2.2 第2课时 充分、必要、充要条件的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学充分、必要、充要条件的应用这一核心知识点，系统梳理从条件概念到实际应用的脉络，通过集合观点理解条件、参数范围求解、充要条件证明、条件探求四个题型搭建学习支架。 该资料以集合关系为核心工具，帮助学生用数学眼光抽象数量关系，通性通法总结培养数学思维的推理意识，如题型一用集合包含关系判断条件，题型二通过集合关系求参数范围。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

第2课时　充分、必要、充要条件的应用 　　 题型一　用集合观点理解充分、必要与充要条件 （链接教科书第35页习题6题）（1）设x∈R，则“1＜x＜2”是“－1＜x＜3”的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 （2）设p：“x≤2或x＞3”，q：“－2≤x≤2”，则p是q的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：（1）设A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜3}，因为A⫋B，所以“1＜x＜2”是“－1＜x＜3”的充分不必要条件.故选A. （2）设P＝{x｜x≤2或x＞3}，Q＝{x｜－2≤x≤2}.因为P⫌Q，所以p是q的必要不充分条件.故选B. 通性通法 　　利用集合间的包含关系判断充分、必要与充要条件的方法 　　对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件； （4）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； （5）若A⫌B，则p是q的必要不充分条件. 1.设a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：A　由q：＜1，得a＞1或a＜0，因为{a｜a＞1}⫋{a｜a＞1或a＜0}，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件.故选A. 2.“x≤2”是“1＜x＜2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　设A＝{x｜x≤2}，B＝{x｜1＜x＜2}，A⫌B.故“x≤2”是“1＜x＜2”的必要不充分条件.故选B. 题型二　充分条件与必要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m＞0， 所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 【母题探究】 1.（变条件）将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的充分不必要条件， 设p表示的集合为A，q表示的集合为B， 所以A⫋B. 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m｜m≥9}. 2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 通性通法 　　利用充分条件与必要条件的关系求参数范围的方法 　　利用充分条件、必要条件的关系求参数，主要是依据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的联系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式（组）求解. 1.已知A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≤m}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数m的取值范围是　（－∞，1]　. 答案： 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，所以m≤1. 2.设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A⊆B的充要条件为　a≤9　；写出一个充分不必要条件可为　8≤a≤9（答案不唯一）　. 解析：若A＝⌀，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；若A≠⌀，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.综上可知，A⊆B的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为8≤a≤9. 题型三　充要条件的证明 （链接教科书第35页习题4题）求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0. 证明：（1）充分性：∵－＜m＜0， ∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m＞0， ∴x2－2x－3m＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2. 则x1x2＝－3m＞0， ∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根. （2）必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根， 设两实根为x1，x2，则有解得－＜m＜0. 综合（1）（2）知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0. 通性通法 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长） 证明：必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2， 所以必要性成立； 充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc， 即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0， 所以a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 题型四　充分条件、必要条件、充要条件的探求 关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是（　　） A.m＜ B.m＜ C.m＜－ D.m＜－ 解析：A　由题意得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m＜是m≤的必要条件，故选A. 通性通法 寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法 （1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.即p⇒q； （2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p.即q⇒p； （3）寻求q的充要条件有两种方法： ①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证； ②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明. 1.使不等式2x－4≥0成立的一个必要不充分条件是（　　） A.x＜2 B.x≤0或x≥2 C.x∈{2，3，5} D.x≥2 解析：B　由2x－4≥0得x≥2，所以选项C是不等式2x－4≥0成立的充分不必要条件，选项D是不等式2x－4≥0成立的充要条件，选项B是不等式成立的必要不充分条件，选项A是不等式成立的既不充分也不必要条件. 2.