2.2 充分条件、必要条件、充要条件（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“常用逻辑用语”核心内容，系统梳理充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过四种条件形式（充分不必要、必要不充分等）构建逻辑关系，结合集合包含关系深化理解，形成“定义-形式-集合”递进学习支架，落实课标判定、证明及归结条件判断本质的要求。 该资料以“随学随练+题型分类+分层练习”构建教学闭环，通过集合角度转化（数学眼光）将抽象逻辑直观化，题型中“求参数取值范围”等问题培养严谨推理（数学思维），规范解题贴士强化逻辑表达（数学语言）。课中助力教师分层次教学，课后通过基础到创新题帮助学生查漏补缺，提升逻辑应用能力。

第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课标要点 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 会求（判定）某些简单命题的条件关系； 会判断、证明充要条件； 通过学习，弄清对条件的判断应该归结为什么。 学习重难点 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 难点：会求（判定）某些简单命题的条件关系 知识点 充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 随学随练 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集即可求解. 【详解】，， 即“”是“” 必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 知识点 充要条件（重点） 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 随学随练 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）“三个数不全是负数”的一个充要条件是（   ） A．至少有一个是正数 B．全不是负数 C．至少有一个是非负数 D．只有一个是负数 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义判断即可. 【详解】“三个数不全是负数”的一个充要条件是“至少有一个是非负数”， 故选：C. 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得，由可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 知识点 充分条件、必要条件的四种形式（重点） （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 随学随练 1．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，，解得， ，， 当满足，则其一定满足， 即由可以推出， “”是“”的充分条件; 若时，其满足，不满足， 即由不能推出; “”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 3．“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 知识点 从集合角度理解充分与必要条件（重点） 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 拓展 充分必要性两种常考结构（重点） （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 活学活用 1．（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 【答案】 【详解】由题意知，，，即真包含于，所以，即a的取值范围为. 题型 充分条件与必要条件的判断 解题贴士 （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小范围推出大范围，大范围推不出小范围 ▌例1 （25-26高一上·广东江门·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用不等式求解结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】或， 因为或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A ▌例2 （25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知x实数，p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由p：，q：，所以， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. ▌对点练1-1．（25-26高一上·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】解不等式得， 因为“”是“”的充分不必要条件, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A ▌对点练1-2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）设，已知命题，命题．则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得， 由，得，即， 由于集合是集合的真子集， 故是的必要不充分条件， 故选：B. ▌对点练1-3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解绝对值不等式，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】因为或， 所以，但成立推不出， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 题型 判断充要条件 解题贴士 （1）若，则是的充要条件 （2）若，则是的充要条件 ▌例1（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. ▌例2（2025·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两集合相等可得充要条件. 【详解】解不等式得解集为，解不等式得解集也为， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C． ▌对点练2-1（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合充要条件证明可得. 【详解】充分性：由不等式的性质可知时可得，故充分性成立； 必要性：，则，即，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：D. ▌对点练2-2（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件及必要条件的判定方法进行判断. 【详解】先看充分性：因为，当时，为偶数； 当时，；当时，； 当时，；则可表示所有奇数； 综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数. 因为，则，所以“”是“”的充分条件； 再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件， 即“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型 根据充分性、必要性求参数（重点） ▌例1（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知集合，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题意得到，构造不等式求解即可. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件可知：真包含于， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： ▌例2（24-25高一上·广东肇庆·阶段检测）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________. 【答案】/ 【分析】根据条件确定两个集合的包含关系，求参数的取值范围. 【详解】若“或”是“或”的必要不充分条件， 所以集合或是集合或的真子集. 则且等号不同时成立，即. 故答案为： ▌对点练3-1（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的最小值为______. 【答案】2 【分析】直接将充分不必要条件转化为两个集合的包含关系，进而可得. 【详解】由，解得. 又p是q的充分不必要条件，所以为的真子集，得. 所以实数a的最小值为2. 故答案为：2. ▌对点练3-．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． ▌对点练3-3（24-25高一上·上海·阶段检测）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】求出的解，根据题意可得，即可求得a的范围. 【详解】由，可得， “”是“”的必要非充分条件， 即，故， 故实数的取值范围是， 故答案为： 题型 探索命题为真的充要条件（重点） ▌例1（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用逻辑条件判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A ▌例2设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. ▌对点练4-1（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. ▌对点练4-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： ▌对点练4-3（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 题型 “是”与“的”两种结构对比 解题贴士 是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） 的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） ▌例1（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练5-1（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A ▌对点练5-2（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 基础通关 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高二下·天津·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 5．（25-26高二下·浙江·期中）“”是“关于的不等式的解集是空集”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由不等式的解集是空集等价于判别式： ，解得：． 若成立，则一定满足，故充分性成立； 若成立（比如），不一定满足，故必要性不成立． 因此，“”是“不等式的解集是空集”的充分不必要条件． 6．（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 7．（多选）（25-26高一上·云南曲靖·期中）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】解分式不等式结合充分条件、必要条件的概念判定选项即可. 【详解】因为. 而各选项中仅有AB选项中范围对应的集合为真子集， 故选：AB. 8．