1.2 子集、全集、补集 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

　　　 1.2　子集、全集、补集 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法,并注意空集在解题中的影响. 3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 逐点清(一)　子集、真子集 [多维理解] 1.子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 记法与读法 记为A⊆B或B ⊇A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C. (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B. (4)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 2.真子集 定义 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法与 读法 记为AB或BA,读作“A真包含于B”或“B真包含A” 图示 结论 (1)AB,BC,则AC. (2)A⊆B且A≠B,则AB. (3)规定⌀B(B为非空集合) |微|点|助|解| 对子集的理解 (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B. (2)真子集的理解:需明确AB,首先满足A⊆B,只要满足至少一个元素x∈B且x∉A. (3)⌀与{0}的区别:⌀是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素的集合,⌀{0}. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a∈A,则{a}⊆A. (　 ) (2)若A⊆B,且A≠B,则AB. (　 ) (3)如果集合B⊆A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. (　 ) 答案:(1)√　(2)√　(3)√ 2.已知A={x|x是正数},B={x|x是正整数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是 (　 ) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 解析:选B　集合A,B,C的关系如图所示. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　 ) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. 4.选用适当的符号填空: (1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则-4　　B,-3　　A,{2}　　B,B　　A.  (2)若集合A={x|x2-1=0},则1　　A,{-1}　　A,⌀　　A,{1,-1}　　A.  (3){x|x是菱形}　　{x|x是平行四边形};{x|x是等边三角形}　　{x|x是等腰三角形}.  解析:(1)∵集合A={x|2x-3<3x}={x|x>-3},B={x|x≥2}, ∴-4∉B,-3∉A,{2}B,BA. (2)∵集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,{-1}A,⌀A,{1,-1}=A. (3){x|x是菱形}{x|x是平行四边形};{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}. 答案:(1)∉　∉　　　(2)∈　　　=　(3)　 5.若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有　　　　个.  解析:若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{2,3};若A中含有两个奇数,则A={1,3}. 答案:5 逐点清(二)　补集与全集 [多维理解] 1.补集 定义 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 记法与 读法 记为∁S A(读作“A在S中的补集”),即∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图示 运算性质 ∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀ 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U. |微|点|助|解| (1)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. (2)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的. [微点练明] 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM= (　 ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 答案:C 2.已知全集U={x|-1≤x<3},集合A={x|-1≤x≤2},则∁UA= (　 ) A.{x|-1≤x<2} B.{x|2<x<3} C.{x|2≤x<3} D.{x|x<-1或x>2} 解析:选B　由题意知∁UA={x|2<x<3}. 3.(2022·全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则 (　 ) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析:选A　由题意知M={2,4,5},故选A. 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1或x≥2},则实数b=　　　　.  解析:因为∁UA={x|x<1或x≥2},所以A={x|1≤x<2}.所以b=2. 答案:2 逐点清(三)　确定子集(真子集)的个数 　　根据子集的定义可知,若集合A是集合B的子集,则有A⊆B,它包含A=⌀,AB,A=B,所以有限集合的子集个数的结论为 ①n个元素的集合有2n个子集; ②n个元素的集合有(2n-1)个真子集; ③n个元素的集合有(2n-1)个非空子集; ④n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. [典例]　(1)已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 (2)满足{a}⊆M{a,b,c,d}的集合M共有　　　　个.  [解析]　(1)由方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根,则M有2个元素,得集合M有22=4个子集. (2)集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个. [答案]　(1)C　(2)7 |思|维|建|模| (1)当集合中元素很少时,我们可以写出它的全部子集,从而得到子集和真子集的个数.写子集时不要忘记空集及集合本身. (2)当集合中元素很多时,可以利用公式求解,注意真子集与子集公式的不同. [针对训练] 1.已知集合A,B,C,其中A有10个元素,C有15个元素,则满足ABC的集合B的个数为 (　 ) A.32 B.31 C.30 D.5 解析:选C　由题意,知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数,有25-2=30个, 所以集合B的个数为30. 2.设M={1,2},N={a|a⊆M},则集合N中元素的个数为　　　　.  解析:由题,可知集合N是由集合M的子集构成的集合,因为集合M的子集个数为22=4,所以集合N中元素的个数为4. 答案:4 3.设集合A={0,1,2},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},集合M的真子集的个数为　　　　.  解析:集合A={0,1,2},B={4,5},而M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M={4,5,6,7},所以集合M的真子集的个数为24-1=15. 答案:15 [课时检测] 1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 (　 ) A.-3∈A B.3∉B C.B⊆A D.A⊆B 解析:选C　集合A={y|y≥-1},B={x|x≥2},所以B⊆A. 2.已知集合A={x∈N|0≤x≤4},B={3,4},则∁AB等于 (　 ) A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{4} 解析:选A　集合A={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4},∁AB={0,1,2},故选A. 3.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选C　集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15. 4.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　因为B⊆A,所以x2∈A.又x2≠1,所以x2=3或x2=x,解得x=±或x=0.故选C. 5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 (　 ) 解析:选B　由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得NM,其对应的Venn图如选项B所示. 6.(多选)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 (　 ) A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2} 解析:选AC　∵A⊆B,A⊆C,∴A中的元素应为B和C的共同元素.∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}.结合选项知,A、C选项满足题意,故选A、C. 7.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.AB D.BA 解析:选D　集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,能被6整除的数一定能被3整除,所以BA. 8.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=　 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,故m=2. 9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠⌀,B⊆A,则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:选D　当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1. 10.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a+6,5},∁UA={2,a2-1},则a的值为 (　 ) A.-3 B.-3和-2 C.-2 D.2 解析:选C　由补集的定义可知a+6的可能取值为3或4,当a+6=3,即a=-3时,a2-1=8,不满足题意;当a+6=4,即a=-2时,a2-1=3,此时A={1,4,5},∁UA={2,3},满足题意.综上,a=-2. 11.(5分)已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=　　　　.  解析:因为集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},所以A={0,1},则∁UA={-1}. 答案:{-1} 12.(5分)设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=n=若A⊆B,则对任意x∈R,m(1-n)=　　　　.  解析:∵A⊆B,∴当x∉A时,m=0,m(1-n)=0;当x∈A时,必有x∈B,m=n=1,m(1-n)=0.综上,m(1-n)=0. 答案:0 13.(5分)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　.  解析:因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 答案:{2,3,5,7} 14.(5分)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m},且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由集合B={x|1<x<m},若m≤1时,可得B=⌀,此时满足B⊆A;若m>1时,要使B⊆A,则满足解得1<m≤4.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤4}. 答案:{m|m≤4} 15.(10分)已知集合A={1,2,3}. (1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;(3分) (2)若B={x|ax-3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合.(7分) 解:(1)∵M⊆A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. (2)当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a≠0时,B=; 若B⊆A,则=1或=2或=3, 解得a=3或a=或a=1. 综上所述,实数a的取值集合为. 16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围. 解:①当A无真子集时,即A=⌀时, 则方程ax2+2x+1=0无实根, 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况: 当a=0时,方程化为2x+1=0, 解得x=-,符合题意; 当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$