1.3 第2课时 集合运算的综合问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　集合运算的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　集合的交、并、补混合运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} [解析]　由题意得B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. [答案]　D [例2]　设全集U={x∈N*|x≤9},若∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁UB)={2,4},则集合B= (　 ) A.{4,5,6,7,8,9} B.{2,4,5,6,7,8,9} C.{5,6,7,8} D.{5,6,7,8,9} [解析]　因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}.又A∩(∁UB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}. [答案]　D |思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.　 [针对训练] 1.(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN= (　 ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 解析:选A　由题意知,∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}.故选A. 2.(多选)已知集合A中含有6个元素,全集U=A∪B中共有12个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素,已知m≥8,则集合B中元素个数可能为 (　 ) A.2 B.6 C.8 D.12 解析:选BC　因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有m个元素,所以A∩B中有12-m个元素.设集合B中元素个数为x,又集合A中含有6个元素,则x+6-(12-m)=12,即m=18-x.因为m≥8,所以x≤10.又U=A∪B中共有12个元素,所以x≥6,则6≤x≤10. 3.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)= (　 ) A.{x|x=3k,k∈Z} 　B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} 　D.⌀ 解析:选A　法一:M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以∁U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A. 法二:集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A. 题型(二)　由集合运算求参数 [例3]　已知集合A={x|0≤x≤1},B={x|1-a<x<2a},若(∁RA)∪B=R,求实数a的取值范围. [解]　因为A={x|0≤x≤1},所以∁RA={x|x<0或x>1},又因为B={x|1-a<x<2a}且(∁RA)∪B=R,所以解得a>1, 故实数a的取值范围为{a|a>1}. 　　[变式拓展] 1.若本例条件“(∁RA)∪B=R”变为“A∪B=A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:因为A∪B=A,则B⊆A. 若B=⌀,则2a≤1-a,解得a≤. 若B≠⌀,则解得<a≤. 综上所述,实数a的取值范围为. 2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3<x<a+1},B={x|0<x≤1}.若A∩B=⌀,求实数a的取值范围. 解:由题意知A∩B=⌀, 当A=⌀时,2a-3≥a+1,解得a≥4. 当A≠⌀时,或 解得2≤a<4或a≤-1. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}. |思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 ①不能忽视集合为⌀的情形; ②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答 　 [针对训练] 4.设集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},若A∪B={0,1,2,3,4},则m+n的值是 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:选D　因为集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},A∪B={0,1,2,3,4},则B={1,3},所以1,3是方程x2-mx+n=0的两根,所以因此m+n=4+3=7. 5.已知集合A={x|x<a},B={x|x≥1},若(∁RB)∪A=A,则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 解析:选A　因为B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},因为(∁RB)∪A=A,所以(∁RB)⊆A,所以a≥1. 题型(三)　集合中的新定义问题 [例4]　设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 [解析]　因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示: 　y x　 -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个.故选B. [答案]　B 　　|思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 　　[针对训练] 6.(多选)对任意A,B⊆R,记AB={x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AB为集合A,B的对称差.例如:若A={1,2,3},B={2,3,4},则AB={1,4}.下列命题中,为真命题的是 (　 ) A.若A,B⊆R且AB=B,则A=⌀ B.若A,B⊆R且AB=⌀,则A=B C.若A,B⊆R且AB⊆A,则A⊆B D.存在A,B⊆R,使得AB≠∁RA∁RB 解析:选AB　因为AB=B,所以B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},所以A⊆B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A=⌀,即A正确;因为AB=⌀,所以⌀={x|x∈A∪B,x∉A∩B},即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,B正确;因为AB⊆A,所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A,所以B⊆A,即C错误;由于∁RA∁RB={x|x∈∁RA∪∁RB,x∉∁RA∩∁RB}={x|x∈∁R(A∩B),x∉∁R(A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B},而AB={x|x∈A∪B,x∉A∩B},故AB=∁RA∁RB,即D错误. [课时检测] 1.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM= (　 ) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 解析:选A　由题意知,∁UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5},故选A. 2.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　由题意知集合M一定含有元素a1,a2,并且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}. 3.