专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用代数式表示数的规律 类型二、用代数式表示图形的规律 类型三、已知字母的值，求代数式的值 类型四、已知式子的值，求代数式的值 类型五、程序流程图与代数式求值 压轴专练 类型一、用代数式表示数的规律 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 例1．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【变式1-1】观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【变式1-2】观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【变式1-3】如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 类型二、用代数式表示图形的规律 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 例2．如图，小雅在数学活动课上用长方形设计了一组有规律的图形，已知图1有8个白色长方形，图2有12个白色长方形，图3有16个白色长方形，…，按照这一规律，第n个图中有 个白色长方形．（用含n的代数式表示） 【变式2-1】石家庄近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（右图），则第个图中原子的个数为 ．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式左图所示） 【变式2-2】如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 【变式2-3】探究题． 用棋子摆成的“T”字形图如图所示： (1)填写下表： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 … (2)写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）； (3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？ (4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？） 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 11 14 … 32 类型三、已知字母的值，求代数式的值 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 例3．运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 【变式3-1】求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【变式3-2】已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 【变式3-3】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 类型四、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 例4．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【变式4-1】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【变式4-2】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【变式4-3】在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 类型五、程序流程图与代数式求值 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 一、单选题 1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 2．若，则的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D． 3．下列表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子（    ） A． B． C． D． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A．2272 B．1136 C．568 D．284 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 8．若代数式的值为6，那么代数式：的值等于 ． 9．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 10．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 11．如图1所示，在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，图2所示的是用“列竖式”计算某个两位数的部分过程，这个两位数的个位数字是，则这个两位数为 ．（用含的代数式表示） 12．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 三、解答题 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，． (1)写出，，m的值； (2)求的值． 14．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 15．下图是一个数值转换机的示意图，写出计算过程并填写下表．    (1)请用x、y写出数值转换机的运算过程的代数式． (2)请按要求计算并填空 x －1 0 1 2 y 1 －0.5 0 0.5 输出 x 0 1 2 y 1 0 输出 1 16．自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 与的差的平方 ，两数的平方和与，两数积的2倍的差 ， 9 9 ， 4 4 ， 0 0 17．将连续奇数1，3，5，7，9………排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数字之和与中间数有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请你用代数式表示其它四个数，并写出十字框的五个数之和． (3)设中间数为a，十字框中的五个数之和能等于吗？说明理由． 18．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ______； (2)已知，，则 ； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 19．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … ______ 白色方块的个数 4 ______ ______ … ______ (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？ (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示） 20．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：    第（1）个图形中有2张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）； (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用代数式表示数的规律 类型二、用代数式表示图形的规律 类型三、已知字母的值，求代数式的值 类型四、已知式子的值，求代数式的值 类型五、程序流程图与代数式求值 压轴专练 类型一、用代数式表示数的规律 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 例1．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 【变式1-1】观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【答案】 或 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 【变式1-2】观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)256； (2)第①行第n个数为；第②行第n个数为；第③行第n个数为； (3)1． 【分析】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为负，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第2024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； 故答案为：256； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，， ． 【变式1-3】如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）利用（1）中结论进行简便运算． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 类型二、用代数式表示图形的规律 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 例2．如图，小雅在数学活动课上用长方形设计了一组有规律的图形，已知图1有8个白色长方形，图2有12个白色长方形，图3有16个白色长方形，…，按照这一规律，第n个图中有 个白色长方形．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，看图可得，后一个图中的白色长方形的个数比前一个图中的白色长方形的个数多4个，由此可得第n个图中白色长方形的个数． 【详解】解：由题意可知， 图1中白色长方形有8个，即； 图2中白色长方形有12个，即； 图3中白色长方形有16个，即； …， 按照此规律，第n个图中白色长方形的个数为个． 【变式2-1】石家庄近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（右图），则第个图中原子的个数为 ．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式左图所示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数依次增加6是解题的关键． 根据所给结构简式，发现原子个数的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知， 图1的分子中含原子的个数为：； 图2的分子中含原子的个数为：； 图3的分子中含原子的个数为：； ， 所以图的分子中含原子的个数为：． 故答案为：． 【变式2-2】如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)求当时，拼得的正方形的个数； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)57 【分析】此题考查了图形规律，解题的关键是根据图形特点，进行规律归纳． （）先从前面几个具体的图形数量发现并得出具有相同规律的代数式，再总结归纳即可； （2）把代入中求解即可 （）根据题意可得，解之即可； 【详解】（1）解：解：由块地砖有个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， 块地砖拼得个正方形， ， 照此规律拼下去块地砖拼得的正方形的个数为个正方形， 故答案为：； （2）解：当时，，即此时正方形的个数为个； （3）解：由题意可知：， 解得：， ∴m的值为57． 【变式2-3】探究题． 用棋子摆成的“T”字形图如图所示： (1)填写下表： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 … (2)写出第n个“T”字形图案中棋子的个数（用含n的代数式表示）； (3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？ (4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数．（提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？） 【答案】(1)见解析 (2) (3)62个 (4)670个 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，求代数式的值： （1）每个图案中棋子个数比前一个图案多3个，由此可解； （2）根据（1）中发现的规律列代数式； （3）将代入（2）中结论即可求解； （4）第1个图案与第20个图案共有67个棋子；第2个图案与第19个图案共有67个棋子；以此类推，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩ 每个图案中棋子个数 5 8 11 14 … 32 （2）解：第1个图形中棋子个数为5，， 第2个图形中棋子个数为8，， 第3个图形中棋子个数为11，， …… 因此第n个“T”字形图案中棋子的个数为：． （3）解：当时，， 即第20个“T”字形图案共有棋子62个； （4）解：第1个图案与第20个图案中共有棋子：（个）， 第2个图案与第19个图案中共有棋子：（个）， 第3个图案与第18个图案中共有棋子：（个）， …… 以此类推，前20个图案中共有10组，每组67个， 故前20个“T“字形图形案中棋子的总数为：（个）． 类型三、已知字母的值，求代数式的值 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 例3．运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1)64 (2)64 【分析】（1）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； （2）把，代入，然后按照有理数混合运算法则进行计算即可； 本题考查了代数式的求值，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，． （2）解：当，时，． 【变式3-1】求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当， ． 【变式3-2】已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)x的值为，y的值为 (2)10或6 【分析】本题考查了绝对值，代数式，有理数的加减，做题的关键是掌握绝对值的定义． （1）利用绝对值的定义计算即可； （2）根据题意确定x、y的值，代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 答：x的值为，y的值为． （2）∵， ∴，， ∴， 或， ∴或6． 【变式3-3】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握有理数的基础知识是解题的关键； （1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义求解即可； （2）由x的绝对值是2可得，然后把，代入所求式子解答即可． 【详解】（1）解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， 所以，，， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以． 类型四、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 例4．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； （2）由已知条件可得，然后将原式代入已知数值计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； 掌握整体思想和整式的加减运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式4-1】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)51 (3)32 【分析】本题考查了整体代换思想在代数式求值中的应用，涉及等式变形、代数式化简等知识．解题的关键是将所求代数式转化为含已知等式的形式，通过整体代入简化计算． （1）由已知等式求出的值，直接代入所求式． （2）提取公因式将代数式转化为含的形式，代入求值． （3）通过等式变形，将所求式用已知等式表示，消去未知项计算结果． 【详解】（1）解：由，移项得． 将代入，得： 故答案为：2026； （2）解：已知，对代数式化简： 代入，得：； （3）解：已知 ①，②． 对①式变形得：③；对②式变形得：④ 将③④代入 ． 【变式4-2】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （）把所求代数式的后两项先变形为，再把代入进行计算即可； （）把所求代数式先变形为，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 【变式4-3】在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2024 (2)10 (3)5 【分析】本题考查了求代数式的值，理解题意，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）将整体代入计算即可得解； （2）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：，， ． 类型五、程序流程图与代数式求值 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是掌握代数式求值的方法． （1）观察运算程序图可知乘以，再加上4，由此列出代数式即可； （2）将代入（1）中所列代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由运算程序图可知输出的结果为：， 故答案为：； （2）解：当时， ． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 一、单选题 1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，把，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．若，则的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．将整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．下列表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据题意用乘以十位上的数加上个位上的数，即可求解． 【详解】解：表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子为， 故选：D． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，即为，，，， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：C． 6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A．2272 B．1136 C．568 D．