3.2.1 基本不等式的证明 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

　　　　 3.2　基本不等式≤(a,b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握基本不等式≤(a,b≥0),掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 1.算术平均数、几何平均数 对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式 如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立). 我们把不等式≤(a,b≥0)称为基本不等式. 3.两个重要推论 当a,b∈R时, (1)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立); (2)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 . (　 ) (2)6和8的几何平均数为2. (　 ) (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 ) (4)若a≠0,则a+≥2 =2. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:选B　当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立. 3.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 (　 ) A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| 答案:A 4.若x>0,则函数y=x+ (　 ) A.有最大值-4 B.有最小值4 C.有最大值-2 D.有最小值2 答案:B 题型(一)　利用基本不等式比较大小 [例1]　设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b [解析]　法一:∵0<a<b,∴a<<b,排除A、C两项. 又-a=(-)>0,即>a,排除D项,故选B. 法二:取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<<b. 故选B. [答案]　B [例2]　已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　　.  [解析]　因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,当且仅当a-2=, 即a=3时,等号成立. 由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n. [答案]　m>n |思|维|建|模| 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a,b≥0. [针对训练] 1.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 解析:选B　∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>>0, ∴>,∴a2+b2>. ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0, ∴b>a2+b2,∴b最大. 2.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是 　. 解析:∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac. 答案:a2+b2+c2>ab+bc+ac 题型(二)　利用基本不等式证明不等式 [例3]　已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1.求证:++>9. [证明]　∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++ =3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9. ∴++>9. [变式拓展] 本例条件不变,求证:>8. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴-1=>0,-1=>0,-1=>0, ∴=··>=8. ∴>8. |思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 [针对训练] 3.已知a>0,b>0,求证:+≥a+b. 证明:∵a>0,b>0, ∴+b≥2=2a,+a≥2=2b, ∴+b++a≥2a+2b, ∴+≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立. 题型(三)　利用基本不等式求简单的最值问题 [例4]　已知x>0,则x-4+的最小值为 (　 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 [解析]　∵x>0,∴x+-4≥2-4=0,当且仅当x=,即x=2时,等号成立. [答案]　B [例5]　已知x>2,则x+的最小值为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 [解析]　∵x>2,∴x-2>0.∴x+=(x-2)++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立. [答案]　D |思|维|建|模| (1)求“和”式的最小值,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值(a>0,b>0). (2)求“积”式的最大值,一般运用变式ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0). (3)注意检验等号成立的条件是否满足,若不满足,则不可直接运用基本不等式.　 [针对训练] 4.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.x+的最小值为2 B.x2+1的最小值为1 C.x(2-x)的最大值为2 D.x2+的最小值为2-2 解析:选BD　当x<0时,x+无最小值,故A错误;因为x2≥0,所以x2+1≥1,故B正确;x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以x(2-x)的最大值为1,故C错误;x2+=x2+2+-2≥2 -2=2-2,当且仅当x2+2=,即x2=-2时,等号成立,故D正确. 5.已知a>0,b>0,且ab=9a+b,则ab的最小值为　　　　.  解析:因为a>0,b>0,所以ab=9a+b≥2=6,即ab≥6,解得ab≥36,当且仅当9a=b,即a=2,b=18时,等号成立. 答案:36 [课时检测] 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有 (　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 解析:选ACD　根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0. 2.下列不等式中正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:选D　若a<0,则a+≥4不成立,故A错误; 若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D正确. 3.当x>0时,x+的最小值为 (　 ) A.3 B. C.2 D.3 解析:选D　x+≥2=3(当且仅当x=时等号成立). 4.设m>1,P=m+,Q=5,则P,Q的大小关系为 (　 ) A.P<Q B.P=Q C.P≥Q D.P≤Q 解析:选C　因为m>1,所以P=m+=m-1++1≥2+1=5=Q.当且仅当m-1=,即m=3时,等号成立,故选C. 5.设M=,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为 (　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 解析:选A　M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6,∵n>0,∴n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,∴3-6≥0,∴M≥N. 6.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b,这两年产量的平均增长率为x,则 (　 ) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 解析:选B　∵这两年产量的平均增长率为x, ∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b). ∴(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0,b>0. ∴1+x=≤=1+. ∴x≤,当且仅当1+a=1+b,即a=b时,等号成立. 7.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 解析:选ABD　因为a>0,b>0,所以a+b+≥2 +≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.由作差比较法,-=≥0,可知≤,故B一定成立.因为a+b≥2 >0, 所以≤=,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立. 8.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　　　　.   解析:当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去). 答案:x=5 9.(5分)已知a>b>c,则与的大小关系为　　　　　　　　.  解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以=≥,当且仅当a-b=b-c时,等号成立. 答案:≤ 10.(5分)设x>0,则3-3x-的最大值是　　　　.  解析:∵x>0,∴3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立.∴-≤-2,则3-3x-≤3-2. 答案:3-2 11.(10分)已知a,b,c都是非负实数,试比较++与(a+b+c)的大小. 解:由≤,得≥(a+b). 同理得≥(b+c),≥(a+c). 所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c). 故++≥(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立. 12.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥.∴++≥++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++. 13.(10分)已知a>b>c,你能比较出4与(a-c)的大小吗? 解:(a-c)≥4,理由如下: 因为a-c=(a-b)+(b-c), 所以[(a-b)+(b-c)]=2++, 又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以+≥2,当且仅当=, 即b-c=a-b时,等号成立. 则2++≥4. 故(a-c)≥4. 14.(10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)a2+b2+c2≥;(5分) (2)++≥1.(5分) 证明:(1)由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1, 又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2, 当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号均成立,所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,即3(a2+b2+c2)≥1, 所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)因为a,b,c均为正数, 所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,不等式等号均成立, 则+++b+c+a≥2a+2b+2c, 即++≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时,等号成立. 所以++≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $$