17 第二章 第10课时 函数的零点与方程的解-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第10课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×) (3)若函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1,2)　　　　　　 B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7) BCD　[由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)，(5,6)，(5,7)．故选BCD.] 3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a B．a>b>c C．c>b>a D．c>a>b C　[函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x的交点的横坐标分别为a，b，c，作出图象，结合图象可得c>b>a.故选C． ] 4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________. －2，e　[由题意得，或解得x＝－2或x＝e.] 考点一　判定函数零点所在的区间 [典例1]　函数f(x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　) A．　　　　　　 B． C．(1,2) D．(2,3) [四字解题] 读 想 算 思 函数零点所在区间的判断问题 定理法 f，f的正负 等价转化、数形结合 图象法 画y＝2x和y＝－log2x的图象 A　[法一(定理法)：因为y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有一个零点． 因为f＝2－2<0，f＝2－1>0， 由零点存在定理知，f(x)在上存在零点， 结合选项，因为⊆， 所以f(x)的零点所在区间是.故选A． 法二(图象法)：令f(x)＝0，得2x＝－log2x，作出函数y＝2x和y＝－log2x的图象，如图， 显然y＝f(x)在区间内有零点．] 　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． [跟进训练] 1．(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. (1)A　(2)2　[(1)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)·f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝loga x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. ] 考点二　确定函数零点的个数 [典例2]　(1)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 (2)已知函数f(x)＝则关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点个数为(　　) A．8　　 B．7 C．5　　 D．2 (1)C　(2)B　[(1)令g(x)＝0得f(x)＝， 在同一直角坐标系中作出f(x)及y＝的大致图象如图所示． 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点．故选C． (2)根据题意，令4f2(x)－13f(x)＋9＝0，得f(x)＝1或f(x)＝.作出f(x)的简图． 由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点的个数为7.故选B.] 　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． [跟进训练] 2．(1)已知函数y＝f(x)满足：当－2≤x≤2时，f(x)＝－x2＋1，且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是________. (2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f(x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f(x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________. (1)6　(2)①②④　[(1)因为f(x)＝f(x＋4)，所以y＝f(x)的周期T＝4， 如图所示即为函数y＝f(x)的图象，4f(x)＝|x|⇒f(x)＝，作出y＝的图象，观察f(x)与y＝图象有6个交点，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是6. (2)将f(x)＝|lg x|－kx－2转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 考点三　函数零点的应用 　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 D　[法一：令f(x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令f(x)＝ax2＋a－1，g(x)＝cos x. 原题等价于当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点， 易知f(x)，g(x)均为偶函数，所以该交点只能在y轴上． 由F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2. 若a＝2，令f(x)＝g(x)，可得2x2＋1－cos x＝0. 因为x∈(－1,1)，所以2x2≥0,1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立． 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 因此方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2. 法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1,1)， 原题等价于h(x)有且仅有一个零点． 因为h(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 所以h(x)为(－1,1)上的偶函数． 根据偶函数的对称性，可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2. 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x， x∈(－1,1)． 又因为x∈(－1,1)，所以2x2≥0,1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立． 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D.] 　根据函数零点范围求参数 [典例4]　 (1)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1,5) D．(5，＋∞) (2)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(2,3] B． C． D．(2，3] (1)B　(2)D　[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)上存在零点， 所以即解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B. (2)由题意可得，2x2－mx＋1＝0即m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 设f(x)＝2x＋，根据双勾函数的性质可知， f(x)在上单调递减，在上单调递增， 且f＝3，f＝2，f(4)＝， 要使m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 则2<m≤3.故选D.] 　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－3，若方程f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0,10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．∪[8,10)　　 B．∪[6,10) C．∪(6,10] D．∪(6,10] (2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________. (1)D　(2)　[(1)由题知函数的周期为4.画出f(x)在区间(0,10)上的图象，如图1所示， 因为f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0,10)上有5个不同的实数根，所以函数f(x)与y＝logax的图象在(0,10)上有5个交点． 当a＞1时，如图2所示， 由图象知解得6＜a≤10； 当0＜a＜1时，如图3所示， 由图象知loga8＞－3，解得0＜a＜. 综上，实数a的取值范围为∪(6,10]． (2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足 即解得<m<.] 