3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　一元二次不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法.2.能解决简单的一元二次不等式恒成立问题. 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 题型(一)　简单分式不等式的解法 先将分式不等式移项、通分,整理成一边为0的形式,再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax+b,g(x)=cx+d),即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0; (2)<0⇔f(x)·g(x)<0; (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0; (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. [例1]　解下列不等式: (1)<0; (2)≤1. [解]　(1)<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3,∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)∵≤1,∴-1≤0, ∴≤0,即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0, 解得x<或x≥4, ∴原不等式的解集为. |思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 　 [针对训练] 1.解下列不等式: (1)≥0;(2)<3. 解:(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤-1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 　　　 (1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有 ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于 [例2]　对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围. [解]　若m=0,显然-1<0恒成立; 若m≠0,则解得-4<m<0. 综上,m的取值范围为(-4,0]. [变式拓展] 1.在本例中,是否存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:不存在.理由:显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈⌀,所以不存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0. 2.在本例中,把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围. 解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1, 因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0, 所以m(x2-x)<1可化为m<, 因为x2-x=-≤6, 所以≥,所以m<. 即m的取值范围是. |思|维|建|模| 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑两个方面:x2的系数和对应方程的判别式的符号. (2)转化为二次函数的最值问题:分离参数后,求相应二次函数的最值,使参数大于(小于)这个最值. [针对训练] 2.已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4. (1)若对任意实数x,不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于0≤m≤4,不等式恒成立,求实数x的取值范围. 解:(1)若对任意实数x,不等式恒成立,即x2+mx-4x-m+4>0恒成立. 则关于x的方程x2+mx-4x-m+4=0的判别式Δ=(m-4)2-4(-m+4)<0, 即m2-4m<0,解得0<m<4,所以实数m的取值范围为(0,4). (2)不等式x2+mx>4x+m-4, 可看成关于m的一次不等式m(x-1)+x2-4x+4>0,又0≤m≤4, 所以解得x≠2且x≠0,所以实数x的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞). 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 [例3]　某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? [解]　(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 当且仅当 即解不等式,得0<x<, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围是. |思|维|建|模| 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式. 　　[针对训练] 3.如图所示,某学校要在长为8 m,宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种植花卉,花卉带的宽度相同,均为x m,中间种植草坪. (1)若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是多少? (2)为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x的取值范围是多少? 解:由题意,中间草坪的长为8-2x>0,宽为6-2x>0,且x>0,中间草坪的面积为(8-2x)(6-2x),矩形土地的面积为6×8=48. (1)因为中间草坪的面积为矩形土地面积的一半, 所以解得x=1. 所以若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是1. (2)因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半, 所以解得0<x<1. 所以花卉带的宽度x的取值范围是(0,1). [课时检测]　　　　　　　　　　　　　　　　 1.不等式<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<2或2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2} 解析:选A　原不等式⇔ 所以-1<x<3且x≠2. 2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0,4] D.[0,4] 解析:选D　当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得0<a≤4,所以0≤a≤4. 3.已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1) 解析:选B　原命题是假命题,则其否定是真命题,即∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-1<a<3.故选B. 4.“-3<m<1”是“关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0恒成立”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A　当m=1时,不等式(m-1)2x+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立,当m≠1时,则解得-3<m<1,故m的取值范围为-3<m≤1.故“-3<m<1”是“-3<m≤1”的充分且不必要条件. 5.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-1,4) B.(-4,1) C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 解析:选C　因为x>0,y>0且4x+y=xy,所以+=1.所以x+==2++≥2+2=4,当且仅当=,即y=4x=8时,等号成立.所以m2+3m>4,即(m+4)(m-1)>0,解得m<-4或m>1.所以m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 6.