3.3探索与表达规律 预习导学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 3. 探索与表达规律 知识点预习 一、规律探究的核心方法 1. 观察与归纳 步骤：观察具体实例（如日历、图形序列）；分析数字/图形间的关联；归纳通用规律（用字母表示位置）。 2. 代数建模 关键：用字母表示变量，建立代数关系式。 二、典型问题解析 3. 日历问题 问题类型 规律与代数表达 示例 9宫格求和 和 = 中间数 × 9 和为144 → 9a=144 → a=16 同列星期日日期和 5个星期日日期成等差数列，公差为7 和为80 → 首项 x，5x+70=80 → x=2（2号） 日期位置关系 上下差7，左右差1 中心数 a，左上角为 a−8 4. 图形序列规律 棋子摆“小房子”（随堂练习1）： 5. 数字游戏解密 猜两位数游戏（小亮的方法）：设原数十位 a，个位 b，运算过程—— 解密：结果减15得原数（如 93−15=78）。 三、规律的应用与证明 6. 整除规律探究 三位数被3整除：设数 ，各数字和 a+b+c； 证明： ∵  被3整除，∴ 原数被3整除当且仅当 a+b+c 被3整除。 推广：四位数同理（各数字和是否被3整除）。 7. 几何排列问题 餐桌座位问题（习题3.3）：每增1张桌：两侧各增2座（图1张桌坐6人，2张桌坐10人）； 代数式：n 张桌可坐 4n+2 人（验证：n=1 时 4×1+2=64×1+2=6）。 四、总结： 观察是起点：从生活实例（日历、图形）中发现规律； 代数是工具：用字母表示一般规律，实现“特殊→一般”的转化； 应用是目的：解决实际问题（设计游戏、证明结论）。 学习建议： 用日历实际操作验证9宫格规律；尝试编写数字游戏并用代数解密！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．观察下列算式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．9 D．7 2．某餐厅中1张桌子可坐8人，按照如图方式将桌子拼在一起，n张桌子拼在一起可坐（　　） A．（6+n）人 B．（6+2n）人 C．（6+3n）人 D．（3n+2）人 3．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第6个图案需（　　）根火柴． A．56 B．57 C．58 D．59 4．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　） A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2 5．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2025的展开式所有项的系数和是（　　） A．4050 B．20242 C．22024 D．22025 6．已知：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1，则26+25+24+23+22+3的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 7．某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，图①由5颗棋子组成，图②由12颗棋子组成，图③由21颗棋子组成，…，按照这一规律，图⑦用的棋子数量是（　　） A．77 B．96 C．111 D．140 8．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（　　） A．528 B．529 C．530 D．531 9．如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知整式，其中n，a0，a1，a2，a3，…，an均为自然数．则下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝3（x+1），则a0+a1＝6； ②若n＝2，且a0+a1+a2＝3时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若a0，a1，a2，a3，…，an为互不相同的自然数，当x＝1时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题预习（24分） 11．请找出下列数的规律，并在横线上填上适当的数： 1，3，6，10，15，　 　 ，28． 12．观察下面一列数的规律：，则第六个数为 　 　 ． 13．下列图形是由图形“•”组成的“铅笔头”图案，观察变化规律，则第100个图形中“•”的个数为　 　 个． 14．如图，在一个正三角形场地中，若在每边上放2盆花，则共需要3盆花：若在每边上放3盆花，则共需要6盆花；以此类推，若在每边上放25盆花，则共需要　 　 盆花． 15．观察下列等式： 13＝1，13+23＝9，13+23+33＝36，13+23+33+43＝100，… 猜想：13+23+33+...+103＝ 　 　 ． 16．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1 则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．（1）从图①中找出规律； （2）按图①中的规律在图②中的空格里填上合适的数． 18．观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，⋯ （1）按此规律写出第9个单项式； （2）试猜想第N个单项式为多少？ 19．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用B表示，最下面一个数字是　 　 （用a表示）； （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来． 20．摆一摆，找规律． （1）请画出第⑥个图形； （2）摆第7个图形需要用 　 　 根小棒； （3）摆第n个图形需要用 　 　 根小棒． 21．观察如表，回答问题． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 1 2 3 4 5 6 第2行 7 8 9 10 11 12 第3行 13 14 15 16 17 18 第4行 19 20 21 22 23 24 … … … … … … … （1）比9大6的数在第 　 　 行，比15大13的数在第 　 　 列； （2）若第2行第n列的数记为x，则第a行第n列的数记为 　 　 ，第2行第b列的数记为 　 　 ； （3）若第m行第n列的数记为y，则第a行第b列的数记为 　 　 ． 22．如图是小青用画图工具画的一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，……，按照这样的规律画下去： （1）则第5个图案中有　 　 个四边形； （2）请用含n的代数式表示第n个图案中四边形的个数； （3）小青说：“我画的一个图案中有2025个四边形，你知道我画的是第几个图案吗？”请你通过计算解答小青提出的问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 3. 探索与表达规律 知识点预习 一、规律探究的核心方法 1. 观察与归纳 步骤：观察具体实例（如日历、图形序列）；分析数字/图形间的关联；归纳通用规律（用字母表示位置）。 2. 代数建模 关键：用字母表示变量，建立代数关系式。 二、典型问题解析 3. 日历问题 问题类型 规律与代数表达 示例 9宫格求和 和 = 中间数 × 9 和为144 → 9a=144 → a=16 同列星期日日期和 5个星期日日期成等差数列，公差为7 和为80 → 首项 x，5x+70=80 → x=2（2号） 日期位置关系 上下差7，左右差1 中心数 a，左上角为 a−8 4. 图形序列规律 棋子摆“小房子”（随堂练习1）： 5. 数字游戏解密 猜两位数游戏（小亮的方法）：设原数十位 a，个位 b，运算过程—— 解密：结果减15得原数（如 93−15=78）。 三、规律的应用与证明 6. 整除规律探究 三位数被3整除：设数 ，各数字和 a+b+c； 证明： ∵  被3整除，∴ 原数被3整除当且仅当 a+b+c 被3整除。 推广：四位数同理（各数字和是否被3整除）。 7. 几何排列问题 餐桌座位问题（习题3.3）：每增1张桌：两侧各增2座（图1张桌坐6人，2张桌坐10人）； 代数式：n 张桌可坐 4n+2 人（验证：n=1 时 4×1+2=64×1+2=6）。 四、总结： 观察是起点：从生活实例（日历、图形）中发现规律； 代数是工具：用字母表示一般规律，实现“特殊→一般”的转化； 应用是目的：解决实际问题（设计游戏、证明结论）。 学习建议： 用日历实际操作验证9宫格规律；尝试编写数字游戏并用代数解密！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．观察下列算式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．9 D．7 【解答】解：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…， 归纳可得：个位数每四次循环， ∵（2003+1）÷4＝501， ∴32003与33的个位数相同，是7； 故选：D． 2．某餐厅中1张桌子可坐8人，按照如图方式将桌子拼在一起，n张桌子拼在一起可坐（　　） A．（6+n）人 B．（6+2n）人 C．（6+3n）人 D．（3n+2）人 【解答】解：由题意得， 第一张桌子可坐人数：6+2＝6+2×1， 第二张桌子可坐人数：6+2+2＝6+2×2， 第三张桌子可坐人数：6+2+2+2＝6+2×3， 第四张桌子可坐人数：6+2+2+2+2＝6+2×4， …… 依此类推， 第n张桌子可坐人数：6+2n， 故选：B． 3．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第6个图案需（　　）根火柴． A．56 B．57 C．58 D．59 【解答】解：第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3， 第2个图案需13根火柴，13＝2×（2+3）+3， 第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3， …， 第n个图案需n（n+3）+3根火柴， 则第6个图案需：6×（6+3）+3＝57（根）． 故选：B． 4．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　） A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2 【解答】解：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…， ∴2+22+23+24+…+2200﹣（2+22+23+24+…+299） ＝2201﹣2﹣（2100﹣2） ＝2100×（2101﹣1）， ∵2100＝S， ∴2+22+23+24+…+2200＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S， 故选：A． 5．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2025的展开式所有项的系数和是（　　） A．4050 B．20242 C．22024 D．22025 【解答】解：根据图中所给等式， （a+b）2展开式的第二项为1+2+1＝4＝（1+1）2＝22， （a+b）3展开式的第二项为1+3+3+1＝8＝（1+1）3＝23， （a+b）4展开式的第二项为1+4+6+4+1＝16＝（1+1）4＝24， .…， 根据变化规律，（a+b）n展开式的所有项的系数和为2n， ∴则（a+b）2025的展开式所有项的系数和是22025， 故选：D． 6．已知：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1，则26+25+24+23+22+3的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 【解答】解：26+25+24+23+22+3 ＝26+25+24+23+22+2+1 ＝（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1） ＝27﹣1 ＝128﹣1 ＝127， 故选：D． 7．某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，图①由5颗棋子组成，图②由12颗棋子组成，图③由21颗棋子组成，…，按照这一规律，图⑦用的棋子数量是（　　） A．77 B．96 C．111 D．140 【解答】解：由所给图形可知， 第一个图形用的棋子数量是：5＝1×5； 第二个图形用的棋子数量是：12＝2×6； 第三个图形用的棋子数量是：21＝3×7； 第四个图形用的棋子数量是：32＝4×8； …， 所以第n个图形用的棋子数量是n（n+4）个， 当n＝7时， n（n+4）＝7×11＝77（个）， 即第7个图形用的棋子数量是77个． 故选：A． 8．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（　　） A．528 B．529 C．530 D．531 【解答】解：图1有22个点， 图2有32个点， 图3有42个点， ……， 以此类推，可知图22中有1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+……+43＝（22+1）2＝529个点， 故选：B． 9．如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：第1次输入的x为27， 则第1次输出的结果是9，第2次输出的结果是3，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是3，第5次输出的结果是1，•••， 由2025是奇数， 则第2025次输出的结果1． 故选：A． 10．已知整式，其中n，a0，a1，a2，a3，…，an均为自然数．则下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝3（x+1），则a0+a1＝6； ②若n＝2，且a0+a1+a2＝3时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若a0，a1，a2，a3，…，an为互不相同的自然数，当x＝1时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解答】解：根据题意，得，其中n，a0，a1，a2，a3，…，an均为自然数． ①：由 M＝3（x+1）＝3x+3，得a0＝3，a1＝3，故a0+a1＝6，正确； ②：当n＝2且a0+a1+a2＝3时，当或或或或或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式M，正确； ③：若a0，a1，…，an为互不相同的自然数，且x＝1时M＝2025， 根据题意，最小自然数序列0，1，2，…，n的和为， 当n＝63时，和为； 当n＝64时，最小和为2080＞2025， 故n的最大值为63，③错误； 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．请找出下列数的规律，并在横线上填上适当的数： 1，3，6，10，15，　21　 ，28． 【解答】解：将所给数变形为，，，，，，…， 故答案为：21． 12．观察下面一列数的规律：，则第六个数为 　　 ． 【解答】解：观察归纳得第n个分子为2n，第n个分母为（2n）2﹣1， 则第六个数为． 故答案为：． 13．下列图形是由图形“•”组成的“铅笔头”图案，观察变化规律，则第100个图形中“•”的个数为　599　 个． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中“•”的个数为：5＝1×6﹣1； 第2个图形中“•”的个数为：11＝2×6﹣1； 第3个图形中“•”的个数为：17＝3×6﹣1； …， 所以第n个图形中“•”的个数为（6n﹣1）个． 当n＝100时， 6n﹣1＝6×100﹣1＝599（个）， 即第100个图形中“•”的个数为599个． 故答案为：599． 14．如图，在一个正三角形场地中，若在每边上放2盆花，则共需要3盆花：若在每边上放3盆花，则共需要6盆花；以此类推，若在每边上放25盆花，则共需要　72　 盆花． 【解答】解：设每边上放n盆花，则共需要an盆花（n≥2，且为正整数）， ∵a2＝3×2﹣3＝3，a3＝3×3﹣3＝6，a4＝3×4﹣3＝9，…， ∴an＝3n﹣3， ∴a25＝3×25﹣3＝72． 故答案为：72． 15．观察下列等式： 13＝1，13+23＝9，13+23+33＝36，13+23+33+43＝100，… 猜想：13+23+33+...+103＝ 　3025　 ． 【解答】解：当n＝1时和为12，n＝2时和为32，n＝3时和为62，n＝4时和为102． 其中 1，3，6，10是前n个自然数的和，即三角数，公式为 ． 因此，猜想总和为三角数的平方． 验证猜想的正确性根据三角数的平方公式，验证前几个自然数是否符合． 例如，当n＝1时，； 当n＝2时，，均与题目中的结果一致． 故公式为：． ∴原式3025． 故答案为：3025． 16．