4.3多边形和圆的初步认识 预习导学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第四章 基本平面图形 3. 多边形和圆的初步认识 知识点预习 一、多边形的基础概念 1. 多边形的定义： 由若干条不在同一直线的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形（课本图4-31）。 常见多边形：三角形、四边形、五边形、六边形等。 2. 构成要素（课本图4-32）： 要素 定义 示例 顶点 多边形各边的端点 点 A,B,C,D,E 边 连接相邻顶点的线段 线段 AB,BC,CD,DE,EA 内角 相邻两边组成的角（简称“角”） ∠EAB,∠ABC 对角线 连接不相邻顶点的线段 线段 AC,AD（非相邻点） 3. 正多边形（课本图4-33）： 条件：各边长度相等、各内角度数相等。 示例：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形。 n 边形的性质：顶点数为n；边数为；内角数为n；一个顶点的对角线数为（如五边形每个顶点有 5−3=2 条对角线）。 注：教材默认多边形均为凸多边形（任意边所在直线同侧）。 二、圆的基础概念（图4-35） 4. 圆的定义：线段 OA 绕固定端点 O 旋转一周，另一端点 A 形成的图形。 圆心（O）：固定端点。 半径（OA）：圆心到圆上任意点的线段。 5. 相关概念： 概念 定义 表示法 弧 圆上任意两点间的部分 记作  扇形 由一条弧和两条半径组成的图形 课本图4-35阴影部分 圆心角 顶点在圆心、两边是半径的角 ∠AOB 6. 核心计算（教材例题）： 扇形圆心角分配：按比例计算各圆心角度数。 三总结 本节聚焦于多边形和圆的基本要素定义、直观识别及简单计算（圆心角比例分配），为后续学习奠定认知基础。所有内容均严格限定在您提供的七年级教材范围内。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，错误的有（　　） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 4．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 5．将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（　　） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 6．如图所示图形是正多边形的是（　　） A． B． C． D． 7．小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（　　） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 8．圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（　　）cm． A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 9．如图所示的蜂巢由许多六边形构成，每个六边形至少可以分割成三角形的个数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．若某多边形从一个顶点可分出6个三角形，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 二、填空题（本大题共6小题，总分6.0分） 11．一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是 　 　 边形． 12．一个正八边形的边长为5．则它的周长为　 　 ． 13．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是　 　 ． 14．已知⊙O中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 　 　 厘米． 15．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为　 　 ． 16．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 　 　 个三角形． 三、解答题（本大题共6小题，总分6.0分） 17．现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例． 18．判断下列说法是否正确，如果正确，在括号内填入“√”；如果错误，在括号内填入“×”，并在横线处说明理由． （1）由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；（ 　 　 ） 　 　 （2）多边形分为凸多边形和凹多边形两类；（ 　 　 ） 　 　 （3）任何一个多边形都有对角线；（ 　 　 ） 　 　 （4）因为菱形的四条边相等，所以菱形是正多边形．（ 　 　 ） 　 　 19．观察如图所示图形，回答下列问题： （1）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来； （2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？ 20．如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝7，AE＝6，CD＝3，DE＝5，CB＝9．求多边形ABCDE的面积． 21．如图是某款手机后置摄像头模组，其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间． （1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积； （2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 22． 【问题提出】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得 　 　 个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得 　 　 个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得 　 　 个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 　 　 个三角形． 【拓展延伸】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2027个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成 　 　 个互不重叠的三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第四章 基本平面图形 3. 多边形和圆的初步认识 知识点预习 一、多边形的基础概念 1. 多边形的定义： 由若干条不在同一直线的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形（课本图4-31）。 常见多边形：三角形、四边形、五边形、六边形等。 2. 构成要素（课本图4-32）： 要素 定义 示例 顶点 多边形各边的端点 点 A,B,C,D,E 边 连接相邻顶点的线段 线段 AB,BC,CD,DE,EA 内角 相邻两边组成的角（简称“角”） ∠EAB,∠ABC 对角线 连接不相邻顶点的线段 线段 AC,AD（非相邻点） 3. 正多边形（课本图4-33）： 条件：各边长度相等、各内角度数相等。 示例：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形。 n 边形的性质：顶点数为n；边数为；内角数为n；一个顶点的对角线数为（如五边形每个顶点有 5−3=2 条对角线）。 注：教材默认多边形均为凸多边形（任意边所在直线同侧）。 二、圆的基础概念（图4-35） 4. 圆的定义：线段 OA 绕固定端点 O 旋转一周，另一端点 A 形成的图形。 圆心（O）：固定端点。 半径（OA）：圆心到圆上任意点的线段。 5. 相关概念： 概念 定义 表示法 弧 圆上任意两点间的部分 记作  扇形 由一条弧和两条半径组成的图形 课本图4-35阴影部分 圆心角 顶点在圆心、两边是半径的角 ∠AOB 6. 核心计算（教材例题）： 扇形圆心角分配：按比例计算各圆心角度数。 三总结 本节聚焦于多边形和圆的基本要素定义、直观识别及简单计算（圆心角比例分配），为后续学习奠定认知基础。所有内容均严格限定在您提供的七年级教材范围内。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 2．下列说法中，错误的有（　　） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 【解答】解：A．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； B．长方形不是正多边形，该选项说法错误； C．n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角，正该选项说法确； D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，该选项说法正确； 故选：B． 