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [典例]　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________. [赏析]　第一步：换元解套 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)． 第二步：辅助图形 在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)． 第三步：数形结合 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解． 第四步：归纳总结 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) 　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f(x)与y＝t的图象确定零点的个数． [跟进训练] 1．已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为(　　) A．3　　 B．5　　 C．7　　 D．9 C　[设f(x)＝t，令F(x)＝0可得f(t)＝t＋1， 对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1. 设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)， 因为(ln x)′＝，所以切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2－1， 所以解得 由于<<1，故作出f(x)与y＝x＋1的图象如图所示， 所以y＝x＋1与f(x)有四个不同交点， 即y＝t＋1与f(t)有四个不同交点． 设四个交点为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知t1<0<t2<1<t3<t4， 作出函数y＝t，y＝f(x)的图象如图， 由此可知f(x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点， 所以F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零点个数为7.故选C．] 2．(2025·日照模拟)已知函数f(x)＝|x|＋1，若g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a有4个零点，则a的取值范围是(　　) A．(1,2) B． C．∪ D．∪ D　[由g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0，可得[2f(x)－3]·[f(x)－a]＝0， 解得f(x)＝或f(x)＝a.画出f(x)与y＝的图象如图所示， 由图可知，直线y＝与函数f(x)的图象有两个交点， 又因为函数g(x)有四个零点，故直线y＝a与函数f(x)的图象有两个零点，且a≠， 所以1<a<2且a≠. 因此，实数a的取值范围是∪.故选D.] 课时分层作业(十五) (本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) B　[令f(x)＝log4x－， 因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是单调递增的， 所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是单调递增的， f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0， 所以函数f(x)＝log4x－在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．故选B.] 2．(2025·绍兴期末)已知命题p：函数f(x)＝2x3＋x－a在(1,2]内有零点，则命题p成立的一个必要不充分条件是(　　) A．3≤a<18 B．3<a<18 C．a<18 D．a≥3 D　[函数f(x)＝2x3＋x－a在R上单调递增，由函数f(x)＝2x3＋x－a在(1,2]内有零点， 得解得3<a≤18，即命题p成立的充要条件是3<a≤18. 显然3<a≤18成立，不等式3≤a<18,3<a<18，a<18都不一定成立， 而3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，当a≥3时，3<a≤18不一定成立， 所以命题p成立的一个必要不充分条件是a≥3. 故选D.] 3．已知函数h(x)是奇函数，且f(x)＝h(x)＋2，若x＝2是函数y＝f(x)的一个零点，则f(－2)＝(　　) A．－4　　 B．0 C．2　　 D．4 D　[因为x＝2是函数y＝f(x)的一个零点，则f(2)＝0，于是f(2)＝h(2)＋2＝0，即h(2)＝－2，而函数h(x)是奇函数，则有h(－2)＝－h(2)＝2， 所以f(－2)＝h(－2)＋2＝4.故选D.] 4．函数f(x)＝log2x－log4(x＋20)的零点为(　　) A．4 B．4或5 C．5 D．－4或5 C　[由题意可得解得x>0，故f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f(x)＝log2x－log4(x＋20)＝0，得log4x2＝log4(x＋20)(x>0)，则x2＝x＋20，解得x＝5或x＝－4，又因为x>0，所以x＝5.故选C．] 5．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(0,1) D．[1，＋∞) A　[因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点， 所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点， 作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1,2]．] 6．函数f(x)是定义在R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 B　[令f(x)＝x2－x＝0， x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0， f(－1)＝0，f(－3)＝0. 所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.] 7．已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0,3－x3－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 A　[设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增， f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x1<0； 设函数g(x)＝x＋log2x， 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，即gg(1)<0， 由函数零点存在定理可知，<x2<1； 设函数h(x)＝x－log2x， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0，因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知，x3>1， 即－1<x1<0<x2<1<x3.] 8．(2025·菏泽模拟)关于函数f(x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点． 乙：4是该函数的零点． 丙：该函数的所有零点之积为0. 丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点． 即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确． 由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0， 则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1. ①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得 f(x)＝ 由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误； ②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4， 可得f(x)＝ 由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意． 综上，甲正确，乙错误．故选B.] 二、多项选择题 9．对于函数f(x)，若在其定义域内存在x0，使得f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　) A．f(x)＝2x2＋ B．f(x)＝ex－3x C．f(x)＝ex－1－2ln x D．