已知(∁RA)∩B=⌀,则下列选项中一定成立的是 (　 ) A.A∩B=A B.A∩B=B C.A∪B=B D.A∪B=R 解析:选B　作出Venn图如图所示,则B⊆A,所以A∩B=B. 4.如图中的阴影部分,可用集合符号表示为 (　 ) A.(∁UA)∩(∁UB) B.(∁UA)∪(∁UB) C.(∁UB)∩A D.(∁UA)∩B 解析:选C　题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集,即题图中的阴影部分可以用A∩(∁UB)来表示,故选C. 5.(多选)定义集合运算AB={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设集合A={2,},集合B={1,},则 (　 ) A.AB中有四个元素 B.AB有7个真子集 C.3∈AB D.AB中的元素之和为13 解析:选BC　x可取2,,y可取1,,则z可取(2+1)×(2-1)=3,(2+)×(2-)=2,(+1)×(-1)=4,(+)×(-)=3;由集合元素的互异性可知AB中有3个元素,故A错误;AB={2,3,4},则AB的真子集有23-1=7个,故B正确;3∈AB,故C正确;AB中所有元素之和为2+3+4=9,故D错误. 6.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3},B={0,1,2},则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0,4} C.{0,6} D.{0,4,6} 解析:选D　因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时,z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以∁(A*B)A={0,4,6}.故选D. 7.已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于 (　 ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.⌀ 解析:选A　因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以∁UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(∁UB)={3}. 8.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁UA)≠⌀,则 (　 ) A.k<0或k>3 B.2<k<3 C.0<k<3 D.-1<k<3 解析:选C　∵A={x|x≤1或x≥3},∴∁UA={x|1<x<3}.若B∩(∁UA)=⌀,则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3,∴若B∩(∁UA)≠⌀,则0<k<3. 9.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人寒假参加体育训练,其中足球队25人,排球队22人,游泳队24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,则三项都参加的有 (　 ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 解析:选C　设集合A={参加足球队的学生},集合B={参加排球队的学生},集合C={参加游泳队的学生},则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,card(A∩B)=12,card(B∩C)=8,card(A∩C)=9.设三项都参加的有x人,即card(A∩B∩C)=x,card(A∪B∪C)=46,所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4,故三项都参加的有4人. 10.(5分)设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪(∁UB)=　　　　.  解析:∵U=R,B={x|x>1},∴∁UB={x|x≤1}.又∵A={x|x>0},∴A∪(∁UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R. 答案:R 11.(5分)对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　.  解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. 答案:{x|-3≤x<0或x>3} 12.(10分)对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,x∉B}叫作集合A与B的差集,记为A-B,A-B可用图中的阴影部分来表示. (1)若A={1,3,5,9},B={3,5,7},求集合A-B和B-A;(3分) (2)集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x|2m-3≤x≤2m+3},若A-B=⌀,求实数m的取值范围.(7分) 解:(1)由A={1,3,5,9},B={3,5,7}可知A-B={1,9},B-A={7}. (2)由x2-5x+6≤0,可得2≤x≤3, 所以A=[2,3],由A-B=⌀可知A⊆B, 所以解得0≤m≤, 所以实数m的取值范围为. 13.(15分)已知全集U=R,集合A={x|x2+3x+b-1=0},集合B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}. (1)若b=-9,且集合C满足:A∩C≠⌀,C∪B=B,求出所有这样的集合C;(6分) (2)集合A,B是否能满足(∁UB)∩A=⌀,若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由.(9分) 解:(1)当b=-9时,A={x|x2+3x-10=0}={2,-5}, B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}={4,2,-1}. 因为C∪B=B,所以C⊆B. 因为A∩C≠⌀,所以C≠⌀. 因为A∩B={2},所以2∈C, 故C={2},{2,-1},{2,4}或{2,4,-1}. (2)因为(∁UB)∩A=⌀,所以A⊆B, 若A=⌀,则满足A⊆B,此时Δ=9-4(b-1)<0, 解得b>. 若-1∈A,则(-1)2-3+b-1=0,解得b=3, 所以x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,故A={-1,-2},不满足A⊆B,舍去; 若2∈A,则22+6+b-1=0,解得b=-9, 所以x2+3x-10=0,解得x=-5或x=2,所以A={-5,2},不满足A⊆B,舍去; 若4∈A,则42+12+b-1=0,解得b=-27,所以x2+3x-28=0,解得x=-7或x=4,不满足A⊆B,舍去.综上,实数b的取值范围是. 14.(15分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明;(4分) (2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由;(5分) (3)若集合C,D为闭集合,且CR,DR,证明:(C∪D)R.(6分) 解:(1)因为4∈A1,2∈A1,4+2=6∉A1,所以A1不是闭集合.任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z,则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以x+y∈B,同理,x-y∈B,故B为闭集合. (2)结论:不一定. 不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5∉C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合. (3)证明:不妨假设C∪D=R,则由CR,可得存在a∈R且a∉C,故a∈D.同理,存在b∈R且b∉D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a∉C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b∉D矛盾, 综上,C∪D=R不成立,故(C∪D)R. 5 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$