专题2.5 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题2.5 圆与圆的位置关系 教学目标 1．能通过圆心距和两圆半径之间的大小关系判断圆与圆的位置关系． 2．理解圆与圆的位置关系和两圆相应的方程所组成的方程组的解的对应关系． 3.体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决代数或几何问题． 教学重难点 1.重点 两圆内切、外切时位置关系的判断和应用． 2.难点 求两圆的公共弦的方法和步骤． 知识点01 圆与圆的位置关系的判断 代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 一元二次方程―→ 几何法：若两圆的半径分别为r1,r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 注：几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距做比较，得到两圆的位置关系；代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题，从而进一步体现几何问题与代数问题之间的相互联系．但这种代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何法那样能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系．因此，在一般情况下使用几何法判定两圆的位置关系问题，只有在特定的情况下才使用代数法，比如，只要求判断两圆是否相交或相切或相离． 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．已知两圆(x－3)2＋(y＋2)2＝a2,(x＋1)2＋(y－1)2＝(a＋1)2(a＞0)，试求当a为何值时，两圆：(1)有唯一公共点？(2)有两个公共点？(3)无公共点？ 知识点02 相交弦及圆系方程 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为 . (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 （3）圆系方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 . 【即学即练】 1.圆和的公共弦所在直线方程为 ． 2.圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 题型01 判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【变式1】圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【变式2】以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【变式3】已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 【变式4】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式5】已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 题型02 利用圆与圆的位置关系求参数范围 【典例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 根据圆与圆的位置关系求参数范围 根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果. 【变式1】若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【变式2】若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】两圆外切，则正实数r的值是（    ） A． B． C． D．5 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式4】若圆与圆外离，过直线上任意一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持，则__________ 【变式5】圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 题型03 相交圆的公共弦方程 【典例1】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【变式1】若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 题型04 相交圆的公共弦长 【典例1】已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 两圆相交时，两圆公共弦长的求法： (1)代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)几何法：根据圆的几何性质，公共弦所在直线与过两圆圆心的直线垂直，求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 【变式1】已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 题型05 两圆公切线条数 【典例1】两圆，的公切线有且仅有 条． 两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． (1) 两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； (2) 两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； (3) 两圆相交时，只有2条外公切线； (4) 两圆内切时，只有1条外公切线； (5) 两圆内含时，无公切线． 由圆与圆的位置关系，可以确定公切线的条数， 由公切线的条数，可以判断圆与圆的位置关系。 【变式1】已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【变式3】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝ ． 题型06 两圆公切线方程 【典例1】写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【变式1】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 题型07 圆与圆的综合性问题 【典例1】已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 【变式1】已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． (1)求四边形面积的最小值； (2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 1．已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． A． B．0 C．2 D．3 2．已知两圆和没有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知圆与圆在交点处的切线互相垂直，则r=（　　）. A．5 B．4 C．3 D．2 4．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 6．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 8．（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 9．（多选）已知圆：，圆：（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．，为圆上的两动点，且，则的最大值为 10．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 11．已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 12．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为 ．（写出1个即可）   13．已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 14．已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 圆与圆的位置关系 教学目标 1．能通过圆心距和两圆半径之间的大小关系判断圆与圆的位置关系． 2．理解圆与圆的位置关系和两圆相应的方程所组成的方程组的解的对应关系． 3.体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决代数或几何问题． 教学重难点 1.重点 两圆内切、外切时位置关系的判断和应用． 2.难点 求两圆的公共弦的方法和步骤． 知识点01 圆与圆的位置关系的判断 代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 一元二次方程―→ 几何法：若两圆的半径分别为r1,r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 r1－r2< d<r1＋r2 d＝r2－r1 d<r2－r1 注：几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距做比较，得到两圆的位置关系；代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题，从而进一步体现几何问题与代数问题之间的相互联系．但这种代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何法那样能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系．因此，在一般情况下使用几何法判定两圆的位置关系问题，只有在特定的情况下才使用代数法，比如，只要求判断两圆是否相交或相切或相离． 【即学即练】 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【解析】由与圆， 可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交. 故选：A. 2．已知两圆(x－3)2＋(y＋2)2＝a2,(x＋1)2＋(y－1)2＝(a＋1)2(a＞0)，试求当a为何值时，两圆：(1)有唯一公共点？(2)有两个公共点？(3)无公共点？ 【答案】(1) a＝2；(2)a＞2；(3)0＜a＜2 【分析】要注意有唯一公共点是指外切和内切两种情况，无公共点指外离和内含两种情况． 【解析】根据题意得两圆的半径分别为r1＝a和r2＝a＋1，两圆的圆心距 d＝＝5. 从而r2－r1＝1. (1) 有唯一公共点时，由d＝r1＋r2，得5＝2a＋1，解得a＝2. (2) 有两个公共点时，由|r1－r2|＜d＜r1＋r2，得5＜2a＋1，解得a＞2. (3) 无公共点时，由d＞r1＋r2，得5＞2a＋1，解得0＜a＜2.　 知识点02 相交弦及圆系方程 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 （3）圆系方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 【即学即练】 1.圆和的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据公共弦直线方程的求解方法求解. 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心距， 所以两圆相交，有公共弦， 由，可得即为公共弦所在直线方程， 故答案为：. 2.圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【解析】法1：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法2：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法3：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 题型01 判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知圆的位置关系. 【解析】由题设，，， ∴，；，， ∴，故两圆相切. 故选：C 【变式1】圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 【变式2】以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【解析】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为： 【变式3】已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 【答案】B 【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案. 【解析】易知直线即过定点，因为，故在圆内. 故弦最短时直线垂直，又，所以，解得， 此时圆的方程是. 两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3 又，所以这两圆外离. 故选：B. 【变式4】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【解析】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. 【变式5】已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 【答案】(1)2；(2)圆与圆外离 【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果. （2）比较两圆心距与即可判断. 【解析】（1）由题可得，解得， 所以圆的一般方程为，则标准方程为， 故圆的半径为2． （2）由（1）可知圆的圆心．半径， 又圆N的圆心，半径， 所以，， 又因为，所以， 所以圆与圆外离 题型02 利用圆与圆的位置关系求参数范围 【典例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 【答案】(1) a＝5时，两圆外切；a＝3时，两圆内切；(2)3<a<5；(3)a>5；(4)0<a<3 【分析】要注意相切是指外切和内切两种情况． 【解析】圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 根据圆与圆的位置关系求参数范围 根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系（几何法），由此可构造方程或不等式求得结果. 【变式1】若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故选：C 【变式2】若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解. 【解析】由得， 两圆圆心之间的距离为＝. ∵两圆有公共点，∴， ∴， 即，∴， 故选：C. 【变式3】两圆外切，则正实数r的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据两圆的位置关系运算求解. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和， 即，解得， 故选：B. 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解. 【解析】设，则， 因为，可得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足， 即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式4】若圆与圆外离，过直线上任意一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持，则__________ 【答案】 【分析】设，由切线长公式得，由此得关于的恒等式，恒等式知识可求得值，从而得结论，注意两圆外离． 【解析】设．∵过直线上任意一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持， ∴， 即， 即， ∴且， ∴或 ∵圆与圆外离， ∴，∴， ∴， 故答案为： 【变式5】圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可. 【解析】圆上总存在两个点到的距离为1， 转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交， 可得，即， 解得或，即a的取值范围是. 故答案为： 题型03 相交圆的公共弦方程 【典例1】已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【解析】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为： 【变式1】若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 【变式2】设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：与联立联立求得，和PC的中点坐标及，可得以PC为直径的圆的方程与圆C的方程相减可得答案． 【解析】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点， 所以 ， 当最小时，四边形PACB的面积取得最小， 此时PC：，即， 联立得所以， PC的中点为，， 以PC为直径的圆的方程为， 即， 与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程． 故选：B． 【变式3】已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可. 【解析】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点， 因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ，因此以为直径的圆的标准方程为： ，而圆：， 得：，即为直线的方程， 由 ，所以直线经过定点， 故选：D 题型04 相交圆的公共弦长 【典例1】已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【解析】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 两圆相交时，两圆公共弦长的求法： (1)代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)几何法：根据圆的几何性质，公共弦所在直线与过两圆圆心的直线垂直，求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 【变式1】已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【解析】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 【变式2】圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线上，再利用几何关系即可求出结果. 【解析】由，得，圆心，半径； 由，得，圆心，半径， 所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，    如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2. 故选：D. 题型05 两圆公切线条数 【典例1】两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【解析】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． (1) 两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； (2) 两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； (3) 两圆相交时，只有2条外公切线； (4) 两圆内切时，只有1条外公切线； (5) 两圆内含时，无公切线． 由圆与圆的位置关系，可以确定公切线的条数， 由公切线的条数，可以判断圆与圆的位置关系。 【变式1】已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【变式2】（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【解析】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 【变式3】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝ ． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆内切即得。 【解析】因为两圆只有一条公切线，所以两圆位置关系为内切， 圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝. 所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1. 题型06 两圆公切线方程 【典例1】写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 【变式1】已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【解析】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【变式2】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解析】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式3】写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 【答案】（，，，任选一个答案均可） 【分析】设切线方程为，由直线与两相切可得①，②，联立求解即可得答案. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为1， 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是，， 故①，②， 联立①②解得或或或， 所以直线方程有4条，分别为或或或． 故答案为：（或或或任选一个答案均可）． 题型07 圆与圆的综合性问题 【典例1】已知圆与圆相切． (1)求圆的半径； (2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)或(2)． 【分析】（1）根据两圆外切或内切进行分类讨论，从而求得. （2）设出直线和直线的方程，求得两点的坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得直线的方程，进而求得点到直线距离的最大值. 【解析】（1）由题易知，圆C的标准方程是． 因为圆与圆相切，所以分两圆外切与内切两种情况讨论． 若圆与圆相外切，则，解得； 若圆与圆相内切， 即圆内切于圆， 则，解得．综上可得，或． （2）由（1）知，若圆与圆相内切，则．由圆，可得． 设，，直线，的斜率分别为，，则直线，． 联立方程整理得， 所以，即．所以． 同理得．由，可得． 将代入，可得点， ， 当时，直线MN的斜率存在，． 所以直线MN的方程为， 即， 化简得．所以直线恒过一定点，该定点为，． 故点P到直线MN的距离小于； 当时，直线MN的斜率不存在， ，或，， 所以直线MN的方程为，点P到直线MN的距离为． 综上所述，点P到直线MN距离的最大值为 【变式1】已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． (1)求四边形面积的最小值； (2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明． 【答案】(1)；(2)过定点，定点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的标准方程，再将四边形面积转化为，从而利用且求得最小值，由此得解； （2）根据题意得四点共圆，进而得四点所在圆的方程，再根据弦是四点所在圆与圆的公共弦求得直线的方程，最后结合直线系方程即可求得定点. 