第12讲 角 （知识清单+16大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第12讲 角 （知识清单+16大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较 题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 几何图形中角度计算问题 题型十二 角度的四则运算 题型十三 实际问题中角度计算问题 题型十四 角平分线的有关计算 题型十五 角n等分线的有关计算 题型十六 尺规作一个角等于已知角 知识清单 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点6．角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 题型练习 【题型一】角的概念理解 【例1】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【答案】B 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法是解题的关键． 根据量角器直接读取即可． 【详解】解：观察量角器可得“三折叠”手机的打开角度， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将量角器按如图方式放置，其中角度为的角是 ． 【答案】/ 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了角的概念、用量角器测量角．解决本题的关键是根据五条射线对应的量角器的读数计算出各角的度数，根据角的度数进行判断即可． 【详解】解：由量角器可知， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【知识点】角的概念理解、角的分类 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 【题型二】角的表示方法 【例2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）若内有条以为顶点的射线，则图中共有 个角． 【答案】 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查角的知识，解题的关键是掌握在一个角的内部引条射线共有个角，进行解答，即可． 【详解】解：方法一：∵内有条以为顶点的射线， ∴图中角的数量为：； 方法二：如图：角的数量为：． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表格中． 【答案】，，，， 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握常用的角的表示方法是解题关键．角的表示方法有：用三个大写英文字母表示，例（顶点写在中间）；用一个大写英文字母表示，例：；用数字表示，例：；用1个希腊字母表示，例：．根据角的常用表示方法，即可获得答案． 【详解】解：如下表， 【题型三】角的分类 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，小于平角的角共有 个． 【答案】14 【知识点】角的分类 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 3．（24-25七年级上·吉林延边·期末）如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 【答案】(1) (2) (3)47 【知识点】角的分类、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平角，直角有关的计算，熟练掌握平角，直角是解题的关键． （1）根据题意得出，，进而得出； （2）由题意得，，即可得到； （3）由（2）知，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：,，， , 故答案为： ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ， ， ， 故答案为：． 【题型四】钟面角 【例4】．（22-23七年级上·宁夏银川·期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，理解钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为解题的关键．利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分，分针与时针的夹角是． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，分别求出时针和分针每一分钟走的角的度数，时针和分针同时从2点开始动，分针运动30分钟，时针运动30分钟，据此分别求出时针与分针运动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴此时时针和分针的夹角是， 故选：B． 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟就熄灭40分钟．某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭．则第 次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 【答案】4 【知识点】钟面角 【分析】此题考查了钟面角，首先求出两次亮灯之间相隔，然后判断出第一次开灯为前一天下午6点40，到凌晨5点共11次，进而逐步求解即可． 【详解】解：∵每亮灯20分钟就熄灭40分钟 ∴两次亮灯之间相隔， ∵凌晨5点最后一次关灯， ∴第一次开灯为前一天下午6点40，到凌晨5点共11次． ∴时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； 时，时针、分针的最小夹角为； ∴第4次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 故答案为：4． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【答案】（1）6，0.5；（2）分针转过的角度为，时针转过的角度为；（3）22.5度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，掌握时针和分针一分钟转动的度数是解题的关键． （1）根据时针一小时即60分钟转，分针一小时即60分钟转即可解答； （2）若时针由2点30分走到2点55分，共经过25分钟，时针一分钟转动，分针一分钟转，据此作答； （3）钟表上2时，时针指到2上，再过15分钟，转过的角度是，2时15分钟时，分针指到3上，与2构成的角度是，即可求出时针与分针所成的锐角的度数． 【详解】解：（1）钟表的分针每分钟转，时针每分钟转， 故答案为：6，0.5； （2）分针转过的角度为，时针转过的角度为． 答：分针转过的角度为，时针转过的角度为； （3）． 答：时针与分针所成的锐角的度数是． 【题型五】方向角的表示 【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察站测得一轮船在北偏东，则在轮船上看观察站的方位是（　　） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方位角的概念，解题的关键是理解观测点变化时，方位角的相对性． 明确方位角是以观测者的位置为中心，当观测点互换时，方向相反，角度不变． 【详解】当观察站观测轮船时，是以观察站为中心确定方位角为北偏东，当轮船观察观察站时，观测点变为轮船，此时方向刚好相反．北的相反方向是南，东的相反方向是西，而角度保持不变．所以在轮船上看观察站的方位是南偏西， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如下图，以为观测点，在的（   ）方向上． A．西偏南 B．北偏东 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】 本题主要考查了依据方向（角度）判定物体位置的方法，根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以为观测点，确定的位置即可。 【详解】 解：如图，以为观测点，在的南偏西方向上, 故选：C． 2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的表示，根据点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上则可得出图书馆位置的点是D． 【详解】解：∵点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上， ∴图中最有可能表示图书馆位置的点是D． 故答案为：D 3．（24-25七年级上·全国·期末）轮船在点O测得岛A在北偏东，距离为4千米，又测得岛B在北偏西，距离为3千米．用1厘米代表1千米画出A、B的位置，量出图上线段的长度，并计算岛A和岛B间的实际距离． 【答案】图见解析，厘米，岛A和岛B间的实际距离为5千米 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了应用与设计：作图中方向角问题，根据已知得出方向角具体位置是解题关键．按照题意作出A、B两点的位置，用尺子量出的长度，根据1厘米表示1千米即可得到的实际距离． 【详解】解：如图所示：量出厘米，的实际距离是5千米． 【题型六】与方向角有关的计算题 【例6】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东，那么从灯塔看船位于（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．西偏南 D．南偏西 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查的是方向角，此类问题也可通过画图解决．结合题意可知，灯塔位于这艘船的方向与船位于灯塔的方向正好相反，但度数不变． 【详解】解∶如图，从灯塔看船位于灯塔的南偏西． 故选∶B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角（与方向角有关的计算题），熟练掌握方向角的表示方法是解题的关键：方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角；注：在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度；当方向角在方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 由题意得，，，由图可知，，由此即可求出，进而得出乙相对于地的方向角． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 则 ， 乙位于地的南偏东， 故选：． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角和度分秒的换算，结合图形，正确认识方向角是解决此类问题的关键．根据方位角的概念和度分秒的换算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【答案】(1) (2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系． （1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断． 【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上． 【题型七】角的单位与角度制 【例7】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据大单位化小单位除以进率即可． 【详解】 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制 【分析】此题考查了角度间的换算，根据角度间的换算即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．把化为用度表示的角度即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握是解题的关键，据此进行计算即可得到答案． 【详解】， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查度分秒之间的计算．依据度分秒的换算即可得到结果． 【详解】解： ． 【题型八】角的度数大小比较 【例8】（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知，请你比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）和相等吗？如果不相等，哪个大？ 【答案】不相等，大 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了度分秒的换算的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题将化成度分秒的形式后与进行比较，然后即可求解； 【详解】解：∵， 所以和不相等，大． 【题型九】角的比较 【例9】（22-23七年级上·广西河池·期末）在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的比较 【分析】本题考查角的大小比较，利用角的大小进行比较即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·期末）右图所示的网格是正方形网格， ．(填“”，“”或“”) 【答案】＜ 【知识点】角的比较 【分析】本题主要考查了角度大小的比较，解题的关键是熟练掌握网格特点，得出，． 【详解】解：根据网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)，理由见解析 【知识点】角的比较、角平分线的有关计算 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出的度数； （2）依据等式的性质，即可得到． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：． 理由：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 【题型十】三角板中角度计算问题 【例10】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先通过已知可得到，再将代入可求得的度数，进而可求解， 【详解】解：由题意可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，将一副七巧板拼成一只小动物，则 ． 【答案】/135度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】题目主要考查角度的计算，结合图形得出组成的三个角均为是解题关键． 根据图形直接求解即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十一】几何图形中角度计算问题 【例11】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键． 根据和的度数得出的度数，从而得出答案． 【详解】解：， ∴， ， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知：，以O为端点作射线，使，则的度数是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的计算．分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出． 【详解】解：当射线在外部， ； 当射线在内部， ， 所以的度数是或． 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 【答案】/140度 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平面图形中角的计算，设，求出，是解题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键． （1）利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的度数为； （2），， ， ， ， 的度数为． 【题型十二】角度的四则运算 【例12】（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，则的度数下列表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角度的运算，根据角度的单位制和角度的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角度运算，熟练掌握，是解题关键．根据角度运算法则求解即可． 【详解】 故答案为： 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型十三】实际问题中角度计算问题 【例13】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 【举一反三】 1．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 2．（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 【答案】/度 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键．利用360度除以平分的份数就是每份的圆心角度数． 【详解】解：每份的圆心角度数是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 【题型十四】角平分线的有关计算 【例14】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线的定义和角的计算，利用角平分线的定义是解答此题的关键． 根据角平分线的定义得，根据，得，再根据角的加法计算即可． 【详解】解：，平分， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知和都是直角，，是的平分线，则 度． 【答案】123 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据题意，结合图形，得到的度数，从而得到，结合是直角，得到结果． 【详解】解：∵是直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是直角，即， ∴． 故答案为：123． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，理由见详解 ② 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差； （1）由角的和差得，即可求解； （2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； （3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； ②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解． 能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； （3）解：①， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； ②如图， ， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ． 【题型十五】角n等分线的有关计算 【例15】（七年级上·广西防城港·期末）如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 3．（七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB． (1)求∠DCF的大小，并说明理由； (2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析 (2)∠DCF=． 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可； （2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°； （2）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB， ∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=． 【点睛】本题考查了角的计算、列代数式，解题关键是掌握角的计算和根据题意列代数式． 【题型十六】尺规作一个角等于已知角 【例16】（24-25七年级上·河南郑州·期末）小郑在用尺规作时，具体的操作步骤是： （1）作射线； （2）以点为圆心，以◆为半径作弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，以★的长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点； （5）过点作射线，则就是所要作的角．下列说法不正确的是（    ） A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等 C．▲与线段的长相等 D．▲与★的长相等 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作图步骤分析，即可求解． 【详解】解：（1）作射线； （2）以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； （5）过点作射线，则就是所要作的角． 其中为任意长度，与线段的长相等， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．根据尺规作图的步骤即可解答． 【详解】解：根据作图可知，． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知和，用直尺和圆规作，使． 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，先以为圆心，以为半径，画弧交的两边于点，，再以点B为圆心，以为半径，画弧交的一边于点，再以点为圆心，以半径，画弧交的一边于一点E，以点为圆心，以半径，画弧交前弧于一点，即为点，连接，所在的射线即为，此时，则．即可作答． 【详解】解：如图所示： 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）请用尺规作图： 如图，点在的边上．求作：，使． 【答案】作图见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图，理解作一个角等于已知角的方法是解答关键． 根据作一个角等于已知角的作法来进行作图即可． 【详解】解：以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、分别于、，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，以点为圆心，以长为半径画弧交刚才所画的弧于点，连接，作的射线，即可得到． 好题必刷 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据度分秒的加法法则计算即可． 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查度分秒的加减运算，熟记运算法则是解题的关键． 2．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东30度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角的定义，正确理解定义是关键．结合题意图形可知，这艘船位于灯塔的方向与灯塔位于这艘船的方向正好相反，但度数不变． 【详解】解：灯塔位于一艘船的北偏东30度方向，那么这艘船位于这个灯塔的南偏西方向． 故选：A． 3．一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义以及角度的计算，根据互为补角的两角之和为，且计算即可得出这个角的度数． 【详解】解：根据题意，， 故选：C． 4．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故A不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； D.∵， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 5．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示． 【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 6．如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（      ） A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD 【答案】C 【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论． 【详解】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线， ∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE． 又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°， ∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°． 故选C． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 7．如图，点在一条直线上，是锐角，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角与补角的知识，解题关键是将进行适当的变形，从而与的余角产生联系．根据题意，和互补，可得，即有，而的余角为，即可求得答案． 【详解】解：由图知， ∴， ∴． 故选：C． 8．已知是锐角，与互补，与互余，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与互补，得到，结合与互余，得，则，解答即可． 本题考查了互余，互补，熟练掌握互余，互补的意义，学会用表示其余的两个角是解题的关键． 【详解】解：根据与互补，得到， 又与互余，得， 则． 故选C． 9．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间． 【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ， 即时针转了24°， ∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知： 分针转动： ， 由每一大格对应30°知： ， 即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置： 由此确定此时是10点48分； 故答案为：A． 【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键． 10．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线， ∴，，故③错误； ∴∠MBN==45o，故①正确； ∠BNE=180°-=60°， ∠BMC=90°-=60°， ∴∠BNE=∠BMC，故②正确； ， ∴2∠NBD=∠CBM，故④正确； 正确的是①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】20.7 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，小单位转换成大单位除以60，按此转化即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20.7． 【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键． 12．若船在灯塔的正南方向上，那么灯塔在船的 方向上． 【答案】正北 【分析】船A在灯塔B的正南方向上这是以灯塔为基准的方位图，而要求灯塔B在船A的方位则是以船为基准，从而可得答案． 【详解】解：船A在灯塔B的正南方向上，那么灯塔B在船A的正北方向上． 故答案为：正北． 【点睛】本题考查了方向角的知识，掌握以什么为基准是解本题的关键． 13．若，，则比较的大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据角度制的进率为60得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．如图，射线OA表示 方向，射线OB表示 方向． 【答案】 北偏东 南偏东 【分析】先求出∠AOC和∠BOD的度数，再由方向角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOE＝60°，∠COE＝90°， ∴∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝30°， ∴射线OA表示的方向是北偏东30°， ∵∠BOE＝40°，∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝50°， ∴射线OB表示的方向是南偏东50°， 故答案为：北偏东30°；南偏东50°． 【点睛】本题考查的是方向角，熟知方向角的定义是解答此题的关键． 15．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有 ．（填序号，多选） 【答案】①②④ 【分析】由和互补，可得，即：，，再用不同的形式表示的余角． 【详解】解：和互补， ， ， ∴的余角为：，故①正确， ，故②正确， ，故④正确， 因此正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键． 16．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，， ． 【答案】58 【分析】根据∠BAC=，，求出∠EAC的度数，由∠DAE=，根据∠2=∠DAE-∠EAC求出结果． 【详解】∵∠BAC=，， ∴∠EAC=∠BAC-∠1=， ∵∠DAE=， ∴∠2=∠DAE-∠EAC=， 故答案为：58 ． 【点睛】此题考查三角板角度计算，掌握各角度之间的位置关系及三角板各角的度数是解题的关键． 17．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 18．如图，为直线上一点，平分，添加一个条件 ，则与互余． 【答案】平分（答案不唯一） 【分析】当添加条件平分时，根据角平分线的定义得出，，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∴当添加条件平分时， ∴， ∴ ， 即与互余 故答案为：平分（答案不唯一）． 【点评】本题考查了角平分线的定义，运用角的平分线定义进行解答，先求出和分别为和的一半，再把两个角相加正好是整个平角的一半也就是． 三、解答题 19．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 【答案】另外一个角都等于，四边形的内角和等于． 【分析】先画出满足题意角度的四边形ABCD，然后量出最后一个角的度数即可得到答案 【详解】解：如图所示，下图三个四边形即为所求： 通过量角器量最后一个角度可以发现，三幅图中最后一个未知角的度数都是135度，由此可以发现一个四边形的四个角相加的度数=90°+30°+105°+135°=360°， ∴得到的规律为：另外一个角都等于135°，四边形的内角和等于360°． 【点睛】本题主要考查了四边形内角和，解题的关键在于能够正确量出未知角的度数． 20．已知，，，试通过计算，比较，和的大小． 【答案】 【分析】按照角的四则运算进行求解后，判断即可． 【详解】解：因为， ， ， 所以． 【点睛】本题考查角度的四则运算，熟练掌握角的进制，正确的计算，是解题的关键． 21．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系（无需说明理由）． 【答案】(1)，理由见详解； (2)； (3)． 【分析】此题考查余角问题，关键是根据同角的余角相等和互余解答． （1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据同角的余角相等和互余解答即可； （3）根据（1）（2）得出规律解答即可． 【详解】（1）解：； 理由：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）猜想：， 理由：依题意， ． 22．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若，求的度数； （3）写出与之间所具有的数量关系； （4）当三角尺不动，将三角尺的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当（）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度的所有可能值，不用说明理由． 【答案】（1）；（2）30°；（3）互补；（4）的所有可能值为，，，． 【分析】（1）根据余角的定义即可得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）根据补角的定义即可得到结论． （4）分四种情况分类讨论，①当CE⊥AD时，②当EB⊥CD时，③当BE⊥AD时，④当CB⊥AD时，再画出符合题意的图形，从而可得答案. 【详解】解：（1），，根据同角的余角相等得：∠， 由直角可得，； （2），； （3），则与互补； （4）当CE⊥AD时，∠ACE=180°-90°-∠A=180°-90°-60°=30°； 当EB⊥CD时，∠E=∠ECD=45°， ∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°， 当BE⊥AD时，∠CFB=∠DFE=180°-90°-30°=60°， ∴∠BCD=180°-∠B-∠CFB=75°， ∴∠ACE=∠BCD=75°； 当CB⊥AD时，∠ACB=180°-90°-∠A=30°， ∴∠ACE=90°-∠ACB=60°； 即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 【点睛】本题考查了余角和补角，关键是熟练掌握余角的性质，角的和差关系． 23．如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键．根据角平分线可得，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 24．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 25．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由； (3)如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由． 【答案】(1)CB是∠ECD的平分线，理由见解析 (2)∠ACE=∠DCB，理由见解析 (3)∠DAB+∠EAC=120°，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠ECB=45°，进而求得∠BCD=45°，证得∠ECB=∠DCB即可解答； （2）根据等角的余角相等解答即可； （3）根据角的运算求解即可． 【详解】（1）解：CB是∠ECD的平分线． 理由：∵∠ACB=90°，CE恰好是∠ACB的平分线， ∴∠ECB=45°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCB=90°－45°=45°， ∴∠ECB=∠DCB， ∴CB是∠ECD的平分线 ； （2）解：∠ACE=∠DCB． 理由：∵∠ACB=∠DCB=90°, ∴∠ACE+∠ECB=90°，∠DCB+∠ECB=90°， ∴∠ACE=∠DCB； （3）解：∠DAB+∠EAC=120°．              理由：∵∠BAE=∠CAD=60°， ∴∠DAE+∠EAC=60°，∠EAC+∠CAB=60°， ∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°， ∵∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB， ∴∠DAB+∠CAE=120°． 【点睛】本题考查三角板中角的运算、等角的余角相等、角平分线的定义，熟练掌握图形中的角的运算是解答的关键． 26．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．    【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的意义求出，再由求解即可； （2）先由角平分线的定义得出，再求出，利用等式的性质即可证明； （3）先由角平分线的意义和角的和差得出，再分两种情况进行讨论：①当在直线下方时，②当在直线上方时，进行求解即可． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当在直线下方时，； ②当在直线上方时，； 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 角 （知识清单+16大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 角的概念理解 题型二 角的表示方法 题型三 角的分类 题型四 钟面角 题型五 方向角的表示 题型六 与方向角有关的计算题 题型七 角的单位与角度制 题型八 角的度数大小比较 题型九 角的比较 题型十 三角板中角度计算问题 题型十一 几何图形中角度计算问题 题型十二 角度的四则运算 题型十三 实际问题中角度计算问题 题型十四 角平分线的有关计算 题型十五 角n等分线的有关计算 题型十六 尺规作一个角等于已知角 知识清单 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点6．角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 题型练习 【题型一】角的概念理解 【例1】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将量角器按如图方式放置，其中角度为的角是 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【题型二】角的表示方法 【例2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 2．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）若内有条以为顶点的射线，则图中共有 个角． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表格中． 【题型三】角的分类 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，小于平角的角共有 个． 3．（24-25七年级上·吉林延边·期末）如图，一副三角板的直角顶点都与直线上的点重合． (1)若，则_______度． (2)若，求的度数． (3)若，则_______度． 【题型四】钟面角 【例4】．（22-23七年级上·宁夏银川·期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟就熄灭40分钟．某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭．则第 次关灯时，手表的时针与分针首次呈60度角． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【题型五】方向角的表示 【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）观察站测得一轮船在北偏东，则在轮船上看观察站的方位是（　　） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【举一反三】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如下图，以为观测点，在的（   ）方向上． A．西偏南 B．北偏东 C．南偏西 D．东偏北 2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）轮船在点O测得岛A在北偏东，距离为4千米，又测得岛B在北偏西，距离为3千米．用1厘米代表1千米画出A、B的位置，量出图上线段的长度，并计算岛A和岛B间的实际距离． 【题型六】与方向角有关的计算题 【例6】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东，那么从灯塔看船位于（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．西偏南 D．南偏西 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的（   ） A．北偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏西 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用A，B，C分别表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（B）在大门（A）的南偏东方向，大象馆（C）在大门（A）的北偏东方向，则的度数是 ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【题型七】角的单位与角度制 【例7】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）把用度、分、秒表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期末）计算：． 【题型八】角的度数大小比较 【例8】（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川自贡·期末）若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知，请你比较大小： （填“或或”）． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）和相等吗？如果不相等，哪个大？ 【题型九】角的比较 【例9】（22-23七年级上·广西河池·期末）在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·期末）右图所示的网格是正方形网格， ．(填“”，“”或“”) 3．（2022七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)比较和的大小，并说明理由． 【题型十】三角板中角度计算问题 【例10】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，将一副七巧板拼成一只小动物，则 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【题型十一】几何图形中角度计算问题 【例11】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知：，以O为端点作射线，使，则的度数是（　　） A． B．或 C． D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型十二】角度的四则运算 【例12】（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，则的度数下列表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 【题型十三】实际问题中角度计算问题 【例13】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【题型十四】角平分线的有关计算 【例14】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知和都是直角，，是的平分线，则 度． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【题型十五】角n等分线的有关计算 【例15】（七年级上·广西防城港·期末）如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 3．（七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB． (1)求∠DCF的大小，并说明理由； (2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）． 【题型十六】尺规作一个角等于已知角 【例16】（24-25七年级上·河南郑州·期末）小郑在用尺规作时，具体的操作步骤是： （1）作射线； （2）以点为圆心，以◆为半径作弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，以★的长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点； （5）过点作射线，则就是所要作的角．下列说法不正确的是（    ） A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等 C．▲与线段的长相等 D．▲与★的长相等 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与（），分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，已知和，用直尺和圆规作，使． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）请用尺规作图： 如图，点在的边上．求作：，使． 好题必刷 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东30度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 3．一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 4．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 5．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（      ） A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD 7．如图，点在一条直线上，是锐角，则的余角是（    ） A． B． C． D． 8．已知是锐角，与互补，与互余，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算： ． 12．若船在灯塔的正南方向上，那么灯塔在船的 方向上． 13．若，，则比较的大小： ． 14．如图，射线OA表示 方向，射线OB表示 方向． 15．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有 ．（填序号，多选） 16．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，， ． 17．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 18．如图，为直线上一点，平分，添加一个条件 ，则与互余． 三、解答题 19．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 20．已知，，，试通过计算，比较，和的大小． 21．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系（无需说明理由）． 22．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若，求的度数； （3）写出与之间所具有的数量关系； （4）当三角尺不动，将三角尺的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当（）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度的所有可能值，不用说明理由． 23．如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 24．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 25．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由； (3)如图③，若将两个同样的三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由． 26．已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分． (1)如图，若，求的度数；    (2)如图，求证：；    (3)若，过点O作射线，使，求的度数．   1 学科网（北京）股份有限公司 $$