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足 (　 ) A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6 解析:选A　设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A. 7.(5分)已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6. 答案:[-2,6] 8.(5分)不等式≥5的解集是　　　　.  解析:原不等式⇔-5≥0⇔≤0⇔解得0<x≤. 答案: 9.(5分)某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为　　　　.  解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}. 答案:{t|10≤t≤15,t∈N} 10.(5分)若关于x的不等式x2-2x-3a-6≥2a2在[-3,5]内有解,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:因为x2-2x-3a-6≥2a2在[-3,5]内有解,即2a2+3a+6≤(x2-2x)max,其中x∈[-3,5].设y=x2-2x(-3≤x≤5),则当x=-3或x=5时,ymax=15,所以2a2+3a+6≤15,解得-3≤a≤,所以a的取值范围为. 答案: 11.(5分)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.  解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20. 答案:20 12.(10分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1). (1)求a,b的值;(3分) (2)当x>0,y>0,且满足+=1时,有2x+y≥k2+k+2恒成立,求k的取值范围.(7分) 解:(1)∵不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1), ∴1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0. ∴解得 (2)由(1)知且+=1,∴+=1. ∴2x+y=(2x+y)=4++≥8, 当且仅当=,即时,等号成立. ∴(2x+y)min=8.依题意,当x>0,y>0时,2x+y≥k2+k+2恒成立, ∴(2x+y)min≥k2+k+2,即8≥k2+k+2. ∴k2+k-6≤0, 解得-3≤k≤2.∴k的取值范围为[-3,2]. 13.(10分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;(5分) (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.(5分) 解:(1)由已知得,200≥3 000, 整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0, 又因为1≤x≤10,可解得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10]. (2)设利润为y元,y=·100=9×104=9×104, 所以当x=6时,ymax=457 500元,即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元. 14.(10分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}. (1)求实数k的值;(4分) (2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.(6分) 解:(1)由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根, 所以由根与系数的关系得 解得k=2. (2)由(1)知,k=2,原不等式可化为 x2-4x+9-m2+4m≥0, 所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4, 因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4, 所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4, 即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5, 故实数m的取值范围为[-1,5]. [阶段质量评价]　　　　　　　　第3章　不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合A={x|x>1},B={x|x≤2},则A∪B= (　 ) A.⌀ B.{x|1<x≤2} C.{x|x≤1或x>2} D.R 解析:选D　因为A={x|x>1},B={x|x≤2},所以A∪B=R. 2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析:选A　∵M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N.故选A. 3.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　由一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b2-4ac<0.反之,当a>0时,如x2+3x+2>0,不一定恒成立.故选B. 4.若b>a>1,则下列不等式一定正确的是 (　 ) A.ab>2 B.a+b<2 C.< D.+>2 解析:选D　令b=,a=,则ab=×=2,故A错误;因为a>1,b>1,所以a+b>2,故B错误;又-=,已知b>a>1则b-a>0,ab>0,所以->0,即>,故C错误;+≥2=2,且b>a>1,所以等号不成立,所以+>2,故D正确. 5.已知a,b,c,d∈R,且a<b<c,c≠d,(a-d)(b-d)·(c-d)+c=d,则 (　 ) A.d<a B.a<d<b C.b<d<c D.d>c 解析:选B　由题意知,(a-d)(b-d)(c-d)=d-c,又c≠d,则(a-d)(b-d)=-1<0,显然a-d,b-d异号,又a<b,所以a<d<b<c. 6.不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是 (　 ) A.[-1,2) B.(-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2] 解析:选B　当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R;当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2.综上,a的取值范围为(-1,2]. 7.不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2+bx+c的图象大致为 (　 ) 解析:选C　根据题意,ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则方程ax2-bx+c=0的两个根为x=-2和x=1,且a<0,则有变形可得故函数y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1),是开口向下的二次函数,且与x轴的交点坐标为(-1, 0)和(2, 0),C选项的图象符合,故选C. 8.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为,其中m<0,则+的最小值为 (　 ) A.-2 B.1 C.2 D.8 解析:选C　由题意可知,方程ax2+2bx+4=0的两个根为m,,则m·=,解得a=1,故m+=-2b.因为m<0,所以2b=-m-≥2=4,当且仅当-m=-,即m=-2时,等号成立.则b≥2,所以+=+≥2=2,当且仅当=,即b=4时,等号成立.故+的最小值为2. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.< B.> C.a>b2 D.a2>b2 解析:选CD　对于A,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故A错误;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,由a>1>b>-1可得a>1>b2,故C正确;对于D,由a>1>b>-1可得a2>1>b2,故D正确. 10.