专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式的加减实际应用问题 类型二、单项式的规律探究问题 类型三、整式中的数字类规律探究问题 类型四、整式中的图形类规律探究问题 类型五、整式加减中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式的加减实际应用问题 1.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的实际意义，建立数学模型。 2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或比较大小等问题。 3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的合理性。 例1．某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题． 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量 5 4 (1)装运水泥的货车为_______辆？（用含的式子m表示） (2)50辆货车共装运了多少吨原材料？（用含的式子m表示） (3)装运这批原材料的总费用为多少元？（用含的式子m表示） (4)当时，求此次运输原材料所需的总费用． 【变式1-1】某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【变式1-2】【思考尝试】很多田径场是由一个长方形和两个半圆组成，记长方形的长为a，宽为b（如图所示），小明学校田径场也是这种形状的，且，，则第一跑道长为__________m． 【理解应用】小明通过查阅资料发现，正规径赛，都是在一个标准田径场的跑道上进行的．已知标准田径场中，，，共有8个跑道，每条跑道宽，求标准田径场中第5跑道的长． 【能力提升】实际上，并不是每所学校都有标准的田径场．比如小明所在的学校，由于场地的限制，每条跑道的宽度只能为．求小明学校进行项目跑步比赛时，相邻两条跑道的起跑线间的距离要为多少？ （注：本题，结果保留一位小数，跑道长指当个跑道内侧白线的长） 【变式1-3】某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段 （以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度． ①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 类型二、单项式的规律探究问题 1.系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化（等差、等比或乘方关系），归纳系数与序号的代数式关系。 2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明确指数变化的周期性或递推性。 3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号n的代数式表示第n个单项式，代入特殊值验证规律的一致性，确保表达式准确。 例2．按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【变式2-1】按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【变式2-2】一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【变式2-3】观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 类型三、整式中的数字类规律探究问题 1. 数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。 2. 整式表达构建：用字母n（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含n的整式（如一次式、二次式），体现数字随序号的变化规律。 3. 规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊到一般的归纳能力。 例3．观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【变式3-1】试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【变式3-2】观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【变式3-3】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应关系，明确量化对象的实际意义。 2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号n的关联，提炼出含n的整式表达式。 3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普遍性和准确性。 例4．下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【变式4-1】找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【变式4-2】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … 【变式4-3】【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 类型五、整式加减中的新定义型问题 1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确符号、字母的含义及适用范围。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等法则化简计算。 3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能力。 例5．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【变式5-1】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【变式5-2】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；        ②与； ③与；    ④与． (2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 【变式5-3】［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 一、单选题 1．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 2．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 3．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 4．观察下面图形找规律． 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 … 按照上面的画法，如果要得到个直角三角形，需要画（   ）个正方形． A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 6．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 7．如图，将一个等边三角形纸片剪成四个完全相同的小等边三角形后，再将其中的一个小等边三角形按同样的方法剪成四个更小的等边三角形，……，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 等边三角形个数 4 7 10 13 … a 若，则 ． 8．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 三、解答题 9．如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 10．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 11．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有__________颗黑色棋子； (2)用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； (3)求第230个图中黑色棋子的颗数． 13．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 14．将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 15．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 16．如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 17．