2.1 命题、定理、定义 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2章 常用逻辑用语 2.1　命题、定理、定义 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解命题、定理、定义的概念. 2.能够将命题改成“若p,则q”的形式,会判断命题的真假. 逐点清(一)　命题、定理、定义的概念 [多维理解] 命题 在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题 定理 在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理 定义 对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵 |微|点|助|解| (1)命题要求能判断真假,且为陈述句. (2)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断. (3)数学中的定义、公理、定理等都是真命题. (4)数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明,要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可. [微点练明] 1.(多选)下列语句不是命题的为 (　 ) A.x2-3=0 B.与一条直线相交的两直线平行吗? C.3+1=5 D.5x-3=6 解析:选ABD　能判断真假的陈述句是命题,由此可知,A、D选项中的式子没有x的范围,故不能判断真假,故A、D不是命题;B选项是疑问句,故不是命题;C选项是陈述句,且错误,故是命题. 2.下列语句是命题的个数为 (　 ) ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗?”; ②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗?”; ③“一个数不是正数就是负数”; ④“x·y为有理数,则x,y也都是有理数”; ⑤“作△ABC∶△A'B'C'”. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　①②⑤不是陈述句,故不是命题.③是假命题,0既不是正数也不是负数.④是假命题,如x=,y=-. 逐点清(二)　命题的条件与结构 [多维理解] 　　许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论. |微|点|助|解| (1)“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就有q”也是命题的常见形式. (2)将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中. (3)改写前后命题的真假性不发生变化. (4)还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”. [微点练明] 1.命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为 (　 ) A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大 B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大 C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角 D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边 解析:选A　命题的大前提是“在三角形中”,条件是“大边”,结论是“对大角”. 2.将“两个奇数的和是偶数”改写成“若p,则q”的形式为　　　　　　　　　　　　　.  解析:命题“两个奇数的和是偶数”的条件为“两个奇数”,结论是“这两个数的和是偶数”,因此,原命题改写为“若p,则q”的形式为“若两个数是奇数,则它们的和是偶数”. 答案:若两个数是奇数,则它们的和是偶数 3.指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若ab=0,则a=0; (2)若a<0,则|a|>0; (3)如果二次函数y=x2+k的图象经过坐标原点,那么k=0; (4)如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等. 解:(1)p:ab=0,q:a=0.(2)p:a<0,q:|a|>0. (3)p:二次函数y=x2+k的图象经过坐标原点,q:k=0.(4)p:两个三角形的三边分别对应相等,q:这两个三角形全等. 逐点清(三)　命题的真假判断及应用 [例1]　(多选)给定下列命题中真命题是 (　 ) A.若xy=0,则|x|+|y|=0 B.若a>b,则a+c>b+c C.菱形的对角线互相垂直 D.若a,b是无理数,则a+b是无理数 [解析]　A项,由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;B项,当a>b时,有a+c>b+c成立,正确,是真命题;C项,菱形的对角线一定互相垂直,正确,是真命题;D项,若a,b互为相反数,则a+b=0,不正确,是假命题.故选B、C. [答案]　BC [例2]　若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是　　　　.  [解析]　由题意知 解得a<且a≠0. [答案]　(-∞,0)∪ |思|维|建|模| (1)对于一般的命题,可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假. (2)将一个命题改写成“若p,则q”的形式后,判断此命题真假的一般方法如下: ①若通过逻辑推理可以由p得到q,则可确定命题“若p,则q”为真;而要确定命题“若p,则q”为假,则只需举出一个反例即可. ②从集合的观点,我们建立集合A,B与p,q之间的一种特殊联系:设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},就是说,A是能使p成立的对象x所构成的集合,B是能使q成立的对象x所构成的集合,此时,命题“若p,则q”为真(意思就是“使p成立的对象也能使q成立”),即A⊆B. [针对训练] 1.下列命题为真命题的是 (　 ) A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则= D.若x<y,则x2<y2 解析:选A　易知A正确;对于B,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;对于C,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;对于D,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题. 2.已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是 (　 ) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-∞,-3] D.(-∞,-3) 解析:选D　∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3}. 又∵a∈A是假命题,即a∉A,∴a<-3. [课时检测] 1.下列不是命题的是 (　 ) A.{a,b}{a,b} B.三角形中最多只有一个内角是钝角 C.x>0 D.平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 解析:选C　能判断真假的陈述句为命题.对于A,集合{a,b}是本身的子集,故A是假命题;对于B,三角形中最多只有一个内角是钝角是真命题;对于C,x>0不能判断真假,故不是命题;对于D,平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是真命题. 2.