专题 15.1 轴对称及其性质（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 15.1 轴对称及其性质 目录 一.知识梳理与图形分类精析 1 知识回顾与新知识引入： 1 知识点（一）轴对称图形的定义 2 【题型1】轴对称图形的识别 2 知识点（二）成轴对称的图形识别 4 【题型2】成轴对称图形的识别 4 知识点（三）成轴对称的性质 5 【题型3】利用轴对称特征进行判断 5 【题型4】利用轴对称性质求解 7 【题型5】利用轴对称性质在生产生活中的应用 11 知识点（四）轴对称与折叠问题 13 【题型6】折叠问题 13 二．同步练习 17 【基础巩固（16题）】 17 【能力提升（16题）】 27 【直通中考（5题）】 41 一.知识梳理与图形分类精析 知识回顾与新知识引入： 1.平移定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离,这样的图形运动叫作平移. 2.平移的性质特点： （1）新图形与原图形的形状和大小完全相同； （2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 观察图1上面三幅窗花图案，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花,你能发现它们有什么共同的特点? 图1 由观察我们得出轴对称图形定义： 知识点（一）轴对称图形的定义 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称. 【题型1】轴对称图形的识别 【例题 1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形是沿某直线折叠后直线两旁的部分是互相重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项进行分析判断即可得． 解：A：不是轴对称图形，故该选项不合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式1】 （24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 观察图2两个图形，每一对图形沿着一条直接折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 图2 由观察我们得到： 知识点（二）成轴对称的图形识别 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 【题型2】成轴对称图形的识别 【例题2】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 知识点（三）成轴对称的性质 性质1：成轴对称的两个图形全等； 性质2：成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 图3 如图3，与关于直线对称，则有： （1）；（2）、、所连的线段被垂直平分. 【题型3】利用轴对称特征进行判断 【例题 3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． （1）指出图中的两对对称点； （2）指出图中相等的线段； （3）指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】（1）和和和和（任写两对即可）；（2）；（3）和，和． 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 解：（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 解：A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点在内．用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，如此继续，得到一系列点，，，，，若与重合，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故答案为：6． 【题型4】利用轴对称性质求解 【例题 4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求的度数． 【答案】（1）10；（2） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 解：（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 【变式1】（2024·北京通州·一模）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 【变式2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 【题型5】利用轴对称性质在生产生活中的应用 【例题 5】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，把一张报纸的一角斜折过去，使点落在点处，为折痕，是的平分线，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的定义，根据折叠的性质可知，由是的平分线，可知，根据补角的性质可知，即可得答案． 解：∵把报纸的一角斜折过去，使点A落在E点处，为折痕， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，即， 故选：A 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（    ）． A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据入射光线与反射光线关于法线对称作答即可． 解：如图， ∵入射光线与反射光线关于法线对称， ∴其反射光线为b， 故选：B． 知识点（四）轴对称与折叠问题 折叠是一种常见的轴对称变换，对比轴对称具折叠有以下性质： （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角分别相等；（2）折痕所在的直线是对称轴，垂直平分折叠后重合的对应点连线；（3）折叠不改变图形形状和大小，仅改变位置； 折叠问题本质上就是轴对称问题。 【题型6】折叠问题 【例题 6】（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见分析（2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．由折叠的性质可得，结合得出，计算即可得解． 解：∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由平行线的性质得到由折叠可知求出和即可得到答案． 解：∵ ∴ 由折叠可知 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为： 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 解：图②、③成轴对称． 故选B． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、轴对称的性质：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．先根据三角形的内角和定理求得，再根据反射角等于入射角得到，进而可得答案． 解：由题意，，， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）将长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，折叠后，、B三点在同一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是翻折的性质，掌握翻折前后的对应角相等是解此题的关键.由题意知，根据翻折得， ，继而求出，由此得到的度数． 解：由题意得： ， ∵， ∴， 即的度数等于 故选：C 6．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 二、填空题 7．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，，，与关于直线对称，则 ．    【答案】100°/100度 【分析】先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 解：因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，筝形的对称性，解决本题的关键是判断出．用直接判断出，逐个分析选项，即可得出结论． 解：在和中，， ， ，，， 平分． 筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线所在直线， 与不一定相等， ①③正确， 故答案为：①③． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 11．（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 12．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将一张长方形纸片如图（1）折叠，使边落在边上，折痕为，如图（2）：再将折叠，使点A与点B重合，折痕为，如图（3）．如果，那么长方形原来的长 cm． 【答案】10 【分析】此题考查了折叠的性质以及矩形的性质，掌握折叠的性质是关键． 根据线段的和差以及线段中点的性质即可求解． 解： 由图可知，， ∴， 故答案为：10． 三、解答题 13．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求． 解：如图所示，作点P关于直线的对称点，连接交于M，则点M即为所求； 由轴对称的性质可得， 则， 故当三点共线时，有最小值，即此时最小，则的周长最小． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 解：如图所示： 16．（24-25七年级下·全国·期末）如图1，将一条长方形纸带沿折叠，设度． （1）若，则 度； （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含x的代数式表示） 【答案】（1）25；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由折叠的性质结合平行线的性质即可得解； （2）设与相交于点，先求出，再由折叠的性质结合平行线的性质得出，，再由平行线的性质得出，由折叠的性质可得：，即可得解． 解：（1）解：由题意可得， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故答案为：25； （2）解：设与相交于点， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 故答案为：． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，再根据即可得出答案． 解：连接，    ∵D点分别以、为对称轴，对称点E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2021·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 解：如图， ∵A，P关于BD对称， ∴∠AQB=∠PQB， ∵∠PCB＞∠PQB， ∴∠PCB＞∠AQB， 故选：C． 