不等式x2+bx+c≥2x+b对任意的x∈R恒成立,则 (　 ) A.b2-4c+4≤0 B.b≤0 C.c≥1 D.b+c≥0 解析:选ACD　x2+bx+c≥2x+b可整理为x2+(b-2)x+c-b≥0,根据二次函数的性质有Δ=(b-2)2-4(c-b)=b2-4c+4≤0,A正确;当b=1,c=2时,满足Δ≤0,即原不等式成立,B错误;由Δ≤0,得c≥+1,所以c≥1,C正确;b+c≥+b+1=≥0,D正确. 11.已知x,y都为正数,且2x+y=1,则 (　 ) A.2xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.x(x+y)的最大值为 D.+的最小值为3+2 解析:选ABD　对于A,因为x,y都为正数,且2x+y=1,所以2xy≤=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立.所以2xy的最大值为,所以A正确;对于B,因为2x+y=1,所以4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A可知xy≤,所以4x2+y2=1-4xy≥,当且仅当x=,y=时,等号成立.所以4x2+y2的最小值为,所以B正确;对于C,因为2x+y=1,所以x(x+y)≤=,当且仅当x=x+y,即x=,y=0时,等号成立,但x,y都为正数,故等号取不到,所以C错误;对于D,因为x,y都为正数,且2x+y=1,所以+=(2x+y)=3++≥3+2,当且仅当=,即x=1-,y=-1时,等号成立.所以+的最小值为3+2,所以D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)若正实数x,y满足x+y=2,则的最小值为　　　　.  解析:由题意,正实数x,y满足x+y=2,则xy≤==1,当且仅当x=y=1时,等号成立,即xy≤1,所以≥1,即的最小值为1. 答案:1 13.(5分)某公司计划建造一间体积为600 m3的长方体实验室,该实验室高为3 m,地面每平方米的造价为120元,天花板每平方米的造价为240元,四面墙壁每平方米的造价为160元,则该实验室造价的最小值约为　　　　　万元.(参考数据:≈1.414)  解析:由题意得,地面面积和天花板面积均为200 m2.设实验室造价为y元,地面的长为x m,则宽为 m,墙壁面积为m2.所以y=(120+240)×200+160×≥72 000+320=72 000+19 200≈9.91万元,当且仅当6x=,即x=10时,等号成立. 答案:9.91 14.(5分)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y均为正数,则+≥,当且仅当=时,等号成立.根据权方和不等式,+的最小值为　　　　　.  解析:因为0<x<,即2-3x>0,所以+=+≥=8,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以+的最小值为8. 答案:8 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知关于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R). (1)若ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求实数a,b的值;(5分) (2)求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集.(8分) 解:(1)因为ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},所以方程ax2+3x+2=0的两个根为b,1(b<1),由根与系数的关系得解得 (2)ax2-3x+2>ax-1⇒ax2-(a+3)x+3>0⇒(ax-3)(x-1)>0, 当a=0时,不等式为x-1<0,不等式的解集为{x|x<1}; 当a<0时,不等式化为(x-1)<0,不等式的解集为. 当a>0时,方程ax2-3x+2=ax-1的两个根分别为,1. 当a=3时,两根相等,故不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>3时,<1, 不等式的解集为; 当0<a<3时,>1, 不等式的解集为. 综上,当a<0时, 不等式的解集为; 当a=0,不等式的解集为{x|x<1}; 当0<a<3时, 不等式的解集为; 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>3时,不等式的解集为. 16.(15分)已知x>0,y>0,且+=1. (1)求x+y的最小值;(6分) (2)若xy>m2+6m恒成立,求实数m的取值范围.(9分) 解:(1)因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即x=3,y=6时,等号成立.所以x+y的最小值为9. (2)因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥16,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立.因为xy>m2+6m恒成立,所以16>m2+6m,解得-8<m<2. 所以实数m的取值范围为{m|-8<m<2}. 17.(15分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个:①y<0的解集为{x|-1<x<3};②a=-1;③y的最小值为-4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号,并求a,b,c的值;(8分) (2)求关于x的不等式y≥(m-2)x+2m2-3(m∈R)的解集.(7分) 解:(1)假设条件①②符合题意.∵a=-1,二次函数图象开口向下,∴y<0的解集不可能为{x|-1<x<3},不满足题意. 假设条件②③符合题意. 由a=-1,知二次函数图象开口向下,y无最小值,不满足题意. ∴满足题意的条件为①③.∵不等式y<0的解集为{x|-1<x<3},∴-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根.∴-1+3=2=-,-1×3=-3=,即b=-2a,c=-3a. ∴函数y=ax2+bx+c在x=-=1处取得最小值,∴a+b+c=-4a=-4,即a=1. ∴b=-2,c=-3. (2)由(1)知y=x2-2x-3,则y≥(m-2)x+2m2-3,即x2-mx-2m2≥0, 即(x+m)(x-2m)≥0.∴当m<0时,不等式的解集为{x|x≤2m或x≥-m}; 当m=0时,不等式的解集为R;当m>0时,不等式的解集为{x|x≥2m或x≤-m}. 18.(17分)已知不等式x2+mx+n<0的解集为{x|1<x<4}. (1)求m和n的值;(5分) (2)若x2+mx+n≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.(12分) 解:(1)由题意知1,4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根. 所以-m=1+4=5,n=1×4=4, 故m=-5,n=4. (2)由(1)易知x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,即a≤x+-5对任意x>0恒成立, 即a≤,x>0. 因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立), 所以x+-5≥-1, 所以=-1,即a的取值范围是(-∞,-1]. 19.(17分)某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问: (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的取值范围;(7分) (2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值;(4分) (3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值.(6分) 解:税率为P%时,销售量为(80-10P)万件,即销售额为y1=80(80-10P), 税金为y2=80(80-10P)·P%,其中0<P<8. (1)由解得2≤P≤6. 故P的取值范围为[2,6]. (2)∵y1=80(80-10P)(2≤P≤6),∴当P=2时,y1取最大值,为4 800万元. (3)∵0<P<8,y2=80(80-10P)·P%=-8(P-4)2+128, ∴当P=4时,国家所得税收金额最高为128万元. 41 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$