【解析】（1）依题意，设圆的标准方程为：， 圆关于直线对称，， 圆与轴相切：， 点到的距离为：， 圆被直线截得的弦长为，， 所以，， 又，，， 圆的标准方程为：，圆心为，    与圆相切， ，，，易得， 所以， 圆心到直线的距离， ，即（当时取等号）， 又， （当时取等号）， 四边形面积的最小值为. （2）设，如图，与圆相切， ，，∴ ， ∴四点共圆，圆心为，半径为， 所以四点所在圆的方程为，即， 由题知弦是四点所在圆与圆的公共弦， 所以两圆相减，得直线的方程为, 又∵， ∴直线的方程为，即， 所以由直线系方程可知直线的方程过和的交点， 所以联立方程，解得， 所以直线过定点. 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值， （1）由两圆的位置关系求圆C方程； （2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标； ，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程． 【解析】（1）圆，即， 所以圆心为，圆的半径． 由圆与圆相切于点 ， 得，，即 解得或 由直线l：与圆C有公共点，， 所以 所以圆C的方程为. （2）直线l分别与x轴和y轴交点，． ：设点，，则， 由得，， 即，由点P为圆C上的动点得，即 故存在定点，使得． ：由得，，所以， 易知，在圆C外，在圆C内， 所以线段BN与圆C有公共点，即中“”能成立． 所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，取得最小值， 此时，直线PN的方程为，即． 1．已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【解析】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故选：A. 2．已知两圆和没有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据圆心距与半径和、半径差的关系可求实数a的取值范围. 【解析】由已知，得两圆的圆心分别为，，半径分别为1，5， 故圆心距． 因为两圆没有公共点（外离或内含），所以或，解得或或． 故选：A. 3．已知圆与圆在交点处的切线互相垂直，则r=（　　）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】设一个交点为，由两切线互相垂直可得，结合点P在两个圆上，联立方程可解. 【解析】设一个交点为，记，则，， ∴. ∵两切线互相垂直，则，∴，整理得，即. ∴，∴. 故选：B 4．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可. 【解析】圆，即，圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以， 即，解得，即； 故选：A 5．若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点. 【解析】，圆心，半径 由，得，圆心，半径， 圆心距为，，故两圆相交， 直线与圆及圆共有3个公共点， 情形一，与圆在下方相切时，则，得， 情形二，与圆在上方相切时，则，得， 情形三，过两圆的交点时， 两圆相减得，代入圆得：， 则两交点分别为，代入直线， 得，或 则所有符合条件的a的和为. 故选：D 6．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点. 【解析】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC， 则点A、B在以PC为直径的圆上， 又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：， 变形可得：， 则有，联立可得：，变形可得：， 即直线AB的方程为， 变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点. 故选：A． 7．（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 8．（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【解析】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC 9．（多选）已知圆：，圆：（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．，为圆上的两动点，且，则的最大值为 【答案】ABC 【分析】两圆相减就得到公共弦所在的直线的方程, 点代入直线的方程, 即可判断选项,正确; 分析出的中点恰为的中点即可得到选项正确; 设的中点为H , 把求的最大值转化为求的最大值, 即可判断选项D. 【解析】由, 得 , 两圆的方程相减得到直线的方程为, 因为点在直线上, 代入直线的方程, 得, 因此选项正确; 又因为也在直线上, 所以代入直线的方程, 得, 联立，得, 因此选项B正确; 因为两圆半径相等, 所以的中点恰为的中点, 所以成立, 因此选项正确; 设的中点为H , 则 , 当且点与点分布在异侧最大, 最大为 , 则最大值为，而不是， 因此选项D错误. 故选: ABC. 10．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程． 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 设所求圆的半径为，可得或， 解得或，所求圆的方程为或. 故答案为：或 11．已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解. 【解析】由题意得，所以点在圆外， 由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得， 即直线：， 的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为： ， 将代入，得，解得， 即外接圆方程为，即. 故答案为： 12．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为 ．（写出1个即可） 【答案】7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可） 【分析】连接，由题意可知圆与y轴切于点，则可得，所以将的周长的周长转化为，所以只要求出的范围，就可得到的周长的范围，从而可得答案. 【解析】连接， 圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径，则圆与y轴切于点， 因为直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点， 所以， 所以的周长为 ， 由图可知，所以，即， 所以，所以，所以， 所以， 所以的周长的范围为， 所以的周长能取得的整数值为7，或8，或9，或，10，或11， 故答案为：7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）    13．已知圆：，圆：. （1）若两圆相交，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， 【分析】（1）由圆与圆的位置关系求解即可； （2）由点直线的距离结合勾股定理求解即可 【解析】（1）由题意，得，半径，，半径， 因为两圆相交，所以， 所以， 即，解得， 又因为， 所以， 故的取值范围为. （2）两圆的公共弦所在直线方程为， 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离， 又因为， 所以， 解得， 因为，所以. 14．已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值； （3）由（2）得，直线：，画出图形，可知所求圆的圆心，联立直线方程求得圆心坐标，再求出所求圆的半径，则圆的标准方程可求． 【解析】（1）由直线l：，得， 联立解得 ∴直线l恒过一定点． （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM， 化圆C：为，可得， 则， ∴，解得． （3）由（2）得，直线：，即．    如图，过C与直线垂直的直线方程为，即． 联立解得 而C到直线的距离， ∴所求圆的半径为． 故圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$