专题 2.7 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.7 探索勾股定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入1： 1 知识点（一）勾股定理 2 【题型1】利用勾股定理求直角三角形第三边的长 2 【题型2】利用勾股定理求数轴上点的位置 3 【题型3】勾股定理与几何图形结合求值证明 3 【题型4】利用勾股定理解决航海问题 4 【题型5】勾股定理与古代问题 5 【题型6】勾股定理的证明 6 【题型7】勾股定理与折叠问题 7 知识点（二）勾股定理逆定理 8 【题型8】利用勾股定理的逆定理求值证明 8 【题型9】利用勾股定理的逆定理解决实际问题 9 知识点（三）勾股数 9 【题型10】勾股数的判断 10 【题型11】勾股数的规律探究 10 知识点（四）勾股定理的应用 11 【题型12】求梯子滑落高度和小鸟飞行距离 11 【题型13】求旗杆高度和求大树折断前的高度 11 【题型14】判断汽车是否超速和是否受台风影响 12 【题型15】求地毯与柱体的最值 13 二. 同步练习 14 【基础巩固（22题）】 14 【能力提升（22题）】 20 【中考真题15题】 26 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入1： 【例题】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在几何学中，图形的剪拼不仅能够锻炼学生的逻辑分析能力和动手操作能力，还能提高思维凝聚力，培养良好的学习态度，激发对数学的兴趣．如图，某数学兴趣小组用图1中的四个全等的直角三角形拼成图2中的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，斜边为c． 请探索直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，斜边为c． 知识点（一）勾股定理 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果，为直角三角形的两条直角边的长，为斜边的长，那么。 我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。 数学语言：如图1，在，，则有或。 图1 【题型1】利用勾股定理求直角三角形第三边的长 【例题1】（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求AC的长． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（   ） A．25 B．5 C．5或 D．7或25 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为 ． 【题型2】利用勾股定理求数轴上点的位置 【例题2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【题型3】勾股定理与几何图形结合求值证明 【例题3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，且D为边的中点，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（   ） A．8 B． C．7 D．6 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 【题型4】利用勾股定理解决航海问题 【例题4】（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． （1）求甲巡逻艇的航行方向； （2）成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【变式1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【题型5】勾股定理与古代问题 【例题5】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是 尺． 【题型6】勾股定理的证明 【例题6】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【题型7】勾股定理与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【变式1】（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 知识点（二）勾股定理逆定理 定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图2 【题型8】利用勾股定理的逆定理求值证明 【例题8】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【变式1】（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）求的长． 【题型9】利用勾股定理的逆定理解决实际问题 【例题9】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 知识点（三）勾股数 定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图2 【题型10】勾股数的判断 【例题10】（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． （1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【题型11】勾股数的规律探究 【例题11】（24-25八年级上·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … （1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； （2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； （3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 知识点（四）勾股定理的应用 【题型12】求梯子滑落高度和小鸟飞行距离 【例题12】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【变式】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 【题型13】求旗杆高度和求大树折断前的高度 【例题13】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【变式】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有的整式表示线段的长： ； （2）求这棵树高有多少米？ 【题型14】判断汽车是否超速和是否受台风影响 【例题14】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【变式】（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【题型15】求地毯与柱体的最值 【例题15】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是 ． 10．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，是中点，则的长是： ． 12．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 13．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 14．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 15．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 16．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 三、解答题 17．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，求的长． 18．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． （2）用这个图形验证勾股定理． （3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 20．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 21．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 6．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 8．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 10．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 12．（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 14．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 15．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 16．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，、为的两条高，点是的中点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． （1）求线段的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 20．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 22．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【中考真题15题】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 12．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 13．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 14．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 15．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.7 探索勾股定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入1： 1 知识点（一）勾股定理 2 【题型1】利用勾股定理求直角三角形第三边的长 2 【题型2】利用勾股定理求数轴上点的位置 4 【题型3】勾股定理与几何图形结合求值证明 6 【题型4】利用勾股定理解决航海问题 8 【题型5】勾股定理与古代问题 11 【题型6】勾股定理的证明 13 【题型7】勾股定理与折叠问题 15 知识点（二）勾股定理逆定理 18 【题型8】利用勾股定理的逆定理求值证明 18 【题型9】利用勾股定理的逆定理解决实际问题 21 知识点（三）勾股数 23 【题型10】勾股数的判断 23 【题型11】勾股数的规律探究 25 知识点（四）勾股定理的应用 28 【题型12】求梯子滑落高度和小鸟飞行距离 28 【题型13】求旗杆高度和求大树折断前的高度 30 【题型14】判断汽车是否超速和是否受台风影响 32 【题型15】求地毯与柱体的最值 34 二. 同步练习 37 【基础巩固（22题）】 37 【能力提升（22题）】 52 【中考真题15题】 71 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入1： 【例题】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在几何学中，图形的剪拼不仅能够锻炼学生的逻辑分析能力和动手操作能力，还能提高思维凝聚力，培养良好的学习态度，激发对数学的兴趣．如图，某数学兴趣小组用图1中的四个全等的直角三角形拼成图2中的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，斜边为c． 请探索直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，斜边为c． （1）解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c， 小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积， ， ， ； 知识点（一）勾股定理 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果，为直角三角形的两条直角边的长，为斜边的长，那么。 我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。 数学语言：如图1，在，，则有或。 图1 【题型1】利用勾股定理求直角三角形第三边的长 【例题1】（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求AC的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作平分即可； （2）直接运用勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图，为所作； ． （2）解：∵在中，，，， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（   ） A．25 B．5 C．5或 D．7或25 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，需分两种情况讨论：当4为直角边时，第三边为斜边；当4为斜边时，第三边为另一条直角边． 解：当长为4的边为直角边时，由勾股定理得：第三边的长， 当长为4的边为斜边时，由勾股定理得：第三边的长； 综上所述，第三边的长为5或， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 解：根据勾股定理得： 斜边长为， 故答案为：． 【题型2】利用勾股定理求数轴上点的位置 【例题2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【答案】见分析 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键． 解：在数轴上找出表示与的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为． ∵， ∴， ∵点位于点A的左侧， ∴点表示的数是． 【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理求出点到原点距离，再根据点在原点左侧，即可求解． 解：点到的距离， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：C ． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 【题型3】勾股定理与几何图形结合求值证明 【例题3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，且D为边的中点，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，，进而可知，根据对顶角得到，进而得到，即可证明是等腰三角形； （2）由题意及等腰三角形的定义可知，根据勾股定理即可求出的长． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵D为的中点， ∴， 由（1）知是等腰三角形， ∴， ∴在中，． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（   ） A．8 B． C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，运用等面积法求出DE的长是解题的关键． 根据题意利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用进行计算即可． 解：，， 是的垂直平分线，是的角平分线， ， 是的角平分线，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型4】利用勾股定理解决航海问题 【例题4】（24-25八年级下·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． （1）求甲巡逻艇的航行方向； （2）成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】（1）甲巡逻艇的航行方向为北偏东；（2）6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 解：（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 【题型5】勾股定理与古代问题 【例题5】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意，数形结合，根据勾股定理得到另一条直角边为，从而得到小正方形的边长，最后由正方形面积公式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长是解决问题的关键． 解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：一根竹子，原高一丈一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）．则折断后竹子高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理．由题意得，尺，（尺），根据勾股定理有，代入即可求解． 解：由题意得，尺，尺， ∴（尺） ∵在中，， ∴， ∴尺． 故答案为： 【题型6】勾股定理的证明 【例题6】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 解：（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【题型7】勾股定理与折叠问题 【例题7】（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点N，过点B作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 解：过点A作于点N，过点B作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最大值， 根据垂线段最短， ∴时，取得最大值， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿DE翻折，点C落在上的点F处， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 知识点（二）勾股定理逆定理 定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图2 【题型8】利用勾股定理的逆定理求值证明 【例题8】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米． 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 【变式1】（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先推出，确定是直角三角形，且，再根据勾股定理得即可． 解：（1）证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长为． 【题型9】利用勾股定理的逆定理解决实际问题 【例题9】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．证明是直角三角形，即可推出结果． 解：连接， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，由勾股定理得， ， 在中， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积（平方米）． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（   ） A．正东或正西 B．正南 C．正北 D．正南或正北 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据题意，得到，根据汽车从出发到返回共行驶了，得到，勾股定理逆定理，求出为直角三角形，且，即可得出结论． 解：由题意，得：， ∵汽车从出发到返回共行驶了， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵汽车从点出发沿正东方向行驶到达点， ∴的方向是正南或正北方向； 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是234 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 解：连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 知识点（三）勾股数 定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图2 【题型10】勾股数的判断 【例题10】（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”． （1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”． 【答案】（1）是；（2）证明过程见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，定义新运算，理解定义新运算的规则，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据定义，运用勾股定理即可求解； （2）运用完全平方公式，偶次幂的非负性，分别算出的值，根据定义新运算的方法即可求解． 解：（1）解：∵， ∴是“和谐勾股数”， 故答案为：是； （2）证明：已知， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，都是正实数， ∵，，， ∴， ∴是“和谐勾股数”． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 【题型11】勾股数的规律探究 【例题11】（24-25八年级上·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组： ； ； ； ； … （1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值； （2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值； （3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）；（3）猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），，证明见分析 【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）观察所给数据，找出规律求解即可； （2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即可； （3）猜想：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证． 解：（1）解：观察数据我们发现： 中，， 中，， 中，， 中，， 中，， ∴当时，； （2）解：∵为基本勾股数组， ∴，即， ∴， 已知，则， 设为正整数，且， 则， 解得， 又 ∵，且为正整数，与互素， 对 64 进行因数分解． ①当时，（舍去， 2 不是正整数）； ②当时，， ∵和 15 互素， ∴符合题意； ③当时，， ∵和 8 有公约数，不互素， ∴，不符合题意； ④当时，（舍去，不是正整数）； 综上，； （3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），． 证明：∵， ∴互素， ， ， 则 ， ， ． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 知识点（四）勾股定理的应用 【题型12】求梯子滑落高度和小鸟飞行距离 【例题12】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】（1）米；（2）小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 解：（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【变式】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在，中求出，，即可． 