f(x)＝ln x－ BC　[对于A，f(x)定义域为R，f(x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误； 对于B，f(x)定义域为R，f(x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0,1)上存在零点，故B正确； 对于C，f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ex－1－2ln x＝x，由于f(1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f(x)的一个不动点，故C正确； 对于D，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x， 则F′(x)＝＋－1＝＝， 故当x>2时，f′(x)<0，F(x)单调递减， 当0＜x＜2时，f′(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值， 故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f(x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC．] 10．(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)有3个零点 B．g(x)可能有6个零点 C．若g(x)恰有2个零点，则m的取值范围是(－∞，－2)∪[9，＋∞) D．若g(x)恰有5个零点，则m的取值范围是(0,2] AC　[根据题意，函数f(x)＝ 当x≤0时，则f(x)在(－∞，0)上为增函数，与x轴的交点为； 当x>0时，f(x)＝x3－x2－3x＋8，其导数f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 在区间(0,3)上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 在区间(3，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 且f(0)＝8，f(3)＝－1，f(4)＝.所以f(x)的大致图象如图所示． 对于A，由f(x)的图象可知，其图象与x轴有3个交点，即f(x)有3个零点，A正确； 对于B，g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1，若g(x)＝0， 即[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1＝0，解得f(x)＝m－1或f(x)＝m＋1， 若g(x)有6个零点，则有解得m的解集为∅， 故g(x)不可能有6个零点，B错误； 对于C，若g(x)恰有2个零点，必有m－1≥8或m＋1<－1，解得m≥9或m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)∪[9，＋∞)，C正确； 对于D，若g(x)恰有5个零点，则有或 解得0≤m≤2，即m的取值范围为[0,2]，D错误． 故选AC．] 三、填空题 11．函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________. (x－1)2(答案不唯一)　[函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.] 12．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，且当x∈时，f(x)＝4x，则函数g(x)＝f(x)＋在[－2,4]上的零点之和为________. 6　[因为函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝，又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，又f(x＋1)＝f(－x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)的周期为2， 又因为当x∈时，f(x)＝4x，作出函数f(x)和y＝－的简图如图所示， 由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点(1,0)对称的，且关于点(1,0)对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为3×2＝6.] 13．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为(　　) A．0<a<1 B．0<a<2 C．a>1 D．a>2 B　[作出函数f(x)的图象如图． 依题意方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，即y＝f(x)与y＝ax－1有且仅有三个交点， 因为y＝ax－1必过点(0，－1)，且f(0)＝－1， 若a≤0，方程f(x)＝ax－1不可能有三个实数解， 则必有a>0， 当直线y＝ax－1与y＝ln x在x>0时相切时， 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x)＝，即f′(x0)＝，则切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y＝·x＋y0－1＝·x＋ln x0－1，因为切线方程为y＝ax－1， 所以a＝且ln x0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1， 即当a>0时y＝ax－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个交点， 要使方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解， 则当x≤0时f(x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f(x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2，即a＝2， 所以0<a<2.故选B.] 14．(多选)(2025·日照模拟)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中正确的是(　　) A．当k>1时，有1个零点 B．当k＝－2时，有3个零点 C．当0＜k＜1时，有4个零点 D．当k＝－4时，有7个零点 ABD　[令y＝0，得f(f(x))＝－1，设f(x)＝t，则方程f(f(x))＝－1等价为f(t)＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为直线x＝. 对于A，当k>1时，作出函数f(x)的图象， 因为f(t)＝－1，此时方程f(t)＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x只有一解，即函数y＝f(f(x))＋1有1个零点，故A正确； 对于B，当k＝－2时，作出函数f(x)的图象， 因为f(t)＝－1，此时方程f(t)＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x有3个解，即函数y＝f(f(x))＋1有3个零点，故B正确； 对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误； 对于D，当k＝－4时，作出函数f(x)的图象， 因为f(t)＝－1，所以方程f(t)＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1,0)，t3∈(－4，－3)，由f(x)＝可知，此时x有3个解，由f(x)＝t2∈(－1,0)可知，此时x有3个解，由f(x)＝t3∈(－4，－3)可知，此时x有1个解，即函数y＝f(f(x))＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.] 15．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝e－＋1，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x＋1对称，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[设(x0，y0)是函数g(x)的图象上的任意一点，其关于y＝x＋1对称的点的坐标为(x，y)， 所以x＝y0－1，y＝x0＋1，所以函数g(x)关于y＝x＋1对称的函数为h(x)＝－2ln x. 由于f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x＋1对称， 故函数h(x)＝－2ln x与函数f(x)＝kx图象在区间有交点， 所以方程kx＝－2ln x在区间上有解， 所以k＝－在上有解．令m(x)＝－，x∈，则m′(x)＝＝(ln x－1)，令m′(x)<0，得≤x<e，m(x)单调递减，令m′(x)>0，得e<x≤e2，m(x)单调递增，则m(x)min＝m(e)＝－，m＝2e，m(e2)＝－，所以－≤k≤2e.故选C．] 16．已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则ea＋ln b＝________. 2　[由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝2－x，ln x＝2－x，函数y＝ex与y＝ln x互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝ln x，y＝2－x的图象， 如图所示，则A(a，ea)，B(b，ln b)，由反函数性质知A，B关于点(1,1)对称，则a＋b＝2，ea＋ln b＝2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$