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】AD 【分析】利用充要关系转换为集合的真包含关系，再求参数的范围即可. 【详解】由“”是“或”的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以有或，即或 即AD正确，BC错误. 故选：AD 9．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 素养提升 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求. 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对集合是否为空集进行分类讨论，再根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围； （2）根据充分不必要条件可得是集合的真子集，得出相应不等式可求出结果. 【详解】（1）若，即，解得，此时满足题意； 若，即，解得； 又，所以或，即可得； 所以可得； 因此实数的取值范围为. （2）若是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集； 所以需满足，且两个不等式中的等号不同时成立， 解得， 因此实数的取值范围. 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由集合的运算可得； （2）先由已知判断是的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得. 【详解】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 4．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再分与两种情况讨论即可求解； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）， 由，得， 当时，，解得； 当时，不等式组无解， 故实数的取值范围为． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 或，解得或， 综上可得，故实数的取值范围为． 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【详解】（1）对于，等价于，解得， 所以， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：. 迁移创新 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 2．（25-26高一·全国·寒假作业）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，结合充分、必要条件的定义，利用新定义分析计算，即可得答案. 【详解】若，，则有，，，， 所以，所以是的充分条件； 反之，若，比如，，则有， 根据定义，，，，即不是必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 4．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）. 【答案】①③④ 【分析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误. 【详解】对于①，，则，①正确； 对于②，，则，②不正确； 对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类， 则，③正确； 对于④，若整数、属于同一“类”， 则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，， 则，故， 若，不妨令， 则， 显然，于是得，，即整数属于同一“类”， “整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确． 正确的结论是①③④. 故答案为：①③④. 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【答案】(1)是“复活集”， 因为， 所以集合是 “复活集”. (2) (3) 若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及充要条件概念即得. 【详解】（1）略 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课标要点 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 会求（判定）某些简单命题的条件关系； 会判断、证明充要条件； 通过学习，弄清对条件的判断应该归结为什么。 学习重难点 重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 难点：会求（判定）某些简单命题的条件关系 知识点 充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 随学随练 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点 充要条件（重点） 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 随学随练 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）“三个数不全是负数”的一个充要条件是（   ） A．至少有一个是正数 B．全不是负数 C．至少有一个是非负数 D．只有一个是负数 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点 充分条件、必要条件的四种形式（重点） （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 随学随练 1．（25-26高二下·天津和平·期末）已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的_______________条件． 知识点 从集合角度理解充分与必要条件（重点） 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 拓展 充分必要性两种常考结构（重点） （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 活学活用 1．（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 题型 充分条件与必要条件的判断 解题贴士 （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小范围推出大范围，大范围推不出小范围 ▌例1 （25-26高一上·广东江门·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌例2 （25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知x实数，p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-1．（25-26高一上·重庆北碚·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）设，已知命题，命题．则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 判断充要条件 解题贴士 （1）若，则是的充要条件 （2）若，则是的充要条件 ▌例1（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌例2（2025·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练2-1（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分又非必要条件 D．充要条件 ▌对点练2-2（24-25高一上·北京西城·期末）已知集合，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 根据充分性、必要性求参数（重点） ▌例1（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知集合，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是___________． ▌例2（24-25高一上·广东肇庆·阶段检测）已知“或”是“或”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________. ▌对点练3-1（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的最小值为______. ▌对点练3-．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． ▌对点练3-3（24-25高一上·上海·阶段检测）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________． 题型 探索命题为真的充要条件（重点） ▌例1（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． ▌例2设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； ▌对点练4-1（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 ▌对点练4-2（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． ▌对点练4-3（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 题型 “是”与“的”两种结构对比 解题贴士 是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） 的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） ▌例1（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． ▌对点练5-1（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·天津·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·浙江·期中）“”是“关于的不等式的解集是空集”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·云南曲靖·期中）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）“”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（   ） A． B． C．1 D．4 9．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 10．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________． 素养提升 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 迁移创新 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一·全国·寒假作业）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”. 其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）. 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $