专题07 代数式（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题07代数式 目录 1 类型一、由字母的值求代数式的值 1 类型二、由式子的值求代数式的值 5 类型三、由程序流程图求代数式的值 9 类型四、由整体思想之配系数求代数式的值 15 类型五、由整体思想之奇次项为相反数求代数式的值 20 类型六、由整体思想之赋值求代数式的值 24 类型七、用代数式表示数式规律 27 类型八、用代数式表示图形规律 32 37 类型一、由字母的值求代数式的值 求代数式的值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”，然后计算求得结果，对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解: 1)给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算. 2)给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算. 3)在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值. 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) (4)1 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）①a与b的差是，则差的平方就是；②a与b的平方和是，a，b两数积的2倍是，再作差即可表示； （2）分别将，，，，，代入（1）所得的代数式即可求值填表； （3）根据（2）计算的结果，比较两个式子的大小即可得规律； （4）根据（3）中发现的结论进行计算即可得． 【详解】（1）解：①；②； （2）解：当，时，，； 当，时，， 当，时，， 完成下列表格如下： 与的差的平方 ，两数的平方和与，两数积的2倍的差 ， 9 9 ， 4 4 ， 0 0 （3）解：根据（2）中表格发现：； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且，求的值． 【答案】或． 【分析】本题考查有理数的混合运算，倒数的定义以及相反数的定义，根据a，b互为相反数，则，c，d互为倒数，则，代入，再由y的绝对值等于2，可得，分别代入计算即可．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴ 又∵c，d互为倒数， ∴， ∴， ∵y的绝对值等于2， ∴，， 当，时，则， 当，时，则， 综上所述：的值为或． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式：= ． (1)求破损部分的整式； (2)若，且，求破损部分整式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求； （2）利用，且，解出x、y以及把x、y的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为 所以． 则原式 ． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，也考查了正方体相对两个面上的文字． 根据正方体相对两个面上的代数式的值相等得到，，，代入代数式即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴ 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，，． (1)求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是数轴的特点及绝对值的性质，整式的加减求值． （1）根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，再根据，，可求出a、b、c的值，代入进行计算即可； （2）利用整式的加减法则化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：因为a，c在原点的左侧，b在原点的右侧，所以，，． 因为，，， 所以，，． 所以； （2）解： ． 因为，，． 所以原式． 类型二、由式子的值求代数式的值 6．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)_____，_____，_____，_____． (2)求的值． 【答案】(1)1，0，或2， (2)3或1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，运用了相反数和倒数、绝对值的概念，以及整体代入的思想． （1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论； （2）将（1）所得式子代入可得结论． 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，， ∴或2，． 故答案为：1，0，或2，； （2）解：当时， 当时， 7．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知：，． (1)求； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了整式加减运算的化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算的运算法则． （1）将、整体代入，然后展开合并同类项即可求解； （2）将整体代入（1）的化简结果即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵ ∴ ． 8．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知，． (1)求． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，绝对值的非负性，正确合并同类项是解题关键． （1）直接去括号进而合并同类项得出答案； （2）首先得出a，b的值，再把已知代入求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）， ，， 所以， 解得， 所以 ． 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，． (1)若与互为相反数，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】本题考查整式的加减运算，非负数的性质以及整体代入法，解题的关键是先对式子进行化简，再根据已知条件代入求值． （1）先根据非负数的性质求出x，y的值，再化简，最后代入求值． （2）先化简，再将整体代入求值． 【详解】（1）解： 与互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，且一个数的平方和绝对值都为非负数，可得， ， 由，解得， 把代入，得， 解得， 把，代入，， ， ； （2）解： 把，代入得： 原式 故原式的值为：0． 10．（24-25七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简． (2)若，求的值． (3)若，时，代数式，那么，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把A，B的值代入，进行去括号，合并同类项即可得到答案； （2）先由非负数的性质得，再代入（1）中的结果计算即可； （3）把代入，求得，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴ ； （3）解：当，时，代数式， ∴， ∴， 当，时， ． 类型三、由程序流程图求代数式的值 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有一个特殊的计算程序，若输入一个有理数，按下图流程进行往复计算． (1)完成下表：（填最简结果） 计算次数 第次 第次 第次 第次 …… 计算结果 …… (2)填空：在前次运算中，结果等于的最少有________次，最多有________次； (3)问：在前次运算中，结果大于的最多有多少次？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)5；7； (3)506 【分析】此题考查了整式运算，代数式求值，有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接列出计算即可； （2）根据（1）可知：第4次一循环，每4次中，结果等于a的有2次，即每两次有一次结果等于a，其中，每4次中还有一次等于，若当时 ， ，即可求解； （3）每4次一循环，每4次计算中，结果等于a的有2次，其中，每4次中还有一次等于，若当时，，每4次最多可能就有1次大于a，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：第1次计算结果为：， 第2次计算结果为： 第3次计算结果为： 第4次计算结果为：， 故填表如下： 计算次数 第次 第次 第次 第次 …… 计算结果 a a …… （2）解：由（1）可知，第4次一循环，每4次中，结果等于a的有2次， 即每两次有一次结果等于a，其中，每4次中还有一次等于，若当时 ， ， ∴在前次运算中，结果等于的最少有5次，最多有7次； （3）解：∵第1次计算结果为：， 第2次计算结果为： 第3次计算结果为：，当时，，当时 ， ，当时，， 第4次计算结果为：， ∴每4次一循环，每4次计算中，结果等于a的有2次，其中，每4次中还有一次等于，当时，，每4次最多可能就有1次大于a， ∵， ∴在前2024次运算中，结果大于a的最多有506次． 13．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，代数式表示的实际意义，程序流程图与代数式求值等知识点，看懂程序流程图并得出正确信息是解题的关键． 14．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 【答案】(1)31 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键． （1）根据题目所给的运算程序进行计算即可． （2）根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 再把代入，得， ∴输出的值是31． （2）解：由题意得． 解得． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． (1)若“■”内的数字为，求输入的实数为101时最后输出的结果． (2)当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． 【答案】(1)最后输出的结果是1613； (2)“■”内的数字的最小正整数为5． 【分析】此题考查有理数的混合运算，求不等式的整数解，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键． （1）根据计算程序代入可解答； （2）设“■”内的数字为，列出不等式，计算可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：最后输出的结果是1613； （2）解：设“■”内的数字为， 由题意得， 解得， ∴“■”内的数字的最小正整数为5． 类型四、由整体思想之配系数求代数式的值 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则______． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （3）把写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解： ． （3）解：∵， ∴． 故答案为：2． 17．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 在同类项中，，类似的 ．整体思想是中学数学解题中一种重要思想，在多项式求值与化简中应用很广泛． 去括号法则的逆向运用就是添括号，将整体放入“（   ）”就变为，将整体放入“（   ）”就变为． 【问题再现】 （1）若将看做一个整体，化简 【问题推广】 （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3）已知，求的值． 【答案】（1）（2）1（3） 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将看作一个整体，代入求值即可； （3）先进行变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ， （2）∵， ∴． （3） ， ∵，，， ∴原式． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并_____． (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值，整式的加减运算； （1）利用整体法的思想进行求解即可得； （2）利用整体法可得，代入即可求解； （3）将原式整理成，代入式子的值即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． （3）解：∵，， ∴ ． 19．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法．如：若，我们把看成一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)将一块长方形纸片按如图所示的方式进行剪裁，其中①②③④为正方形，⑤为长方形．设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，若图中正方形③的边长为1，求长方形⑤的周长． 【答案】(1)45 (2)4 【分析】本题考查整式加减的应用，整体代入法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）把原式变形后，将整体代入计算即可； （2）先利用x，y分别表示出长方形⑤的长和宽，然后求得其周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意可得， 长方形⑤的长是，宽为， 那么 ， 即长方形⑤的周长是4． 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 【答案】（1），，过程见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，代数式求值． （1）令，则原式化为，然后合并同类项，再将代入，最后将，代入计算即可； （2）①令，则 ，再计算即可； ②将变形为，然后将整体代入求值即可． 【详解】解：（1）令，则 ， 当，时，原式； （2）①令，则 ， 故答案为：； ②∵ ∴ ， 故答案为：． 类型五、由整体思想之奇次项为相反数求代数式的值 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)①若，求的值； ②已知当时，代数式，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②2015 【分析】本题考查整式的加减混合运算，代数式求值，掌握整体代入的思想是解题关键． （1）仿照题干，将看成一个整体，计算即可； （2）①根据整式的加减混合运算法则化简成，再将代入求值即可； ②将代入，得：．将，代入，得：，最后将代入中求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：① ． 因为， 所以原式． ②因为当时，代数式， 所以， 所以， 所以当时，代数式 ． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）9；（2）；（3）6；（4）128 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减应用，解决本题的关键是运用整体代入思想． （1）将，整体代入计算即可； （2）由题意得，再将代数式变形为，再整体代入计算即可； （3）根据题意得，故当时，代数式为，变形为，再整体代入计算即可； （4）设大正方形边长为x，四个相同的小正方形边长为y，根据，有，解得，再列式计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）由题意得， ∴， ∴ ； ∴代数式的值为； （3）∵当时，的值为9， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； （4）设大正方形边长为x，四个相同的小正方形边长为y，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图②中的阴影部分面积为128． 23．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读与思考： 【教材呈现】下图是某版本七年级上册数学教材中的内容 17．代数式的值为7，则代数式的值为______ 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意，得，则有． 所以代数式的值为5． 根据理解，解决问题： 【方法运用】 （1）已知，求的值； 【拓展应用】 （2）若时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 【答案】（1），（2）； 【分析】本题主要考查了代数式求值，理解题中给出的方法，仿照其方法求值是解题的关键． （1）由题意得，然后把变形为，再整体代入求值即可； （2）把代入代数式，根据其值为5得出，再把代入代数式中，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ． （2）当时，代数式的值为5， ∴， 则有， ∴， 当时， ． 类型六、由整体思想之赋值求代数式的值 24．（江苏省盐城市射阳县实验初级中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题）【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)243 (2)122 【分析】本题考查了求代数式的值，准确理解题意是解题的关键． （1）仿照题例求出当时，左右两边的值，进而求解即可； （2）将，两式相加，得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 25．（20-21七年级上·山东菏泽·期末）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)0 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 26．（20-21七年级上·江苏镇江·期中）已知． 当时， 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． （1）当x为多少时，可求出g为多少？ （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）x=0，g=1；（2） 0；（3）a+c+e=31 【分析】（1）令x＝0可求出g； （2）令x＝−1可求出的值； （3）由题意可得当x＝1时，，由（2）可得＝0，联立两式得a＋c＋e+g＝32，根据（1）得g=1，即可得出答案． 【详解】解：（1）当x＝0时，， 则g＝1； （2）当x＝−1时， ∴＝0； （3）由题意可得当x＝1时，①， 又（2）可得＝0②， ①+②得2（a＋c＋e+g）＝64， 解得a＋c＋e+g＝32， 由（1）得g=1， ∴a＋c＋e＝31． 【点睛】本题考查了代数式求值，关键是巧用赋值法求解． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，令，可求出，令，可求出，两式相加即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴得， ∴． 类型七、用代数式表示数式规律 根据一系列数式关系或一组相关图形的变化期律，从中总结其所反映的规律.其中，以图形为载体的数字规律最为常见，猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比仿照数式规律的方法猜想得到最终结论，这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注. 28．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 29．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 30．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是 ，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 31．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． （1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为：； （2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律： ， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 32．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】(1)15；2 (2) (3)①；②成立，理由见解析 【分析】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中数表的规律即可得到答案； （2）由题中数表的规律即可得到答案； （3）①由“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计算即可猜想出关系；②设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为；分别计算即可验证关系． 【详解】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． 类型八、用代数式表示图形规律 33．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律； （3）由（2）的规律建立方程求解，并进一步计算即可． 【详解】（1）解：一个六边形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， （2）解：归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 34．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)， (3)①，② 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得的值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 35．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 36．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 【答案】(1) (2) (3)分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 (4)（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律是解题的关键． （1）由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； （4）按照（2）的规律写出一个新的化合物即可． 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， （2）由(1)可知:第n个结构式的分子式是， 故答案为: ； （3）令，， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物． （4）（答案不唯一）． 37．（24-25七年级上·福建漳州·期中）数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 【答案】（1）；（2）（3）；（4）（5），；（6） 【分析】本题考查列代数式，根据图形的面积求解即可； （1）根据正方形面积公式列代数式即可； （2）根据图形面积比较大小即可； （3）根据阴影部分面积为大正方形减去周围四个三角形面积求解即可； （4）根据每分割一次剩余空白部分面积就乘以求解即； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为，求解即可； （6）根据第次分割图得规律求解即可． 【详解】解： （1）大正方形面积可表示为， 故答案为：； （2）由图可以发现面积为的图形是大正方形的一部分， ∴ ， 故答案为：． （3）对比图②可得大正方形面积为， ∴可得图③中阴影部分长方形的面积为， 故答案为：； 如图④， ，…； （4）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， 故答案为：； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 故答案为：，； （6）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 ， 故答案为：． 38．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）； (3) 【分析】本题考查了图形规律，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键，再由数字规律求解即可．空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数． 【详解】（1）解：； （2）（答案不唯一）； 规律为：，为正整数； （3） ． 39．（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，③ 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及整体法的运用． （1）先将原式化简，再进行整体代入即可求解； （2）先根据题意得出，然后把变形后整体代入即可求解； （3）①根据小明的路程+爸爸的路程起跑时两人间的距离跑道周长即可求解； ②根据妈妈的路程妹妹的路程起跑时两人间的距离即可求解； ③先根据题意求出，，然后把原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）①根据题意，得跑道周长为； ②根据题意，得妹妹站在妈妈前面； ③根据题意，得，， ∴，， ∴ ． 40．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 … … (1)第个数可表示为 　　；第个数可表示为 　　； (2)第个数是，第个数为，则　　，　　； (3)第个数可表示为 　　． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）通过观察发现，每组三个数，后一组的三个数分别比前一组的三个数大，由此可知第组数是，，，根据题意可得，求出的值即可； （3）由（2）的规律，可知第个数是． 【详解】（1）解：（1）第6个数比第3个数大2， ∴第6个数是， 第7个数比第4个数大2， ∴第7个数是， 故答案为：，； （2）解：第一组数是， 第二组数是， 第三组数是， …… ∴第n组数是，，， ∵……1， ∴第22个数是，第23个数是， ∵第个数是，第个数为， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴第个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每组数的规律，从而得到一般性结论是解题的关键． 41．（22-23七年级上·四川内江·期中）已知a，b，c满足，且b是最小的正整数，数轴上A，B，C各点所对应的数分别为a，b，c，解答下列问题：    (1)填空：a=_____，b=______，c=_____． (2)点M在点A左侧，其对应的数为x，化简（要求说明理由）． (3)点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发以每秒5个单位长度的速度向右运动，这三个点同时出发，设运动时间为t秒，若点P与点Q之间的距离表示为m，点Q与点R之间的距离表示为n，问：的值是否随时间t的变化而变化？ 【答案】(1)，， (2) (3)不会随时间t的变化而变化 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a，b，c的值； （2）点M在点A左侧，求出x的取值范围即可化简； （3）分别用t表示出动点P、Q、R所表示的数，然后求得的值就能知道是否随时间t的变化而变化． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，． （2）由（1）知，，a在数轴上所对应的点为A， ∵点M在点A左侧， ∴， ∴． （3）t秒时，点P表示的数为−1−t， 点Q表示的数为， 点R表示的数为， 则， ． ∴ ∴的值为固定值，与时间t没有关系，不会随时间的变化而变化． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，用代数式去表示各点运动的距离是解题关键． 42．（19-20七年级上·广东深圳·期末）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案； （2）先求出，则折点为的中点，求出折点表示的数，再求出C点与折点的距离，进而得到C点对应的数即可； （3）当P与点B重合时，即当时，取得最小值； （4）分小球乙碰到挡板之前和之后，即当，时，表示出甲、乙两小球之间的距离d即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，； 故答案为：，； （2）因为，， 所以， 将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对折点为的中点， 所以对折点表示的数为：， C点与对折点的距离为：，所以C点对应的数为， 即点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）表示， ∴当点与点重合，即时，有最小值为两点间的距离， 即：的最小值为； 故答案为：；； （4）由题意，乙到达挡板处需要的时间为秒， ∴秒后，甲的位置是，乙的位置是， ． 【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，非负性，掌握数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． 43．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210① 将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211② 由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1 即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1 【运用】仿照此法计算： (1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350； (2) (3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022 完成下列问题： ①小正方形S2022的面积等于 ； ②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和． 【答案】(1) (2)2﹣ (3)①；② 【分析】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+351，两等式相减得到2S=351﹣1，得到S=，即得； （2）设S=1++++…+，两边都乘以得：S=++++…+，两等式相减得到﹣S=﹣1，推出S=2（1﹣）=2﹣，即得； （3）①根据，，，…，可得； ②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+，两边都乘以得到S=++ +…+，两等式相减得到S=﹣，推出S=（﹣）= ，即得． 【详解】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350 ①， ①×3，得：3S=3+32+33+34+35+…+351 ②， ②﹣①，得：2S=351﹣1， 则S=， 即1+3+32+33+34+…+350=； （2）设S=1++++…+①， ①×，得：S=++++…+②， ②﹣①，得：﹣S=﹣1， ∴S=2（1﹣）=2﹣， 即1++++…+=2﹣； （3）∵S1=（）2=，S2=S1=，S3=S2=，…， ∴S2022=， 故答案为：； ②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+①， ①×，得：S=+++…+②， ①﹣②，得：S=﹣， ∴S=（﹣）= ， 即S1+S2+S3+…+S2022= ． 【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答． 44．（23-24七年级上·江西九江·期末）图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 【答案】(1)13，20，27； (2)12； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． (1)设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，，根据被框住的三个数的和为60，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据各数之间的关系，可得出，，， ，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； (3)假设存在，根据，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再利用求出该值大于31，即可得出假设不成立，即不存在的值，使得． 【详解】（1）解：设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，． 根据题意得，解得． 所以，． 故答案为：13，20，27． （2）观察图1可知： ，，， 所以． ． 故答案为：12． （3）不存在． 理由如下： 假设存在，由（2）得， 解得．所以． 因为，所以假设不成立． 所以不存在的值，使得． 45．（20-21七年级上·重庆·期中）材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数． 根据材料，完成下列问题： （1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________ （2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由． （3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数． 【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773 【分析】（1）根据题意得出最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，求出和； （2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，用a和b表示出这两个两位数的差，得，这个数是9的倍数一定可以被9整除； （3）设这个四位数的个位数是x，将这个四位数用x表示出来，然后令x的值为1到9，求出对应的四位数的值，找到可以被7整除的数． 【详解】解：（1）最大的两位对称数是99， 最小的三位对称数是101， ， 故答案是：200； （2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b， 则这两位数分别是、， ， 它们的差是， 这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除； （3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是， 这个数可以表示为，化简得， 令，则这个数是1991， 令，则这个数是2882， 令，则这个数是3773， …… 令，则这个数是9119， 其中只有3773能够被7整除， ∴满足条件的四位数是3773． 【点睛】本题考查用字母表示数，解题的关键是能够理解题意用字母表示出对应的数进行求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07代数式 目录 1 类型一、由字母的值求代数式的值 1 类型二、由式子的值求代数式的值 3 类型三、由程序流程图求代数式的值 3 类型四、由整体思想之配系数求代数式的值 6 类型五、由整体思想之奇次项为相反数求代数式的值 7 类型六、由整体思想之赋值求代数式的值 9 类型七、用代数式表示数式规律 10 类型八、用代数式表示图形规律 12 14 类型一、由字母的值求代数式的值 求代数式的值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”，然后计算求得结果，对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解: 1)给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算. 2)给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算. 3)在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值. 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，y的绝对值等于2，且，求的值． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式：= ． (1)求破损部分的整式； (2)若，且，求破损部分整式的值． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求代数式的值． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且，，． (1)求的值． (2)已知，求的值． 类型二、由式子的值求代数式的值 6．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)_____，_____，_____，_____． (2)求的值． 7．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知：，． (1)求； (2)当时，求的值． 8．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知，． (1)求． (2)若，求的值． 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，． (1)若与互为相反数，求的值； (2)若，，求的值． 10．（24-25七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简． (2)若，求的值． (3)若，时，代数式，那么，时，求代数式的值． 类型三、由程序流程图求代数式的值 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有一个特殊的计算程序，若输入一个有理数，按下图流程进行往复计算． (1)完成下表：（填最简结果） 计算次数 第次 第次 第次 第次 …… 计算结果 …… (2)填空：在前次运算中，结果等于的最少有________次，最多有________次； (3)问：在前次运算中，结果大于的最多有多少次？为什么？ 13．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 14．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 15．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚． (1)若“■”内的数字为，求输入的实数为101时最后输出的结果． (2)当开始输入的实数为100时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正整数，求“■”内的数字的最小值． 类型四、由整体思想之配系数求代数式的值 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则______． 17．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 在同类项中，，类似的 ．整体思想是中学数学解题中一种重要思想，在多项式求值与化简中应用很广泛． 去括号法则的逆向运用就是添括号，将整体放入“（   ）”就变为，将整体放入“（   ）”就变为． 【问题再现】 （1）若将看做一个整体，化简 【问题推广】 （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3）已知，求的值． 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：我们知道，类似的，我们把看成一个体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并_____． (2)已知，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 19．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法．如：若，我们把看成一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)将一块长方形纸片按如图所示的方式进行剪裁，其中①②③④为正方形，⑤为长方形．设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，若图中正方形③的边长为1，求长方形⑤的周长． 