2.2 第2课时 充分、必要、充要条件的综合 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　充分、必要、充要条件的综合 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.本节重点关注判定充分、必要条件问题及利用已知关系探求参数的取值范围问题. 2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的条件与结论,分清充分性和必要性这两个问题. 题型(一)　充分、必要条件的判定 [例1]　下列各题中,p是q的什么条件(充分且不必要条件、必要且不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件)? (1)p:四边形对角线互相平分,q:四边形是矩形; (2)p:x=1或x=2,q:x-1=; (3)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实根. [解]　(1)因为四边形对角线互相平分四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分,所以p是q的必要且不充分条件. (2)解方程x-1=,可得x=1或x=2,所以p是q的充要条件. (3)若方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,解得m≥-. 因为m>0⇒m≥-,而m≥- m>0, 所以p是q的充分且不必要条件. 　　|思|维|建|模| 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 定义法 直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假 集合法 利用集合的包含关系判断 传递法 充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性 [针对训练] 1.若x,y∈R,则“x=y”是“x2+y2≤2xy”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选C　当x=y时,x2+y2=2x2=2x·x=2xy,所以x2+y2≤2xy成立.又当x2+y2≤2xy时,即x2+y2-2xy=(x-y)2≤0,得到x=y,所以x2+y2≤2xy可以推出x=y,所以“x=y”是“x2+y2≤2xy”的充要条件,故选C. 2.已知集合M,P,则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的 (　 ) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A　由x∈M或x∈P得x∈(M∪P),又(M∩P)⊆(M∪P),∴x∈M或x∈P不能推出x∈(M∩P),x∈(M∩P)能推出x∈M或x∈P.则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要且不充分条件. 3.“x<0”是“|x|=-x”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A　因为|x|=-x⇔x≤0,由“x<0”可得“x≤0”,即“x<0”是“|x|=-x”的充分条件;而由“x≤0”显然不能得到“x<0”,即“x<0”不是“|x|=-x”的必要条件.所以“x<0”是“|x|=-x”的充分且不必要条件. 题型(二)　利用充分、必要条件求参数 　　从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表: 关系 AB BA A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分且不必要条件 p是q的必要且不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件 [例2]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.   [解]　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m}, 因为p是q的必要且不充分条件,所以BA, 故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. [变式拓展] 1.若本例中“p是q的必要且不充分条件”改为“p是q的充分且不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 因为p是q的充分且不必要条件,所以AB. 所以或解得m≥9, 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:若p是q的充要条件,则此方程组无解,故不存在实数m,使得p是q的充要条件. |思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件 获解 解不等式,得参数范围 [针对训练] 4.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P. 所以即所以-1≤a≤5. 答案:{a|-1≤a≤5} 题型(三)　充要条件的证明 [例3]　 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [证明]　充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根)因为ac<0, 所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,所以方程一定有两个不等实根.设两根为x1,x2,则x1x2=<0, 所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0. 综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. |思|维|建|模| 1.充要条件的证明思路 一般地,证明“p成立的充要条件为q” 充分性 把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p 必要性 把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件⇒结论”是证明充分性,由“结论⇒条件”是证明必要性. 在以下说法中,充分性和必要性分别是: (1)p是q的充要条件,p⇒q是充分性,q⇒p是必要性; (2)A成立的充要条件是B:B⇒A是充分性,A⇒B是必要性. [针对训练] 5.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0), 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. [课时检测] 1.“n是3的倍数”是“n是6的倍数”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　若“n是3的倍数”,当n=3时,不满足“n是6的倍数”,故不满足充分性;若满足“n是6的倍数”,则必是3的倍数,故满足必要性. 2.“1<x<5”是“2<x<4”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　设A={x|1<x<5},B={x|2<x<4}, 由于BA,所以“1<x<5”是“2<x<4”的必要且不充分条件. 