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 18．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式的加减实际应用问题 类型二、单项式的规律探究问题 类型三、整式中的数字类规律探究问题 类型四、整式中的图形类规律探究问题 类型五、整式加减中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式的加减实际应用问题 1.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的实际意义，建立数学模型。 2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或比较大小等问题。 3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的合理性。 例1．某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题． 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆汽车运载量 5 4 (1)装运水泥的货车为_______辆？（用含的式子m表示） (2)50辆货车共装运了多少吨原材料？（用含的式子m表示） (3)装运这批原材料的总费用为多少元？（用含的式子m表示） (4)当时，求此次运输原材料所需的总费用． 【答案】(1) (2) (3) (4)24200元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，整式的加减运算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，即可列出代数式； （2）根据“每辆汽车沙子的运载量装运沙子货车的数量每辆汽车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可； （3）根据“每吨沙子所需运费每辆汽车沙子的运载量装运沙子货车的数量每吨水泥所需运费每辆汽车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可； （4）将代入（3）中得到的代数式并计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，装运水泥的货车为辆， 故答案为：； （2）解：（吨． 所以50辆货车共装运了吨原材料； （3）解：（元． 所以装运这批原材料的总费用为元； （4）解：当时， （元． 答：此次运输原材料所需的总费用为24200元． 【变式1-1】某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)470；160或200 (2)第一天购物王老师实际付款为元，第二天购物王老师实际付款元，当元时，王老师两天一共节省元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据购物超过500元的优惠办法计算即可得；设王老师实际付款160元，分两种情况：少于200元和低于500元但不低于200元，根据优惠办法求解即可得； （2）先求出第二天购物的原价为元，再根据优惠办法列式，计算整式的加减，然后将代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：王老师一次性购物600元，他实际付款为：元)； 若王老师实际付款160元，有两种可能： 一是一次性购物元，没有优惠； 二是一次性购物不少于200元时，则有八折优惠，实际付款元， 则王老师一次性购物原价为 （元）． 所以，王老师一次性购物可能是或元． 故答案为：；或； （2）因为第一天购物原价为a元， 则第二天购物原价为元，易知：， 第一天购物优惠后实际付款 元)， 第二天购物优惠后实际付款： 元， 王老师两天一共付款 元， 当元时， 实际一共付款：（元）， 一共节省（元）． 【变式1-2】【思考尝试】很多田径场是由一个长方形和两个半圆组成，记长方形的长为a，宽为b（如图所示），小明学校田径场也是这种形状的，且，，则第一跑道长为__________m． 【理解应用】小明通过查阅资料发现，正规径赛，都是在一个标准田径场的跑道上进行的．已知标准田径场中，，，共有8个跑道，每条跑道宽，求标准田径场中第5跑道的长． 【能力提升】实际上，并不是每所学校都有标准的田径场．比如小明所在的学校，由于场地的限制，每条跑道的宽度只能为．求小明学校进行项目跑步比赛时，相邻两条跑道的起跑线间的距离要为多少？ （注：本题，结果保留一位小数，跑道长指当个跑道内侧白线的长） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算，正确理解题意是解题关键. （1）由两条直道的长加上圆的周长即可； （2）先计算第五跑道所在圆的直径，再由两条直道的长加上圆的周长即可； （3）由（1）可得小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈，结合第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：，再列式计算即可. 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）第5跑道的直径为：， 第五跑道长为：． （3）小明学校的跑道标准是，所以要跑2圈， 第n跑道的直径为：，第跑道的直径为：， 第n跑道的长为：，第跑道的长为：， 相邻两条跑道的起跑线距离为：． 【变式1-3】某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段 （以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度． ①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 【答案】(1)①；②节约电费元 (2)小安家要开通峰谷 【分析】本题考查列代数式，有理数的混合运算，整式加减的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出开通峰谷全年可节省的钱数． （1）①利用“需缴交电费超过度的部分”即可求出结论； ②利用“节省的钱数低谷时段的用电量高峰时段的用电量”即可求出结论； （2）观察方式一及方式二数据间的关系，可得出“高峰时段：每度电在各档电价基础上加价元，低谷时段：每度电在各占电价基础上降低元”，利用“开通峰谷时多出的全年电费高峰时段全年的用电量低谷时段全年的用电量”可求出开通峰谷时多出的全年电费，由，可得出，进而可得出开通峰谷全年可节省元，由此可作出判断； 【详解】（1）解：①根据题意得： （元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费元， 故答案为：； ②根据题意得： （元）， ∴小明家月份能节约元电费； （2）小安家要开通峰谷． 理由： （元）， ∵， ∴， ∴开通峰谷全年可节省元， ∴小安家要开通峰谷． 类型二、单项式的规律探究问题 1.系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化（等差、等比或乘方关系），归纳系数与序号的代数式关系。 2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明确指数变化的周期性或递推性。 3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号n的代数式表示第n个单项式，代入特殊值验证规律的一致性，确保表达式准确。 例2．按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：， 当时，单项式为， 故答案为：． 【变式2-1】按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第10个数即可． 【详解】解：观察可得：第个单项式为：， ∴第10个数是； 故答案为：． 【变式2-2】一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【答案】 【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第偶数个式子为正；分母为，分子为，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，、……， 第n个式子是， ∴第6个式子是， 故答案为：；． 【变式2-3】观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【知识点】单项式的系数、次数、单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2023， ∴ ， 次数为． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 1. 数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。 2. 整式表达构建：用字母n（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含n的整式（如一次式、二次式），体现数字随序号的变化规律。 3. 