1.1 第1课时 集合的概念 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第1章 集合 　　　　　　　　　 1.1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　　　　　　　　　　　　　　 　[课时目标] 1.准确理解集合的含义,理解元素与集合的关系,会判断元素与集合的关系. 2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题. 3.熟记常用数集的表示符号,通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. 逐点清(一)　元素与集合的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 元素与集合的定义及表示 定义 表示 集合 一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合 用大写拉丁字母来表示集合,例如集合A、集合B等 元素 集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元 用小写拉丁字母来表示元素,例如元素a,b,c等 |微|点|助|解| 1.对集合概念的理解 (1)“集合”是数学中的一个基本概念,同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念. (2)集合是一个“整体”,一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等. 2.集合中的元素必须满足的性质 确定性 一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 [微点练明] 1.下列语言叙述中,能表示集合的是 (　 ) A.数轴上离原点距离很近的所有点 B.太阳系内的所有行星 C.某高一年级全体视力差的学生 D.与△ABC大小相仿的所有三角形 解析:选B　对于A,数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性,故A错误;对于B,太阳系内的所有行星满足集合的性质,故B正确;对于C,某高一年级全体视力差的学生不满足确定性,故C错误;对于D,与△ABC大小相仿的所有三角形不满足确定性,故D错误. 2.集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选D　由集合中元素的互异性可知,该集合中共有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素. 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 (　 ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析:选A　由集合中元素的互异性可知,a,b,c,d互不相等,从而四边形中没有边长相等的边. 4.已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素,且7是A中的元素,则a3的值为 (　 ) A.0 B.1或-27 C.1 D.-27 解析:选B　根据题意得a2+2a+4=7,整理得(a+3)(a-1)=0,解得a=1或a=-3,则a3=1或a3=-27. 5.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根组成的集合为M,则M中的元素个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根分别是2,3和2,-1,又集合中的元素具有互异性,所以集合M中的元素个数为3. 逐点清(二)　元素与集合的关系 　　　　　　　[多维理解] 1.常用数集及其记法 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N*或N+ Z Q R 　　2.元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素,那么就记作a∈A,读作“a属于A” 不属于 如果a不是集合A的元素,那么就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A” |微|点|助|解| (1)由元素的确定性可知,对于任何a与A,a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. (3)N是自然数集,而N*与N+表示正整数集,N包括元素0,而N*与N+不包括元素0. [微点练明] 1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 (　 ) A.3.14 B.-5 C. D. 解析:选D　因为是实数,但不是有理数,所以选D. 2.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则 (　 ) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 解析:选D　由题意可知解得-4<a≤-2. 3.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.集合N与集合N*是同一个集合 B.集合N中的元素都是集合Z中的元素 C.集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D.集合Q中的元素都是集合R中的元素 解析:选BD　因为集合N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以A、C中的说法不正确,B、D中的说法正确. 4.(多选)已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是 (　 ) A.-2∈A B.-11⋷A C.3k2-1∈A D.-34∉A 解析:选BC　令3k-1=-2,解得k=-,-∉Z,∴-2∉A;令3k-1=-11,解得k=-,-∉Z,∴-11∉A;∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈Z,∴-34∈A. 5.用“∈”或“∉”填空: 　　 　　N;-3　　　　　Z;　　　　　Q;0　　　　N*;　　　　R;-　　　　Q.  答案:∉　∈　∉　∉　∈　∉ 逐点清(三)　集合元素的性质 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值. [解]　由题意,可知a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. 若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0. [变式拓展] 1.本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 2.若本例条件中“1”和“a”互换位置,求实数a的值. 解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,集合A有重复元素,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1. 当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1. 　　|思|维|建|模| 由集合中的元素性质求参数的步骤 [针对训练] 1.由a2,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数a的取值可以是 (　 ) A.-1 B.1 C. D.2 解析:选D　由题意知a2,2-a,3组成一个集合A,A中元素个数不是2,因为a2=2-a=3无解,故由a2,2-a,3组成的集合A的元素个数为3,故a2≠2-a≠3,即a≠-2,a≠±1,a≠±,即a可取2,故A、B、C错误,D正确. 2.已知集合P有三个元素-1,2a+1,a2-1.若0∈P,则实数a的值为 (　 ) A.-　　B.1　　C.-或1　　D.0或1 解析:选C　因为0∈P,所以2a+1=0或a2-1=0.当2a+1=0,即a=-时,P中含有元素-1,0,-,满足题意;当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则P中含有元素-1,3,0,满足题意;若a=-1,则P中含有元素-1,0,不满足题意.综上,实数a的值为-或1. [课时检测] 1.(多选)下列元素与集合的关系正确的是 (　 ) A.-1∈N B.0∉N* C.∈Q D.∈R 答案:BD 2.下列说法正确的是 (　 ) A.与定点A,B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等边三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 解析:选C　对于A,与定点A,B等距离的点在线段AB的中垂线上,故可以构成集合,即A错误;对于B,由集合元素的互异性可知,由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4,故B错误;对于C,因为集合的元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,故△ABC不可能是等边三角形,即C正确;对于D,游泳能手模棱两可,不具有确定性,故D错误. 3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 解析:选B　本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M. 4.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为 (　 ) A.0 B.1 C.0或1 D.小于或等于 1 解析:选C　由y∈N且y=-x2+1≤1,所以y=0或y=1. 5.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为 (　 ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 解析:选B　若a=2∈A,则6-a=4∈A;或a=4∈A,则6-a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B. 6.(多选)下列四个语句正确的是 (　 ) A.集合N*中最小的数是1 B.若-a∉N,则a∈N C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2 D.x2+1=2x的解集中含有1个元素 解析:选AD　对于A,因为N*是正整数集,最小的正整数是1,所以A正确;对于B,取a=,则-∉N,∉N,所以B错误;对于C,当a=b=0时,a+b取得最小值0,而不是2,所以C错误;对于D,解集中只含有元素1,所以D正确. 7.由a2+1,a+3,a组成的集合含有元素2,则实数a的可能取值的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　当a2+1=2时,a=±1,当a=1时,三个数分别为2,4,1,符合元素的互异性;当a=-1时,三个数分别为2,2,-1,不符合元素的互异性;当a+3=2时,a=-1,三个数分别为2,2,-1,不符合元素的互异性;当a=2时,三个数分别为5,5,2,不符合元素的互异性.所以实数a的值可能为1,只有一个. 8.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是 (　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 解析:选B　当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确. 9.(多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列元素属于集合M的是 (　 ) A.0 B.3-1 C. D. 解析:选ABD　当a=b=0时,x=0;当a=-1,b=3时,x=-1+3=3-1;当a=-1,b=-1时,x=-1-.又==-1-,所以此时x=.综上所述,A、B、D中的数都是集合M中的元素.因为a,b∈Z,无法满足x=,所以C中的数不属于集合M. 10.由实数x,-x,|x|,,- 所组成的集合中,含有元素的个数最多为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选A　∵=|x|,-=-|x|,故当x=0时,这几个实数均为0; 当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x; 当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,x. 最多表示2个不同的数,故集合中的元素最多为2个.故选A. 11.设数集M同时满足条件:①M中不含元素-1,0,1,②若a∈M,则∈M.则下列结论正确的是 (　 ) A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素 C.集合M中至少有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素 解析:选C　由a=x∈M,则∈M,所以=-∈M.所以=∈M.所以=x∈M.若x=,则x2=-1无解.因为x≠-1,0,1,所以x,,-,互不相等,此时集合M中含4个元素.所以集合M中至少有4个元素. 12.(5分)设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合,则-1　　　　　D,(-1,1)　　　　D.(填“∈”或“∉”)  解析:因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D,(-1,1)∈D. 答案:∉　∈ 13.(5分)集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  解析:∵∈N,∴3-x=1或3-x=2或3-x=3或3-x=6,即x=2或x=1或x=0或x=-3.又x∈N,故x=0或x=1或x=2.即集合A中的元素为0,1,2. 答案:0,1,2 14.(5分)已知集合P中的元素x满足x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=　　　　.  解析:因为集合P中恰有三个不同元素,且元素x满足x∈N,且2<x<a,则满足条件的x的值为3,4,5,所以整数a的值是6. 答案:6 15.(10分)已知集合A含有两个元素m,m2-3m,其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数?(5分) (2)若4∈A,求实数m的值.(5分) 解:(1)根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4,因此,实数m不能取0和4. (2)由(1)的结论,可知m≠4,若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意),因此,实数m的值是-1. 16.(10分)已知集合S满足:若a∈S,则∈S.请解答下列问题. (1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素;(3分) (2)求证:若a∈S,则1-∈S;(3分) (3)在集合S中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由.(4分) 解:(1)∵2∈S,∴=-1∈S, ∴=∈S,∴=2∈S. 故集合S中另外的两个元素为-1和. (2)证明:由题意,可知a≠1且a≠0,由∈S,得∈S,即==1-∈S.故若a∈S,则1-∈S. (3)集合S中的元素不可能只有一个.理由如下: 令a=,即a2-a+1=0. ∵(-1)2-4<0,∴方程a2-a+1=0无实数解, ∴a≠. 因此集合S中不可能只有一个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$