20．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 类型五、由整体思想之奇次项为相反数求代数式的值 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则 ．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)①若，求的值； ②已知当时，代数式，求当时，代数式的值． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）若代数式的值为10，求代数式的值． （3）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展探索】 （4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 23．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读与思考： 【教材呈现】下图是某版本七年级上册数学教材中的内容 17．代数式的值为7，则代数式的值为______ 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意，得，则有． 所以代数式的值为5． 根据理解，解决问题： 【方法运用】 （1）已知，求的值； 【拓展应用】 （2）若时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 类型六、由整体思想之赋值求代数式的值 24．（江苏省盐城市射阳县实验初级中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题）【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 25．（20-21七年级上·山东菏泽·期末）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 26．（20-21七年级上·江苏镇江·期中）已知． 当时， 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． （1）当x为多少时，可求出g为多少？ （2）求的值； （3）求的值． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 类型七、用代数式表示数式规律 根据一系列数式关系或一组相关图形的变化期律，从中总结其所反映的规律.其中，以图形为载体的数字规律最为常见，猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比仿照数式规律的方法猜想得到最终结论，这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注. 28．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 29．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 30．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 31．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 32．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 类型八、用代数式表示图形规律 33．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 34．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 35．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 36．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 37．（24-25七年级上·福建漳州·期中）数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 38．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）探索规律． (1)观察上面的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是____________； (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______， 你会发现这些算式存在一个规律： 请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）； (3)运用这个规律计算：． 39．（23-24七年级上·江苏·周测）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）周末爸爸妈妈带着小明和妹妹在小区的休闲区运动．爸爸和小明在休闲区的环形跑道上跑步，两人相距20米，同时反向运动，小明的速度是，爸爸的速度是 ，经过两人第一次相遇．妈妈带着妹妹做追逐游戏，妹妹在妈妈前面，两人同时同向起跑，妹妹的速度是，妈妈的速度也是，经过，妈妈追上妹妹． ①休闲区的环形跑道周长是_____________m；（用含的代数式表示） ②起跑时，妹妹站在妈妈前面_____________m；（用含的代数式表示） ③若休闲区的环形跑道周长是，起跑时妹妹站在妈妈前面，综合上述信息求代数式的值． 40．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 … … (1)第个数可表示为 　　；第个数可表示为 　　； (2)第个数是，第个数为，则　　，　　； (3)第个数可表示为 　　． 41．（22-23七年级上·四川内江·期中）已知a，b，c满足，且b是最小的正整数，数轴上A，B，C各点所对应的数分别为a，b，c，解答下列问题：    (1)填空：a=_____，b=______，c=_____． (2)点M在点A左侧，其对应的数为x，化简（要求说明理由）． (3)点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发以每秒5个单位长度的速度向右运动，这三个点同时出发，设运动时间为t秒，若点P与点Q之间的距离表示为m，点Q与点R之间的距离表示为n，问：的值是否随时间t的变化而变化？ 42．（19-20七年级上·广东深圳·期末）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 43．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210 解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210① 将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211② 由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1 即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1 【运用】仿照此法计算： (1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350； (2) (3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022 完成下列问题： ①小正方形S2022的面积等于 ； ②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和． 44．（23-24七年级上·江西九江·期末）图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 45．（20-21七年级上·重庆·期中）材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数． 根据材料，完成下列问题： （1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________ （2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由． （3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$