转化成不等式组

解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.

即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.

(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.

所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}.

题型(二)　一元二次不等式恒成立问题

　　　

(1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有

①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或

②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或

(2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于

[例2]　对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.

[解]　若m=0,显然-1<0恒成立;

若m≠0,则解得-4<m<0.

综上,m的取值范围为(-4,0].

 [变式拓展]

1.在本例中,是否存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:不存在.理由:显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈⌀,所以不存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0.

2.在本例中,把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.

解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,

因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,

所以m(x2-x)<1可化为m<,

因为x2-x=-≤6,

所以≥,所以m<.

即m的取值范围是.

|思|维|建|模|

一元二次不等式恒成立问题的解法

(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑两个方面:x2的系数和对应方程的判别式的符号.

(2)转化为二次函数的最值问题:分离参数后,求相应二次函数的最值,使参数大于(小于)这个最值.

 [针对训练]

2.已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4.

(1)若对任意实数x,不等式恒成立,求实数m的取值范围;