3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“A∩B={4}”是“a=2”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　因为A∩B={4},所以4∈A,即a2=4,解得a=2或a=-2,充分性不满足.当a=2时,A={1,4,-2},因此有A∩B={4},必要性满足,因此是必要且不充分条件. 4.“x为整数”是“2x+1为整数”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A　由x为整数能推出2x+1为整数,故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分条件,由2x+1为整数不能推出x为整数,故“x为整数”是“2x+1为整数”的不必要条件,综上所述,“x为整数”是“2x+1为整数”的充分且不必要条件. 5.集合A={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件,则实数b的取值范围是 (　 ) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 解析:选C　因为B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}.又“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2. 6.(多选)下列命题中是真命题的是 (　 ) A.x>2且y>3是x+y>5的充要条件 B.x>1是x>0的充分且不必要条件 C.Δ=b2-4ac=0是ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的充要条件 D.三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 解析:选BD　当x=1,y=6时,满足x+y>5,但不满足x>2且y>3,故x>2且y>3不是x+y>5的充要条件,A错误;因为x>1⇒x>0,但x>0 x>1,故x>1是x>0的充分且不必要条件,B正确;ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解,则要满足Δ=b2-4ac≥0,故C错误;三角形的三边满足勾股定理,则这个三角形是直角三角形,反之,若一个三角形是直角三角形,则三边满足勾股定理,故三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形,D正确. 7.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 (　 ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 解析:选A　因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙 丙,如图所示,综上,有丙⇒甲,但甲 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 8.(5分)已知命题p:4-x≤6,q:x≥a-1,若p是q的充要条件,则实数a=　　　　 .  解析:由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p是q的充要条件,所以a-1=-2,即a=-1. 答案:-1 9.(5分)已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要且不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.  解析:由4x-m<0,得x<;由1≤3-x≤4,得-1≤x≤2. ∵p是q的一个必要且不充分条件,∴>2,∴m>8. 答案:{m|m≥8} 10.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=　　　　.  解析:由判别式Δ=16-4n≥0,n∈N*,得1≤n≤4. 逐个分析,当n=1, 2时,方程没有整数解;而当n=3时,方程有正整数解1,3;当n=4时,方程有正整数解2. 答案:3或4 11.(5分)已知2a-b=3,写出使得“m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分且不必要条件为　　　　.(用含m的式子表示)  解析:2a-b=3,则b=2a-3,所以-a2+b+1=-a2+2a-3+1=-a2+2a-2=-(a-1)2-1,所以a=1时,-a2+b+1取得最大值为-1,因此m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立的充要条件是m>-1,在此范围内任取一数均可. 答案:m=1(答案不唯一,满足m>-1均可) 12.(10分)若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出: (1)A∪B=R的充要条件;(3分) (2)A∪B=R的一个必要且不充分条件;(3分) (3)A∪B=R的一个充分且不必要条件.(4分) 解:(1)若A∪B=R,则b≥-2,故A∪B=R的充要条件是b≥-2. (2)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个必要且不充分条件可以是b≥-3.(答案不唯一) (3)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个充分且不必要条件可以是b≥-1.(答案不唯一) 13.(10分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0. 证明:①必要性:由<,得-<0, 即<0,又由x>y,得y-x<0,所以xy>0. ②充分性:由xy>0及x>y,得>, 即<. 综上所述,<的充要条件是xy>0. 14.(10分)已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 解:由-a<x-1<a,得1-a<x<1+a, 依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}, 所以解得a≥2. 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}. 15.(10分)已知全集U=R,集合A=, B={x|a-1<x<a+1,a∈R}. (1)当a=2时,求(∁UA)∩(∁UB);(4分) (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.(6分) 解:(1)因为A=={x|2<x≤5}, 当a=2时,B={x|1<x<3}, 因为全集U=R,则∁UA={x|x≤2或x>5}, ∁UB={x|x≤1或x≥3}, 因此,(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤1或x>5}. (2)易知集合B={x|a-1<x<a+1,a∈R}为非空集合,因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,则BA,所以解得3≤a≤4. 因此,实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}. 学科网（北京）股份有限公司 $$