〔多选〕若p：1≤x≤3，则p成立的一个充分不必要条件是（　　） A.1≤x≤3 B.2＜x＜3 C.1＜x＜3 D.0≤x≤4 解析：BC　设1≤x≤3对应的集合为A＝{x｜1≤x≤3}，使p成立的一个充分不必要条件对应的集合为B，则B⫋A，满足上述条件的选项有B、C. 1.（2026·苏州质检）设x∈R，则“1＜x≤2”是“1≤x≤2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为集合{x｜1＜x≤2}⫋{x｜1≤x≤2}，所以“1＜x≤2”是“1≤x≤2”的充分不必要条件.故选A. 2.〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（　　） A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0 C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1 解析：ACD　因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞1⇒ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件. 3.已知集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜1－2a≤x≤a＋2}. （1）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围； （2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围. 解：（1）因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B， 所以解得a≥1.即实数a的取值范围是[1，＋∞）. （2）因为x∈A是x∈B的必要条件，所以B⊆A， 当B＝⌀时，符合题意，则1－2a＞a＋2，解得a＜－， 当B≠⌀ 时，则解得－≤a≤0， 综上，a≤0，即实数a的取值范围是（－∞，0]. 　　 1.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是（　　） A.a≤1 B.a≤－1 C.a≥2 D.a＜2 解析：A　由题意，得{x｜x＞1}⊆{x｜x＞a}，故a≤1.故选A. 2.“x＜5”是“x＜4”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：B　由题意，得{x｜x＜5}⫌{x｜x＜4}，所以“x＜5”是“x＜4”的必要不充分条件.故选B. 3.设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（　　） A.a≤－1 B.a≤－1或a≥2 C.a≥2 D.－1≤a＜2 解析：C　因为q是p的必要条件，所以{x｜－1≤x＜2}⊆{x｜x＜a}，在数轴上画出－1≤x＜2，借助数轴可知a≥2.故选C. 4.（2026·金陵中学期中）若“x＞λ”是“x＞2或x＜－1”的充分不必要条件，则实数λ的取值范围为（　　） A.[2，＋∞） B.[－1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，－1] 解析：A　由题意可知{x｜x＞λ}⫋{x｜x＜－1或x＞2}，所以λ≥2，即实数λ的取值范围为[2，＋∞）.故选A. 5.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 解析：BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集即可，只有B、C满足题意.故选B、C. 6.〔多选〕已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的值为（　　） A.－ B.0 C. D. 解析：ABC　p：x∈{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，q：x∈{x｜mx＋1＝0}，因为p是q的必要不充分条件，所以{x｜mx＋1＝0}⫋{2，－3}.当{x｜mx＋1＝0}＝⌀，即m＝0时，符合题意；当{x｜mx＋1＝0}≠⌀时，由{x｜mx＋1＝0}⫋{2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上，m＝0或－或.故选A、B、C. 7.（2026·宿迁质检）“｜x｜＜3”是“｜x｜＜2”的　必要不充分　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空） 解析：由｜x｜＜3，解得－3＜x＜3；由｜x｜＜2，解得－2＜x＜2.因为{x｜－2＜x＜2}⫋{x｜－3＜x＜3}，所以“｜x｜＜3”是“｜x｜＜2”的必要不充分条件. 8.写出使x2＜1成立的一个充分不必要条件是　x＝0（答案不唯一）　. 解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，则x＝0可以作为x2＜1的充分不必要条件. 9.已知p：A＝{x｜－1≤x≤5}，q：B＝{x｜－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　{m｜m＞3}　. 解析：因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图，则解得m＞3.则m的取值范围为{m｜m＞3}. 10.已知集合M＝{x｜x＜－3或x＞5}，P＝{x｜a≤x≤8}. （1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件； （2）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的一个必要不充分条件. 解：（1）M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a｜－3≤a≤5}. （2）结合数轴可知a＜－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a｜a＜－3}. 11.若不等式1－a＜x＜a＋1成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞） B.[1，＋∞） C.[3，＋∞） D.[1，3] 解析：C　由题意得，（0，4）⊆（1－a，a＋1），所以⇒⇒a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞）.故选C. 12.“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A.a＝0 B.a≤0 C.－≤a≤0 D.－≤a＜0 解析：B　关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数，则需满足a＝0或解得－≤a≤0.“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为p，p对应的集合为B，则{a｜－≤a≤0}⫋B，结合选项可知a≤0满足，故选B. 13.已知当a＜0时，设p：3a＜x＜a，q：x＜－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　{a｜a≤－4或－≤a＜0}　. 解析：设A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x｜x＜－4，或x≥－2}.∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.又∵a＜0，∴a≤－4或－≤a＜0，即实数a的取值范围为{a｜a≤－4或－≤a＜0}. 14.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由. 解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件， 若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $