4.2 角 预习导学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第四章 基本平面图形 2. 角 知识点预习 一、角的定义与形成 1. 定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形（课本图4-17）。 公共端点 → 顶点（如点O） 两条射线 → 边（如射线OA、OB） 2. 动态定义：一条射线绕端点旋转形成的图形（课本图4-18）。 起始位置 → 始边 终止位置 → 终边 3. 特殊角： 平角——终边与始边成一条直线（课本图4-19，180°）。 周角——终边与始边重合（课本图4-19，360°）。 二、角的表示方法（课本图4-20、课本图4-21） 表示方式 示例 使用条件 三个大写字母（顶点居中） ∠AOB 通用表示法 顶点字母（单个大写字母） ∠O 顶点处只有一个角时 数字或希腊字母 ∠1, ∠α, ∠β 在角内部标注 注意：课本图4-21中，∠BAC、∠CAD、∠BAD不能用∠A表示（顶点A处有多个角）。 三、角的度量与换算 4. 单位进制： 1°（度） = 60'（分）；1'（分） = 60"（秒） 5. 换算方法（例1）：度→分→秒：乘60；秒→分→度：除以60。 四、角的分类 类型 度数范围 示例 锐角 0° < θ < 90° 课本图4-25中的∠AOB 直角 θ = 90° 教材图示（未明确标注） 钝角 90° < θ < 180° 课本图4-25中的∠AOD 平角 θ = 180° 课本图4-19 周角 θ = 360° 课本图4-19 五、角的比较方法（课本图4-24） 6. 度量法：用量角器测量度数后比较。 7. 叠合法：顶点与一边重合，另一条边放在同侧（课本图4-24）。 符号：∠AOB > ∠COD（大于）、∠AOB = ∠COD（等于）、∠AOB < ∠COD（小于）。 六、角平分线（课本图4-26） 8. 定义：从顶点引出的射线，将角分成两个相等的角。 示例：射线OC平分∠AOB → ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB 9. 性质：∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC 七、尺规作图 10. 作等角（例2，图4-29）： 步骤：画射线→作弧取点→转移弧长→连接射线。 关键：半径相同（OC=O'C'）、弧长相同（CD=C'D'）。 11. 比较角的大小（课本图4-30）：通过叠合法在图中直接比较∠AOB与∠EOF。 八、总结 本节聚焦角的基础概念（定义、表示、分类）、操作技能（度量、比较、作图）和单位换算，为八年级学习三角形、平行线中的角度关系奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A中∠1可以用∠AOB表示，但不能用∠O表示，则A不符合题意； B中∠1与∠AOB和∠O不是同一个角，则B不符合题意； C中∠1与∠AOB不是同一个角，且它也不能用∠O表示，则C不符合题意； D中∠1既可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，则D符合题意； 故选：D． 2．如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 【解答】解：∵∠BOC＝56°48′，∠BOC+AOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝123°12′． 故选：D． 3．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，该选项正确，不合题意； B、这条射线记作射线OB，该选项错误，符合题意； C、∠1与∠AOB是同一个角，该选项正确，不合题意； D、∠AOC＝∠AOB+∠2，该选项正确，不合题意； 故选：B． 4．钟表上的时间为9时30分，则时针与分针的夹角度数为（　　） A．105° B．90° C．120° D．150° 【解答】解：∵钟表上的时间为9时30分， ∴时针指向9与10的正中间，分针指向6， ∴时针与分针的夹角度数＝90+30÷2＝105°． 故选：A． 5．如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（　　） A．距离学校1200米处 B．北偏东65°方向上的1200米处 C．南偏西65°方向上的1200米处 D．南偏西25°方向上的1200米处 【解答】解：180°﹣115°＝65°， 由图形知，学校在小明家的北偏东65°方向上的1200米处， 故选：B． 6．下列选项中能解释BC﹣AC＜AB的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在BC上截取线段等于AC，再在AB上截取线段等于BC﹣AC， 从而可判断BC﹣AC＜AB． 故选：B． 7．如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝38°17'，则∠AOC的大小是（　　） A．141°43' B．142°43' C．51°43' D．126°43' 【解答】解：∵∠BOC＝38°17'， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝179°60′﹣38°17′＝141°43′， 故选：A． 8．若∠ABC＝60°，∠DBC∠ABC，则∠ABD＝（　　） A．90° B．30° C．90°或30° D．无法确定 【解答】解：由条件可知， 分两种情况：①当点D在∠ABC内部时，如图1． 则∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣30°＝30°； ②当点D在∠ABC外部（如图2）． 则∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°． 综上，∠ABD＝30°或90°， 故选：C． 9．如图，已知∠BOD＝120°，且∠AOB+∠COD＝150°，若∠AOD＝40°，则∠COB的度数为（　　） A．50° B．70° C．80° D．85° 【解答】解：由条件可知∠AOC＝30°， ∵∠AOD＝40°， ∴∠COB＝∠BOD﹣∠DOC ＝∠BOD﹣（∠AOD+∠AOC） ＝120°﹣（30°+40°） ＝50°， 故选：A． 10．在同一平面内有∠AOB＝70°52′，∠BOC＝35°20′，则∠AOC的度数是（　　） A．106°12′ B．35°32′ C．106°12′或35°32′ D．105°72′或35°32′ 【解答】解：如图1所示， 当射线OC在∠AOB内时，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°52′﹣35°20′＝35°32′； 如图2所示， 当射线OC在∠AOB外时，此时∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝70°52′+35°20′＝105°72′＝106°12′， 综上，∠AOC的度数为35°32′或106°12′， 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．比较大小：32°15′　＞　 32.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：32.15°＝32°9′， ∵32°15′＞32°9′， ∴32°15′＞32.15°． 故答案为：＞． 12．90°﹣32°28′＝ 　57°32'　 ． 【解答】解：90°﹣32°28′＝89°60'﹣32°28′＝57°32'． 故答案为：57°32'． 13．钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器．如图，是钟表下午2：30时的场景，请你计算此时时针和分针夹角（指小于180°的角）的度数是 　105°　 ． 【解答】解：由题意得，6°×30﹣150×0.5°＝105°， 故答案为：105°． 14．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 　20°或30°或40°　 ． 【解答】解：若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①∠BOC＝2∠AOC，此时∠AOC＝20°； ②∠AOB＝2∠AOC，此时∠AOC＝30°； ③∠AOC＝2∠BOC，此时∠AOC＝40°； 故答案为：20°或30°或40°． 15．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，这三个圆心角中最大的圆心角度数为　180°　 ． 【解答】解：由题意可得，三个圆心角的和为360°， ∵三个圆心角的度数比为1：2：3， ∴最大的圆心角度数为：360°180°． 故答案为：180°． 16．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在∠AOB内画1条射线，观察发现图中共有3个角；在∠AOB内画2条射线时，则图中共有6个角；在∠AOB内画3条射线时，则图中共有10个角；按照此规律，在∠AOB内画n长射线时，图中共有　　 个角． 【解答】解：在∠AOB内画1条射线时，图中角的个数为2+1＝3（个）， 在∠AOB内画2条射线时，图中角的个数为3+2+1＝6（个）， 在∠AOB内画3条射线时，图中角的个数为4+3+2+1＝10（个）， 在∠AOB内画4条射线时，图中角的个数为5+4+3+2+1＝15（个）， 以此类推，在∠AOB内画n条射线时，图中角的个数为n+1+n+n﹣1+...+3+2+1， 故答案为：． 三、解答题预习（46分） 17．计算 （1）180°﹣37°42′56″； （2）25°36′×4． 【解答】解：（1）180°﹣37°42′56″ ＝179°59′60″﹣37°42′56″ ＝142°17′4″； （2）25°36′×4 ＝100°144′ ＝102°24′． 18．如图，点A、B、C、O分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西65°，点B位于点O的北偏东25°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠BOC＝125°，直接写出小华家C相对学校的方向． 【解答】解：（1）∵点A位于点O的北偏西65°，点B位于点O的北偏东25°， ∴∠AOB＝65°+25°＝90°； （2）如图所示， ∵∠BOC＝125°， ∴∠COD＝180°﹣25°﹣125°＝30°， ∴小华家C在学校的南偏东30°方向． 19．如图，∠AOC＝3∠AOE，∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°． （1）求∠DOC的度数． （2）若∠AOB＝78°，求∠EOB的度数． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°， ∴∠BOC＝3×12°＝36°， ∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝36°﹣12°＝24°； （2）∵∠AOC＝3∠AOE＝∠BOC+∠AOB，∠AOB＝78°， ∴3∠AOE＝36°+78°＝114°， ∴∠AOE＝38°， ∴∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝78°﹣38°＝40°． 20．小明家O，学校A和公园C的平面示意图如下，图上距离OA＝2cm，OC＝2.5cm． （1）学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？ （2）若学校A到小明家O的实际距离是400m，求公园C到小明家O的实际距离． 【解答】解：（1）∵∠NOA＝90°﹣45°＝45°，∠CON＝90°﹣60°＝30°， ∴学校A在小明家的北偏东45°方向，公园C在小明家的北偏西30°方向； （2）设公园C到小明家O的实际距离是x米，依题意得：， 解得：x＝500． 答：公园C到小明家O的实际距离是500米． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC∠EOC70°＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°； （2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠EOC＝2x＝72°， ∴∠AOC∠EOC72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 22．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC内部的一条射线，且，． （1）若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴∠MON＝∠COM+∠CON ， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON； （2）由（1）可知∠MON． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第四章 基本平面图形 2. 角 知识点预习 一、角的定义与形成 1. 定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形（课本图4-17）。 公共端点 → 顶点（如点O） 两条射线 → 边（如射线OA、OB） 2. 动态定义：一条射线绕端点旋转形成的图形（课本图4-18）。 起始位置 → 始边 终止位置 → 终边 3. 特殊角： 平角——终边与始边成一条直线（课本图4-19，180°）。 周角——终边与始边重合（课本图4-19，360°）。 二、角的表示方法（课本图4-20、课本图4-21） 表示方式 示例 使用条件 三个大写字母（顶点居中） ∠AOB 通用表示法 顶点字母（单个大写字母） ∠O 顶点处只有一个角时 数字或希腊字母 ∠1, ∠α, ∠β 在角内部标注 注意：课本图4-21中，∠BAC、∠CAD、∠BAD不能用∠A表示（顶点A处有多个角）。 三、角的度量与换算 4. 单位进制： 1°（度） = 60'（分）；1'（分） = 60"（秒） 5. 换算方法（例1）：度→分→秒：乘60；秒→分→度：除以60。 四、角的分类 类型 度数范围 示例 锐角 0° < θ < 90° 课本图4-25中的∠AOB 直角 θ = 90° 教材图示（未明确标注） 钝角 90° < θ < 180° 课本图4-25中的∠AOD 平角 θ = 180° 课本图4-19 周角 θ = 360° 课本图4-19 五、角的比较方法（课本图4-24） 6. 度量法：用量角器测量度数后比较。 7. 叠合法：顶点与一边重合，另一条边放在同侧（课本图4-24）。 符号：∠AOB > ∠COD（大于）、∠AOB = ∠COD（等于）、∠AOB < ∠COD（小于）。 六、角平分线（课本图4-26） 8. 定义：从顶点引出的射线，将角分成两个相等的角。 示例：射线OC平分∠AOB → ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB 9. 性质：∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC 七、尺规作图 10. 作等角（例2，图4-29）： 步骤：画射线→作弧取点→转移弧长→连接射线。 关键：半径相同（OC=O'C'）、弧长相同（CD=C'D'）。 11. 比较角的大小（课本图4-30）：通过叠合法在图中直接比较∠AOB与∠EOF。 八、总结 本节聚焦角的基础概念（定义、表示、分类）、操作技能（度量、比较、作图）和单位换算，为八年级学习三角形、平行线中的角度关系奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 3．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　） A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2 4．钟表上的时间为9时30分，则时针与分针的夹角度数为（　　） A．105° B．90° C．120° D．150° 5．如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（　　） A．距离学校1200米处 B．北偏东65°方向上的1200米处 C．南偏西65°方向上的1200米处 D．南偏西25°方向上的1200米处 6．下列选项中能解释BC﹣AC＜AB的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝38°17'，则∠AOC的大小是（　　） A．141°43' B．142°43' C．51°43' D．126°43' 8．若∠ABC＝60°，∠DBC∠ABC，则∠ABD＝（　　） A．90° B．30° C．90°或30° D．无法确定 9．如图，已知∠BOD＝120°，且∠AOB+∠COD＝150°，若∠AOD＝40°，则∠COB的度数为（　　） A．50° B．70° C．80° D．85° 10．在同一平面内有∠AOB＝70°52′，∠BOC＝35°20′，则∠AOC的度数是（　　） A．106°12′ B．35°32′ C．106°12′或35°32′ D．105°72′或35°32′ 二、填空题预习（24分） 11．比较大小：32°15′　 　 32.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 12．90°﹣32°28′＝ 　 　 ． 13．钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器．如图，是钟表下午2：30时的场景，请你计算此时时针和分针夹角（指小于180°的角）的度数是 　 　 ． 14．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 　 　 ． 15．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，这三个圆心角中最大的圆心角度数为　 　 ． 16．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在∠AOB内画1条射线，观察发现图中共有3个角；在∠AOB内画2条射线时，则图中共有6个角；在∠AOB内画3条射线时，则图中共有10个角；按照此规律，在∠AOB内画n长射线时，图中共有　 　 个角． 三、解答题预习（46分） 17．计算 （1）180°﹣37°42′56″； （2）25°36′×4． 18．如图，点A、B、C、O分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西65°，点B位于点O的北偏东25°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠BOC＝125°，直接写出小华家C相对学校的方向． 19．如图，∠AOC＝3∠AOE，∠BOC＝3∠BOD，∠BOD＝12°． （1）求∠DOC的度数． （2）若∠AOB＝78°，求∠EOB的度数． 20．小明家O，学校A和公园C的平面示意图如下，图上距离OA＝2cm，OC＝2.5cm． （1）学校A、公园C分别在小明家O的什么方向上？ （2）若学校A到小明家O的实际距离是400m，求公园C到小明家O的实际距离． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 22．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC内部的一条射线，且，． （1）若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，求∠MON的度数； （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$