【点拨】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，由折叠可得，进而由三角形的外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，连接，标注交点，根据轴对称的性质可得∴共线，，，，，再进一步求解即可. 解：如图，连接，标注交点， ∵直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称， ∴共线，，，，， ∴， 故答案为： 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 解：∵，， ∴， ∵将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点关于、的对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为 厘米． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 解：根据题意点P关于、的对称点分别为、D， 故有，； 则． 故答案为． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． （1）若的周长为22，的周长为8，求的长． （2）若，，求∠CDE的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 解：（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①；②见分析；③见分析；（2）①见分析；②见分析． 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）①用正方形面积减去三个小三角形的面积即可得的面积； ②利用平移的性质，找出平移后的对应点，顺次连接即可； ③利用网格，找出点关于的对称点，连接并延长交于点，根据轴对称的性质即可得答案； （2）①依据对应点连线被对称轴垂直平分，作的垂直平分线来确定对称轴即可； ②连接，交于点，延长、交于点，作直线即可得答案． 解：（1）①． 故答案为： ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 15．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 【答案】（1）角平分线，；（2）相等，理由见分析；（3）． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据折叠的性质作答即可； （2）设与交于点G，由折叠的性质可知，即，得到，进而得到，即可证明； （3）由三角形内角和得到，再根据三角形外角的性质作答即可． 解：（1）解：∵折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕， ∴，即是的角平分线； ∵折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上， ∴， 故答案为：角平分线，； （2）相等，理由如下： 如图，设与交于点G， ∵过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 【直通中考（5题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2．（2025·四川泸州·中考真题）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2021·四川绵阳·中考真题）下列图形中，轴对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可． 解：第一个图形不是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形是轴对称图形；第四个图形不是轴对称图形； 故选B． 【点拨】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 5．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 15.1 轴对称及其性质 目录 一.知识梳理与图形分类精析 1 知识回顾与新知识引入： 1 知识点（一）轴对称图形的定义 2 【题型1】轴对称图形的识别 2 知识点（二）成轴对称的图形识别 3 【题型2】成轴对称图形的识别 3 知识点（三）成轴对称的性质 3 【题型3】利用轴对称特征进行判断 4 【题型4】利用轴对称性质求解 5 【题型5】利用轴对称性质在生产生活中的应用 6 知识点（四）轴对称与折叠问题 7 【题型6】折叠问题 7 二．同步练习 8 【基础巩固（16题）】 8 【能力提升（16题）】 12 【直通中考（5题）】 17 一.知识梳理与图形分类精析 知识回顾与新知识引入： 1.平移定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离,这样的图形运动叫作平移. 2.平移的性质特点： （1）新图形与原图形的形状和大小完全相同； （2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 观察图1上面三幅窗花图案，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花,你能发现它们有什么共同的特点? 图1 由观察我们得出轴对称图形定义： 知识点（一）轴对称图形的定义 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称. 【题型1】轴对称图形的识别 【例题 1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 （24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 观察图2中两个图形，每一对图形沿着一条直接折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 图2 由观察我们得到： 知识点（二）成轴对称的图形识别 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 【题型2】成轴对称图形的识别 【例题2】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 知识点（三）成轴对称的性质 性质1：成轴对称的两个图形全等； 性质2：成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 图3 如图3，与关于直线对称，则有： （1）；（2）、、所连的线段被垂直平分. 【题型3】利用轴对称特征进行判断 【例题 3】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． （1）指出图中的两对对称点； （2）指出图中相等的线段； （3）指出图中其他关于直线对称的三角形． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点在内．用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，如此继续，得到一系列点，，，，，若与重合，则的最小值为 ． 【题型4】利用轴对称性质求解 【例题 4】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求的度数． 【变式1】（2024·北京通州·一模）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【题型5】利用轴对称性质在生产生活中的应用 【例题 5】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，把一张报纸的一角斜折过去，使点落在点处，为折痕，是的平分线，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（    ）． A．a B．b C．c D．d 知识点（四）轴对称与折叠问题 折叠是一种常见的轴对称变换，对比轴对称具折叠有以下性质： （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角分别相等；（2）折痕所在的直线是对称轴，垂直平分折叠后重合的对应点连线；（3）折叠不改变图形形状和大小，仅改变位置； 折叠问题本质上就是轴对称问题。 【题型6】折叠问题 【例题 6】（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，使得点D，C分别落在、的位置上，与的交点为G，，则的度数为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）将长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，折叠后，、B三点在同一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 7．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，，，与关于直线对称，则 ．    8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 11．（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    12．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，将一张长方形纸片如图（1）折叠，使边落在边上，折痕为，如图（2）：再将折叠，使点A与点B重合，折痕为，如图（3）．如果，那么长方形原来的长 cm． 三、解答题 13．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，定点P在的内部，定点N在边上，请在上找一点M，连接，，使得的周长最小． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 16．（24-25七年级下·全国·期末）如图1，将一条长方形纸带沿折叠，设度． （1）若，则 度； （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含x的代数式表示） 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2021·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，则的长为 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点关于、的对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为 厘米． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． （1）若的周长为22，的周长为8，求的长． （2）若，，求∠CDE的度数． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 15．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 16．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【直通中考（5题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·四川绵阳·中考真题）下列图形中，轴对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 二、填空题 5．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$