观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1 则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为　　 ． 【解答】解：原式（3﹣1）×（32022+32021+32020+⋯+32+3+1） （32023﹣1） ， 故答案为：． 三、解答题预习（46分） 17．（1）从图①中找出规律； （2）按图①中的规律在图②中的空格里填上合适的数． 【解答】解：（1）观察图①发现：﹣5+（﹣6）＝﹣11； ﹣6+（﹣2）＝﹣8； ﹣11+（﹣8）＝﹣19， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； （2）根据规律得到： 18．观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，⋯ （1）按此规律写出第9个单项式； （2）试猜想第N个单项式为多少？ 【解答】解：（1）∵当n＝1时，21﹣1xy， 当n＝2时，﹣22﹣1x2y， 当n＝3时，23﹣1x3y， 当n＝4时，﹣24﹣1x4y， 当n＝5时，25﹣1x5y， ∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y； （2）∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为n﹣1， ∴猜想第N个单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny． 19．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用B表示，最下面一个数字是　a+30　 （用a表示）； （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来． 【解答】解：（1）由题意可知，圈出的4个数的个位数字相同，每相邻两个之间相差10； （2）∵长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10， ∴如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为a+30， 故答案为：a+30； （3）设圈的四个数中最小的数是x， 由题意得：x+（x+10）+（x+20）+（x+30）＝212， 解得：x＝38， 即这四个数是38，48，58，68． 20．摆一摆，找规律． （1）请画出第⑥个图形； （2）摆第7个图形需要用 　15　 根小棒； （3）摆第n个图形需要用 　（2n+1）　 根小棒． 【解答】解：（1）第⑥个图形如图所示， ． （2）由所给图形可知， 摆第1个图形需要用的小棒根数为：3＝1×2+1； 摆第2个图形需要用的小棒根数为：5＝2×2+1； 摆第3个图形需要用的小棒根数为：7＝3×2+1； …， 所以摆第n个图形需要用的小棒根数为（2n+1）根． 当n＝7时， 2n+1＝2×7+1＝15（根）， 即摆第7个图形需要用的小棒根数为15根． 故答案为：15． （3）由（2）知， 摆第n个图形需要用的小棒根数为（2n+1）根． 故答案为：（2n+1）． 21．观察如表，回答问题． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 1 2 3 4 5 6 第2行 7 8 9 10 11 12 第3行 13 14 15 16 17 18 第4行 19 20 21 22 23 24 … … … … … … … （1）比9大6的数在第 　3　 行，比15大13的数在第 　4　 列； （2）若第2行第n列的数记为x，则第a行第n列的数记为 　x+6a﹣12　 ，第2行第b列的数记为 　b+x﹣n　 ； （3）若第m行第n列的数记为y，则第a行第b列的数记为 　y+b﹣n+6a﹣6m　 ． 【解答】解：（1）观察表格可以发现：第1列的数是1、7、13、19……，即 6n﹣5； 第2列的数是2、8、14、20…，即6n﹣4； 第3列的数是3、9、15、21…，即6n﹣3； 第4列的数是4、10、16、22…，即6n﹣2； 第5列的数是5、11、17、23…，即6n﹣1； 第6列的数是6、12、18、24…，即6n﹣0， 所以，比9大比6的倍数大的数在第3列，比15大比6的倍数大的数在第4列． 故答案为：3，4； （2）第2行第a列的数可以表示为 x+6（a﹣2）＝x+6a﹣12． 第α行第n列的数可以表示为x+6a﹣12． 第b行第6列的数可以表示为x+（b﹣n）＝b+x﹣n． 故答案为：x+6a﹣12，b+x﹣n； （3）第m行第n列的数可以表示为y+（b﹣n）． 第a行第6列的数可以表示为y+（b﹣n）+6（a﹣m）＝ y+b﹣n+6a﹣6m． 故答案为：y+b﹣n+6a﹣6m． 22．如图是小青用画图工具画的一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，……，按照这样的规律画下去： （1）则第5个图案中有　21　 个四边形； （2）请用含n的代数式表示第n个图案中四边形的个数； （3）小青说：“我画的一个图案中有2025个四边形，你知道我画的是第几个图案吗？”请你通过计算解答小青提出的问题． 【解答】解：（1）第1个图案中有5个四边形5， 第2个图案中有9个四边形9， 第3个图案中有13个四边形13， ∴第4个图案中有17个四边形17， 第5个图案中有21个四边形21， 故答案为：21； （2）第1个图案中有5个四边形，5＝1×4+1， 第2个图案中有9个四边形，9＝2×4+1， 第3个图案中有13个四边形，3×4+1， 第4个图案中有17个四边形，4×4+1， 第5个图案中有21个四边形，5×4+1， ⋯⋯， ∴第n个图案中四边形的个数为（4n+1）个． （3）由（2）可知，第n个图案中四边形的个数为（4n+1）个， ∴4n+1＝2025， ∴n＝506， ∴小青画的是第506个图案． 学科网（北京）股份有限公司 $$