解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为米． 【题型13】求旗杆高度和求大树折断前的高度 【例题13】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】（1）；（2）行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【变式】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有的整式表示线段的长： ； （2）求这棵树高有多少米？ 【答案】（1）；（2）这棵树高米． 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理，解决本题的关键是利用含的代数式表示三角形各边的长度，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出树的高度即可． 根据，可得：； 在中，，可得：，解方程求出，即，根据树高为即可求出树的高度． 解：（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：由题意知， 在中，， ， 解得：， ， ∴这棵树高米． 【题型14】判断汽车是否超速和是否受台风影响 【例题14】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】（1）海港C受台风影响；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 解：（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 【变式】（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【题型15】求地毯与柱体的最值 【例题15】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 解：（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可． 解：， ∵， ∴． 故选：A 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键． 分别对，运用勾股定理求解，即可求出，再由即可求解． 解：如图， 由图可得，，， ∴，， ∴， ∴在数轴上点表示的数是， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算，得到答案． 解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，是中点，则的长是： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 解：在中，， ， 是中点， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先由长方形的性质和折叠的性质证得，再设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结果． 解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：根据题意，得直角三角形斜边长为，直角边长分别为，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．设长为x尺，则尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 解：设长为x尺，则尺， 在中，尺， ， ， 解得：， 则折断处离地面（即）的高度是尺． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 【答案】13 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 三、解答题 17．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键．先根据等边三角形的判定与性质可得，，再根据角的和差可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， 又， 即的长是5． 18．（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． （2）用这个图形验证勾股定理． （3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】（1）图形见分析，直角梯形；（2）验证见分析；（3）能，拼图见分析 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 解：（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 20．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】（1）是，理由见分析；（2）正确，见分析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 解：（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 21．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 解：（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）改变，，证明见分析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论改变，； 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，此选项符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是． 解：如下图所示，在网格图中作线段， 则，，，， 在中，， 在中，， ，，， 的三边，，中无理数是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 解：如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见分析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 6．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 解：如图， ， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：25 11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，再利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的值．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 解：设树高为，则， ∵，， ∴， ∵两只猴子所经过的路程相等， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴这颗树高． 故答案为：． 12．（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 14．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 【答案】南偏西 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出，再根据平角定义求出即可． 解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 15．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，圆柱展开的矩形长为，矩形的宽等于圆柱的高，根据题意，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：， 故答案：． 16．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，、为的两条高，点是的中点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． （1）由、是的两条高，先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明； （2）先根据等腰三角形的性质证明，，再推导出，最后由勾股定理求解即可． 解：（1）证明：、为的高， ，， ， 点是的中点， ，， ； （2）解：为中点，，， ，， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】（1）是；（2）见分析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 解：（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 19．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，． （1）求线段的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不是直角三角形，理由见分析 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知，，从而可求，根据勾股定理可求； 利用勾股定理可以求出，，由可知，因为，不是直角三角形． 解：（1）解：四个直角三角形全等， ，， ， 在中，； （2）解：不是直角三角形， 理由如下： 如下图所示，连接、， 在中，，， ， 在中，，， ， 由可知， ， ， 不是直角三角形． 20．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； （3）如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 解：（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】（1）；（2）小丽在家能听到广播，计算见分析；（3）小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 解：（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 22．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】（1）见分析；（2）原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 解：（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 【中考真题15题】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 5．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    二、填空题 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 解：（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 12．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见分析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 解：（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 13．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 14．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 【答案】（1）①，；②C；（2） 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 15．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】（1）；（2），，，其中、、都是正整数，，证明见分析；（3）280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 解：（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点拨】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$