规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊到一般的归纳能力。 例3．观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力． （1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解； （2）第n个式子左边为：，右边为：； （3）利用所得规律即可“裂项”求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解：第n个式子为： 故答案为：； （3）解：原式 ． ． 【变式3-1】试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了代数式的求值，从而发现规律是解决此题的关键． （1）把，分别代入与计算即可； （2）把，分别代入与计算即可； （3）由（1）（2）总结可得，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：； 当时，． 【变式3-2】观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，探索规律，能够通过所给的式子找到规律是解题的关键． （1）利用题干中等式的特征解答即可； （2）根据题目中给出的已知等式得出规律，写出等式最左边的数为a时的等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； ； ； ； ； …… ． 【变式3-3】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应关系，明确量化对象的实际意义。 2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号n的关联，提炼出含n的整式表达式。 3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普遍性和准确性。 例4．下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)23，48 (2)， 【分析】本题主要考查了根据图示寻找规律，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）依次数出，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长； （2）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长． 【详解】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即， 时，正方形有13个，即，周长是28，即， 时，正方形有18个，即，周长是38，即， 时，正方形有23个，即，周长是48，即． （2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是． 【变式4-1】找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【答案】(1) (2)①；②共可坐112人 【分析】本题主要考查数字规律的运算，理解表格信息，图示信息，找出数量关系，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数，由此即可求解； （2）根据题意，把代入，可得5张桌子拼在一起可以坐的人数，再计算8大张桌子的人数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数， ∴输入时，输出的结果为， ∴当输入时，输出的结果为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，2张桌子拼在一起可以坐8人，3张桌子拼在一起可以坐10人， ∴张桌子拼在一起可以坐：人， 故答案为：； ②当时，即5张桌子拼在一起时可以坐（人）， ∴8张大桌子可以坐（人）， ∴共可以坐112人． 【变式4-2】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【答案】①见解析；②57；③ 【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键． ①根据已知图形数出黑点个数是解题关键； ②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解； ③根据②作答即可． 【详解】解：①由图形可知，时，；，， 填表如下： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … ②由题意可知，图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：； 图3黑点的个数是：； … 观察可知，图n黑点的个数是：， 即时，， 故答案为：57； ③由②可知，n与y之间的关系为． 【变式4-3】【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 类型五、整式加减中的新定义型问题 1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确符号、字母的含义及适用范围。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等法则化简计算。 3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能力。 例5．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 【变式5-1】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 【变式5-2】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；        ②与； ③与；    ④与． (2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 【答案】(1)②③④ (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解即可． 【详解】（1），不是常数， ①组多项式不是互为“对消多项式”； ，是常数， ②组多项式是互为“对消多项式”； ，是常数， ③组多项式是互为“对消多项式”， ，是常数， ④组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：②③④ （2） ， ， 与（m，n为常数）互为“对消多项式”， ，，为常数， 解得：，， ， 它们的“对消数”为3； 【变式5-3】［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)8 【分析】本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）读懂题意，利用新定义计算并判断； （2）利用新定义列等式求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 故不是； （2）解：由题意得，， 则， 解得：， ∴ 一、单选题 1．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项找出循环规律是解题的关键．根据差倒数的定义依次求出前几项，找出循环规律，再根据循环周期计算的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴该数列以，，依次循环． ∵， ∴． 故选：A． 2．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为偶数，则或 解得或 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故选：A． 3．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算解决图形问题，读懂题意，数形结合，准确表示阴影部分长方形的长与宽是解决问题的关键．设小长方形卡片长为、宽为，数形结合分别表示出图中左上角和右下角长方形周长，再由整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形卡片长为、宽为， 则由题意可得左上角阴影部分周长为； 右下角阴影部分周长为； 综上所述，图②中两块阴影都分的周长和是， 故选：D． 4．观察下面图形找规律． 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 … 按照上面的画法，如果要得到个直角三角形，需要画（   ）个正方形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探索，解题的关键是由图形的变化规律，把图形中的有关数量关系列式表达出来．根据题意可知，1个正方形由0个直角三角形，2个正方形由4个直角三角形，3个正方形由个直角三角形，4个正方形由个直角三角形，……，据此可知，个正方形有个直角三角形，据此即可解答． 【详解】根据题意可知，个正方形有个直角三角形， ， ， ， ， ， 如果要得到个直角三角形，需要画个正方形． 