284 【答案】C 【分析】本题考查了整式的变化规律，根据题意得出n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少，进而得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 三角形数， 正方形数， 五边形数， 六边形数， 观察可知，n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查偶次方、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，理解绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 先根据非负数的性质求得、，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．若代数式的值为6，那么代数式：的值等于 ． 【答案】61 【分析】本题考查代数式求值，先求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为6， ∴，则， ∴， 故答案为：61． 9．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，分别根据正负，分子分母的规律得出第个数的规律，即可求解． 【详解】解：观察数字规律，是一负，一正，一负，一正，所以用表示符合； 再观察分母是，，，，是奇数，所以用表示奇数； 最后观察分子是，，，，，后一个是前一个的倍，用表示第个， 所以第个数是． 故答案为：． 10．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了代数式求值，根据运算程序，先列出代数式，将n的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴令， ∴， ∴输出结果30， 故答案为：30． 11．如图1所示，在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，图2所示的是用“列竖式”计算某个两位数的部分过程，这个两位数的个位数字是，则这个两位数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 观察图1可知∶第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补；第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解设这个两位数的十位数字为b，根据图2，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用a表示出b，然后写出结果． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为b，两位数为， 由题意得，，解得， 所以，这个两位数是． 故答案为：． 12．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 三、解答题 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，． (1)写出，，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】此题考查了相反数、绝对值、倒数等概念和求代数式的值． （1）根据相反数、绝对值、倒数等概念得到，，； （2）把（1）中的结果分别整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，， ∴，， （2）由（1）得： 当时， 当时，． 14．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2)1437 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为， ∴； （2）解：当，，，，取3时， ， ∴阴影部分的面积是1437． 15．下图是一个数值转换机的示意图，写出计算过程并填写下表．    (1)请用x、y写出数值转换机的运算过程的代数式． (2)请按要求计算并填空 x －1 0 1 2 y 1 －0.5 0 0.5 输出 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值与程序流程图； （1）根据数值转换机的运算过程即可写出代数式； （2）根据（1）写出的代数式，直接代入即可求得代数式的各值，并填入表格． 【详解】（1）解：由数值转换机的运算知：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 y 1 0 输出 1 16．自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) (4)1 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）①a与b的差是，则差的平方就是；②a与b的平方和是，a，b两数积的2倍是，再作差即可表示； （2）分别将，，，，，代入（1）所得的代数式即可求值填表； （3）根据（2）计算的结果，比较两个式子的大小即可得规律； （4）根据（3）中发现的结论进行计算即可得． 【详解】（1）解：①；②； （2）解：当，时，，； 当，时，， 当，时，， 完成下列表格如下： 与的差的平方 ，两数的平方和与，两数积的2倍的差 ， 9 9 ， 4 4 ， 0 0 （3）解：根据（2）中表格发现：； （4）解： ． 17．将连续奇数1，3，5，7，9………排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数字之和与中间数有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请你用代数式表示其它四个数，并写出十字框的五个数之和． (3)设中间数为a，十字框中的五个数之和能等于吗？说明理由． 【答案】(1)五个数字之和是中间数的5倍 (2)四个数分别为：；和为 (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意发现规律求解． （1）求出数表十字框中的五个数的和即可判断； （2）观察数表中的数可知，上下两数之间相差10，左右两数之间相差2，由中间的数为a，得到其他的数，故可求解； （3）由五个数的和为，得到a的值，再根据其特点进行判断． 【详解】（1）观察数表十字框中的五个数发现， 五个数的和为：． ， 所以十字框中的五个数字之和是中间数15的5倍． （2）观察数表中的数可知， 上下两数之间相差10，左右两数之间相差2， 又因为中间的数为a， 则其它四个数分别为：； 这五个数的和为：． （3）十字框中的五个数之和不能等于2005． 由题知， ， 解得． 又因为401是数表中的最左边一列数， 则其左边没有数了， 所以十字框中的五个数之和不能等于2005． 18．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ______； (2)已知，，则 ； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)17 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是关键． （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵，， ∴； 故答案为：17； （3）解：∵当时，代数式的值为8， ∴， ∴， ∴当时，． 19．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … ______ 白色方块的个数 4 ______ ______ … ______ (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？ (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示） 【答案】(1)，7，10， (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个 (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键． （1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出各个数据即可； （2）根据（1）中的规律，分别算出第100个图形中的灰色方块数和第102个图形中的白色方块数，再相加即可； （3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数和第个图形中的白色方块数，再相减即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第2个图形中白色方块数为（个）， 第3个图形中白色方块数为（个）， 第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个， 故答案为：，7，10，； （2）解：第100个图形中的灰色方块有（个）， 第102个图形中的白色方块有（个）． （个）． 答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个； （3）解：第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有（个）， （个）． 答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个． 20．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：    第（1）个图形中有2张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）； (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：． 【答案】(1)42 (2)； 【分析】（1）从已知入手，找到数据和个数之间的关系． （2）通过多个情况，找到规律． 【详解】（1）解：第（6）个图形中有， 故答案为： 42； （2）解：， ， 故答案为： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是图形的规律探索问题，掌握数据与个数之间的关系是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$