3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选：C． 4．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8， ∴⊙O的半径为4． 故选：A． 5．将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（　　） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 【解答】解：由图可知，从一个顶点出发可以画2条对角线， ∴边数为2+3＝5， ∴这个多边形是五边形， 故选：D． 6．如图所示图形是正多边形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是等腰三角形，故A不符合题意； B．是圆角矩形，故B不符合题意； C．是正五边形，故C符合题意； D．是一般六边形，不是正多边形，故D不符合题意； 故选：C． 7．小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（　　） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 【解答】解：∵圆的半径为6cm， ∴圆的直径为12cm， ∴AB的取值范围是：0＜AB≤12， ∴弦AB的长度可以是12cm，不可能为24cm、18cm、13cm． 故选：D． 8．圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（　　）cm． A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 【解答】解：由图可以看出圆的周长大约是3.15cm，由圆周长公式C＝πR，得到圆片的直径大约是1cm． 故选：B． 9．如图所示的蜂巢由许多六边形构成，每个六边形至少可以分割成三角形的个数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：一个六边形至少可以分割成6﹣2＝4个三角形． 故选：C． 10．若某多边形从一个顶点可分出6个三角形，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【解答】解：设这个多边形是n边形， 依题意得：n﹣2＝6， 解得：n＝8， ∴这个多边形是八边形． 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是 　八　 边形． 【解答】解：一个棱柱有10个面，那么这个棱柱是八棱柱， 故这个棱柱的底面是八边形． 故答案为：八． 12．一个正八边形的边长为5．则它的周长为　40　 ． 【解答】解：∵正八边形的边长为5， ∴周长为：5×8＝40． 故答案为：40． 13．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是　5，6，7　 ． 【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 14．已知⊙O中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 　7　 厘米． 【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为14厘米， ∴⊙O的直径是14厘米． ∴⊙O的半径是7厘米． 故答案为：7． 15．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为　圆心　 ． 【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故答案为：圆心 16．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 　（n﹣1）　 个三角形． 【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形． 三、解答题预习（46分） 17．现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例． 【解答】解：现实生活中有许多正多边形的实例，如自行车上的螺丝帽；六边形的地板砖等． 18．判断下列说法是否正确，如果正确，在括号内填入“√”；如果错误，在括号内填入“×”，并在横线处说明理由． （1）由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；（ 　√　 ） 　多边形的定义　 （2）多边形分为凸多边形和凹多边形两类；（ 　√　 ） 　多边形的分类　 （3）任何一个多边形都有对角线；（ 　×　 ） 　三角形没有对角线　 （4）因为菱形的四条边相等，所以菱形是正多边形．（ 　×　 ） 　菱形的四个角不一定相等　 【解答】解：（1）由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；（√）理由：多边形的定义； （2）多边形分为凸多边形和凹多边形两类；（√）理由：多边形的分类； （3）任何一个多边形都有对角线；（×）理由：三角形没有对角线； （4）因为菱形的四条边相等，所以菱形是正多边形．（×）菱形的四个角不一定相等； 故答案为：√多边形的定义；√多边形的分类；×三角形没有对角线；×菱形的四个角不一定相等． 19．观察如图所示图形，回答下列问题： （1）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来； （2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？ 【解答】解：（1）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出5条对角线，分别为AC，AD，AE，AF，AG； （2）这些对角线将八边形分割成6个三角形． 20．如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝7，AE＝6，CD＝3，DE＝5，CB＝9．求多边形ABCDE的面积． 【解答】解：如图，延长AE，CD交于点F， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∵AE∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCF是长方形， ∵AB＝7，CD＝3， ∴DF＝7﹣3＝4， ∵AE＝6，CB＝9， ∴EF＝9﹣6＝3， ∴S多边形ABCDE＝S矩形ABCF﹣S△DEF ＝AB•BCDF•EF ＝7×94×3 ＝63﹣6 ＝57． 21．如图是某款手机后置摄像头模组，其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间． （1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积； （2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【解答】解：（1）阴影面积：； （2）当r＝1cm，π取3时， ． 22． 【问题提出】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得 　5　 个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得 　7　 个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得 　9　 个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 　（2n+3）　 个三角形． 【拓展延伸】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2027个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成 　（2m+4）　 个互不重叠的三角形． 【解答】解：探究一：如图①，当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 故答案为：5； 探究二：由图②和图③，当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 故答案为：7； 探究三：画出图形如下，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； 故答案为：9； 问题解决：由探究一可知：当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； ……， 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5+2n﹣2＝（2n+3）个三角形； 故答案为：（2n+3）； 拓展延伸：（1）由问题解决可知2n+3＝2017， ∴n＝1012， ∴该五边形内有1012个点； （2）如图所示，当六边形内有1个点时，可以分6+2×1﹣2＝6个三角形， 当六边形内有2个点时，可以分6+2×2﹣2＝8个三角形， 当六边形内有3个点时，可以分6+2×3﹣2＝10个三角形， 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得6+2m﹣2＝（2m+4）个三角形， 故答案为：（2m+4）． 学科网（北京）股份有限公司 $$