命题“素数都是奇数”写成“若p,则q”的形式为 (　 ) A.若一个数是素数,则一定是奇数 B.任一个素数都是奇数 C.若一个实数是奇数,则一定是素数 D.所有的奇数都是素数 答案:A 3.下面给出的四个语句,其中正确的有 (　 ) ①等角的余角相等;②一个角的补角一定大于这个角;③有理数分为正数和负数;④0是最小的正整数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选A　①若α=β,则-α=-β,①正确;②若α=,则其补角为,∵>,∴②错误;③有理数分为正数、负数和0,③错误;④0不是最小的正整数,1是最小的正整数,④错误. 4.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是 (　 ) A.a=-3 B.a=-1 C.a=1 D.a=3 解析:选A　对于A,若a=-3,满足a2=(-3)2=9>1,且-3<1,符合题意;对于B,若a=-1,不满足a2>1,不符合题意;对于C,若a=1,不满足a2>1,不符合题意;对于D,若a=3,满足a2=32=9>1,但3>1,不是反例,不符合题意. 5.命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是 (　 ) A.两个数的符号不同 B.两个数只有符号不同 C.两个数互为相反数 D.只有符号不同 解析:选B　原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同,那么这两个数互为相反数”,“如果”后面的部分是条件,即两个数只有符号不同是原命题的条件. 6.关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题: 甲:小于1的数都不在区间I内; 乙:区间I内不存在两个数互为倒数; 丙:区间I内存在小于1的数; 丁:区间I内每个数的平方都大于它本身. 如果只有一个假命题,则该命题是 (　 ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选C　根据甲和丙两个命题可知,甲和丙互相矛盾,故两个命题必然一真一假.又因为只有一个假命题,所以乙和丁都为真命题.根据乙和丁可知,I=(a,+∞)⊆(1,+∞),故丙为假命题. 7.下列命题是假命题的为 (　 ) A.若x∈A,那么x∈A∩B B.若x∈A∩B,那么x∈A C.若x∈A∩B,那么x∈A∪B D.若x∈A,那么x∈A∪B 解析:选A　对于A,若x∈A,那么x可能不属于B,故A错误;对于B,若x∈A∩B,即x是集合A和B的公共元素,那么x∈A,故B正确;对于C,若x∈A∩B,那么x∈A∪B,故C正确;对于D,若x∈A,那么x∈A∪B,故D正确. 8.命题“若x>1,则p”为真命题,那么p不可能是 (　 ) A.x>-1 B.x>0 C.x>-2 D.x>2 解析:选D　对于A,若x>1,则x>-1必成立;对于B,若x>1,则x>0必成立;对于C,若x>1,则x>-2必成立;对于D,由x>1不能得出x>2,所以p不可能是x>2. 9.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.命题“相等的两角为对顶角”是真命题 B.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”不是命题 C.命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”是真命题 D.“当x=2时,x2-3x+2=0”是真命题 解析:选CD　两个角相等,但这两个角不一定是对顶角,所以A错误;语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是陈述句,而且可以判断真假,故该语句是命题,所以B错误,易知C、D正确. 10.(5分)下列语句: ①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方. ②上课请不要迟到. ③你今天吃早饭了吗? ④三角形既有内切圆,也有外接圆. 其中是命题的序号为　　　　.  解析:①为命题,且为真命题;②为祈使句,故不是命题;③为疑问句,故不是命题;④为陈述句,且能够判断真假,故是命题. 答案:①④ 11.(5分)命题p:存在实数x,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值范围是　　　　　　.  解析:当命题p为真命题时,可得4-3<x<3+4,即1<x<7.所以当命题p为假命题时,可得{x|x≤1或x≥7}. 答案:{x|x≤1或x≥7} 12.(5分)关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列结论:①x=1是该方程的根;②x=3是该方程的根;③该方程两根之和为2;④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的,则2a+3b=　　　　.  解析:若②是假命题,则其余三个是真命题,则x1=1,x2=1,两根不异号,不符合.若③是假命题,则其余三个是真命题,则x1=1,x2=3,两根不异号,不符合.若④是假命题,则其余三个是真命题,则x1=1,x2=3,两根之和不为2,不符合.若①是假命题,则其余三个是真命题,则x1=3,x2=-1,符合.此时a=-2,b=-3,所以2a+3b=-13. 答案:-13 13.(5分)已知下列三个论断:①a是正数,②b是负数,③a+b是负数.选择其中两个作为条件,一个作为结论,写出一个真命题:　　　　　　　　　.  答案:若a是正数且a+b是负数,则b是负数 14.(10分)写出下列命题的条件p和结论q,并判断真假. (1)若x+y≠8,则x≠2或y≠6.(5分) (2)若xy=0,则x,y中至少有一个为0.(5分) 解:(1)条件p:x+y≠8,结论q:x≠2或y≠6,是真命题. (2)条件p:xy=0,结论q:x,y中至少有一个为0,是真命题. 15.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假. (1)偶数不能被2整除;(3分) (2)当|a-1|2+|b-1|2=0时,a=b=1;(4分) (3)两个相似三角形是全等三角形.(3分) 解:(1)若一个数是偶数,则它不能被2整除.根据偶数的定义可知,偶数能被2整除,是假命题. (2)若|a-1|2+|b-1|2=0,则a=b=1.要想满足|a-1|2+|b-1|2=0,则解得a=b=1,是真命题. (3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形.两个三角形相似,则形状相同,但大小不一定相等,故不一定全等,是假命题. 16.(10分)如图,现有以下三个条件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F,请你以其中两个作为条件,另一个作为结论构造命题. (1)你构造的是哪几个命题?(3分) (2)你构造的命题是真命题还是假命题?若是真命题,请给予证明;若是假命题,请举出反例.(7分) 解:(1)由①②得到③,由①③得到②,由②③得到①,所以可构成三个命题. (2)证明:因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF. 因为∠B=∠C,所以∠C=∠CDF.所以CE∥BF. 所以∠E=∠F. 所以由①②得到③为真命题. 因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF. 又因为∠E=∠F,所以CE∥BF. 所以∠C=∠CDF.所以∠B=∠C. 所以由①③得到②为真命题. 因为∠E=∠F,所以CE∥BF.所以∠C=∠CDF. 又因为∠B=∠C,所以∠B=∠CDF. 所以AB∥CD.所以由②③得到①为真命题. 　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$