故选B． 二、填空题 5．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴． 故答案为：2 6．定义一种新运算：对于任意有理数、，都有，例如：． 化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意根据新的定义计算，掌握相应的运算法则和运算顺序． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．如图，将一个等边三角形纸片剪成四个完全相同的小等边三角形后，再将其中的一个小等边三角形按同样的方法剪成四个更小的等边三角形，……，如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 1 2 3 4 … n 等边三角形个数 4 7 10 13 … a 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查探究规律.根据表格中的数据，不难发现：多剪一次，多个三角形．进而可以得到与的关系式，再将代入关系式计算即可得出答案． 【详解】解：（）由题图可知，未开始时，有一个等边三角形，以后每剪一次就多出三个， 所以总的等边三角形的个数为， 令， 所以， 故答案为：． 8．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……依此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次及是第507个大括号内的第一个数是解题的关键．根据题意，先求出在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，为， 则，，，， 所以为， 依此类推，为， 为， …， 所以大括号内的数字，每三组循环一次． 因为， 所以是第507个大括号内的第一个数， 又因为， 所以， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为．    (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 【答案】(1)； (2)阴影部分的周长为，长方形的周长为 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）根据题意列式求出阴影部分的周长与长方形的周长即可． 【详解】（1）解：；； （2）阴影部分的周长． 长方形的周长， 10．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 【答案】(1)，的次数为2，项数为3 (2) 【分析】此题考查了新定义下整式的加减−化简求值及整式的相关概念，熟练掌握运算法则及定义是解本题的关键． （1）根据新定义列式计算，再根据多项式的次数和项数回答即可； （2）根据题意列式，将式子的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ． 的次数为2，项数为3． （2）解：因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以， 所以（1）中原式 ． 11．观察下列式子的变形规律： ，，． (1)类比思考：__________； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么__________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， 故答案为： （3）解： ． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有__________颗黑色棋子； (2)用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； (3)求第230个图中黑色棋子的颗数． 【答案】(1)15 (2) (3)693颗 【分析】本题考查了图形规律问题，涉及了列代数式、代数式求值，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）将代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中有6颗黑色棋子， 图2中有9颗黑色棋子， 图3中有12颗黑色棋子， 图4中有15颗黑色棋子， 故答案为：15； （2）解：依题意，第1个图中黑色棋子的颗数是， 第2个图中黑色棋子的颗数是， 第3个图中黑色棋子的颗数是， ……， 所以第个图中黑色棋子的颗数是； （3）解：当时， ， 图230中黑色棋子的颗数是693颗． 13．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 14．将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，见解析，常数的值为6 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 15．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】任务一、按方案B购买较为划算，计算见解析； 任务二、方案A：元，方案B：元； 任务三、先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 任务一、根据方案A：足球和跳绳都按定价的折付款即可；方案B：买一个足球送一根跳绳先计算出买60个足球所需要的钱数再加上30根跳绳的钱数即可； 任务二、方案A足球和跳绳都打九折列代数式，方案B买60个足球赠60根跳绳，所以用买60个足球的钱数加上买剩余的跳绳的钱数列代数式即可； 任务三、先按方案B购买足球60个送根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，然后计算费用即可． 【详解】解：任务一 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴按方案B购买较为划算； 任务二 方案A：（元）， 方案B：（元）； 任务三 先按B方案购买足球60个送60根跳绳，再按A方案购买30根跳绳最省钱．需付款（元）， 答：先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元． 16．如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学说：“设，用x依次表示出B，C，D，E，再求和”，请通过计算得出结论； (2)乙同学说：“如果设，运算过程会更简单”，请你也来试一试； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目：请判断代数式的值是否为定值．若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (2)这五个数的和能被5整除；理由见解析 (3)代数式的值为定值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）甲同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （2）乙同学：设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （3）设，则，，，，根据整式的加减计算，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学：设， 则，，，， 则 ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （2）解：乙同学：设， 则，，，， ， 能被5整除， 这五个数的和能被5整除； （3）解：代数式的值为定值．理由如下： 设，则，，，， 则 ， 代数式的值为定值． 17．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 【答案】(1)需付车费26元 (2) (3)两人车费一样多，理由见解析 【分析】此题考查列代数式，代数式求值，解题关键是结合题意列出代数式，注意分情况讨论． （1）由题意可知行车里程为8公里，行车时间为20分钟，根据表内的计费规则即可求得车费； （2）分情况讨论，当时与当时两种情况，分别写出乙应付的车费； （3）设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟，分别列出小王和小张的车费，进行做差比较即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费26元； （2）解：当时，乙应付费（元）； 当时，乙应付费 （元）； （3）解：设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟， 则甲应付车费， 乙应付车费， 因此，两人车费一样多． 18．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)， (3)①，② 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得的值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$