2.2 第2课时 充分、必要、充要条件的综合 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　充分、必要、充要条件的综合

 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.本节重点关注判定充分、必要条件问题及利用已知关系探求参数的取值范围问题.

2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的条件与结论,分清充分性和必要性这两个问题.

题型(一)　充分、必要条件的判定

[例1]　下列各题中,p是q的什么条件(充分且不必要条件、必要且不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件)?

(1)p:四边形对角线互相平分,q:四边形是矩形;

(2)p:x=1或x=2,q:x-1=;

(3)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实根.

[解]　(1)因为四边形对角线互相平分四边形是矩形,

四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分,所以p是q的必要且不充分条件.

(2)解方程x-1=,可得x=1或x=2,所以p是q的充要条件.

(3)若方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,解得m≥-.

因为m>0⇒m≥-,而m≥- m>0,

所以p是q的充分且不必要条件.

　　|思|维|建|模|

判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法

 

[针对训练]

1.若x,y∈R,则“x=y”是“x2+y2≤2xy”的 (　 )

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:选C　当x=y时,x2+y2=2x2=2x·x=2xy,所以x2+y2≤2xy成立.又当x2+y2≤2xy时,即x2+y2-2xy=(x-y)2≤0,得到x=y,所以x2+y2≤2xy可以推出x=y,所以“x=y”是“x2+y2≤2xy”的充要条件,故选C.

2.已知集合M,P,则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的 (　 )

A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:选A　由x∈M或x∈P得x∈(M∪P),又(M∩P)⊆(M∪P),∴x∈M或x∈P不能推出x∈(M∩P),x∈(M∩P)能推出x∈M或x∈P.则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要且不充分条件.

3.“x<0”是“|x|=-x”的 (　 )

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:选A　因为|x|=-x⇔x≤0,由“x<0”可得“x≤0”,即“x<0”是“|x|=-x”的充分条件;而

由“x≤0”显然不能得到“x<0”,即“x<0”不是“|x|=-x”的必要条件.所以“x<0”是“|x|=-x”的充分且不必要条件.

题型(二)　利用充分、必要条件求参数

　　从集合的角度看充分、必要条件

如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表:

 

[例2]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.  

[解]　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m},

因为p是q的必要且不充分条件,所以BA,

故有或解得m≤3.

又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.

[变式拓展]

1.若本例中“p是q的必要且不充分条件”改为“p是q的充分且不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.

解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B,

因为p是q的充分且不必要条件,所以AB.