02 第一章 第2课时 常用逻辑用语-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q/⇒p p是q的必要不充分条件 p/⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p/⇒q且q/⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. (1)p是q的充分不必要条件⇔； (2)p是q的必要不充分条件⇔； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(×) (4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(√) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P31习题1.5T3改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N*，n2≤n－1　 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定綈p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．] 2. (人教A版必修第一册P22习题1.4T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(C) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(多选)(人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AD) A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．∃x∈R，sin x＝2 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上 4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为[3，＋∞). 考点一　充分、必要条件 　充分、必要条件的判定 [典例1]　(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立， “a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.] 　充分、必要条件的探求 [典例2]　若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是(　　) A．>　　　 B．x2>y2 C．>1 D．2x－y>2 D　[由>，x2>y2推不出x>y，排除AB； 由>1可得>0，解得x>y>0或x<y<0，所以>1是x>y的既不充分也不必要条件，排除C；2x－y>2⇒x>y，反之不成立，D正确．故选D. ] 　充分、必要条件的应用 [典例3]　请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线处，并解答． 已知集合A＝{x}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}，且“x∈A”是“x∈B”的________条件，判断实数m的值是否存在．若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝{－3≤x≤4}， 由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝{1－m≤x≤1＋m，m>0}． 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得解得m≥4. 当m＝4时，B＝{x}，AB，符合题意． 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得解得0<m≤3. 当m＝3时，B＝{x}，则BA，符合题意． 若选择条件③，则集合A＝B，得 无解，所以不存在满足条件③的实数m. 　(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法． (2)充分条件、必要条件的探求要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”． (3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时，需注意区间端点值的检验． [跟进训练] 1．(1)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 (2)若“x＝α”是“sin x＋cos x>1”的一个充分条件，则α的一个可能取值是________. (1)C　(2)(只需满足α∈(k∈Z)即可)　[(1)对于A，若a⊥b，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误； 对于B，若a∥b，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(0,2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． 故选C． (2)由sin x＋cos x>1可得 sin>1， 则sin>， 所以2kπ＋<x＋<2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ<x<2kπ＋(k∈Z)． 因为“x＝α”是“sin x＋cos x>1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为.] 考点二　全称量词与存在量词 　含量词命题的否定 [典例4]　(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x (2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是_____________________________ ____________________________________________________________. (1)C　(2)存在一个奇数，它的立方不是奇数　[(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C． (2)命题的否定为“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．] 　含量词命题的真假判断 [典例5]　(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 B　[对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B.] 　含量词命题的应用 [典例6]　若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________. (－4,0)　[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≥0或m≤－4， 所以当p为假命题时，－4<m<0. 法二：因为p为假命题， 所以綈p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题， 即Δ＝m2＋4m<0，所以－4<m<0.] 　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的取值范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化为綈p的真假求参数的取值范围． (3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应成立． [跟进训练] 2．(1)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和綈p正确的为(　　) A．真命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 B．假命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 C．真命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 D．假命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 (2)若命题“∃x∈[1,4]，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________. (1)A　(2)　[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p为真命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A． (2)若“∃x∈[1,4]，使λx2＋x－2>0成立”的否定“∀x∈[1,4]，使λx2＋x－2≤0”为真命题，则λ≤.令f(x)＝＝22－， 由x∈[1,4]，得∈， 所以f(x)min＝f(4)＝－， 所以λ≤－.] 课时分层作业(二) (本试卷共82分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．命题“∃x>0，x2－<0”的否定为(　　) A．∃x>0，x2－≥0 B．∃x≤0，x2－≥0 C．∀x>0，x2－≥0 D．∀x≤0，x2－≥0 C　[命题“∃x>0，x2－<0”的否定为“∀x>0，x2－≥0”．故选C．] 2．(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[因为a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件． 故选C．] 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|－1≤x≤3} C．{x|x≤3或x≥4} D．{x|－2<x<4} B　[阴影部分为B∩∁RA，∁RA＝{x|－1≤x≤4}，所以B∩∁RA＝{x|－1≤x≤3}．故选B.] 4．(2025·泰安模拟)“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件是(　　) A．a≠0且b＝0 B．b＝0 C．a＝1且b＝0 D．a＝b＝0 C　[因为“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充要条件是“a≠0且b＝0”， “a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要条件， 所以“a＝1且b＝0”是“复数z＝ai＋b(a，b∈R)为纯虚数”的充分不必要条件．故选C．] 5．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　[A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．] 6．命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4,0] B．[－4,0) C．(－4,0) D．[－4,0] A　[命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题． 当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意； 当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0， 综上可知，－4<a≤0.故选A．] 7．(2025·烟台调研)已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：x2－4x＋4－m2≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D　[由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2. 由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|.若p是q的充分不必要条件， 则或解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.故选D.] 8．“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当两圆无公切线时，两圆内含， 圆C1的圆心为(0,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(－a,2a)，半径r2＝6，所以两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，即＜|6－1|，解得－＜a＜， 所以当两圆有公切线时a≥或a≤－， 所以a≥能推出圆C1和C2有公切线，而圆C1和C2有公切线不能推出a≥， 所以“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的充分不必要条件．故选A．] 二、多项选择题 9．命题“∀x∈R,2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件可能是(　　) A．k∈(－3,0) B．k∈(－3,0] C．k∈(－3，－1) D．k∈(－3，＋∞) AC　[因为∀x∈R,2kx2＋kx－<0为真命题， 所以k＝0或 解得－3<k≤0， 所以k∈(－3,0)是命题“∀x∈R,2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件，A符合题意； 所以k∈(－3,0]是命题“∀x∈R,2kx2＋kx－<0”为真命题的充要条件，B不符合题意； 所以k∈(－3，－1)是命题“∀x∈R,2kx2＋kx－<0”为真命题的充分不必要条件，C符合题意； 所以k∈(－3，＋∞)是命题“∀x∈R,2kx2＋kx－<0”为真命题的必要不充分条件，D不符合题意．故选AC．] 10．下列选项是“m≤2”的充分不必要条件的是(　　) A．y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增 B．∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立 C．∀x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立 D．y＝x2－mx＋1只有一个零点 BD　[对于A，y＝x2－mx＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝，因为y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以≤1，即m≤2，所以y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增是m≤2的充要条件，故A错误； 对于B，∀x∈R，x2－mx＋1>0，即m2－4<0，即－2<m<2，所以∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的充分不必要条件，故B正确； 对于C，∀x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0，即m<x＋在[2，＋∞)上恒成立，所以m<min，令g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－，当x∈[2，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在[2，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(2)＝，所以m<， 所以∀x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的必要不充分条件，故C错误； 对于D，y＝x2－mx＋1只有一个零点，即m2－4＝0，即m＝2或m＝－2， 所以y＝x2－mx＋1只有一个零点是m≤2的充分不必要条件，故D正确．故选BD.] 三、填空题 11．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的______________________________________． (用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空) 必要不充分条件　[充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立．故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件．] 12．若命题“∃a＜0，a＋＞b”是假命题，则实数b的取值范围为________. [－2，＋∞)　[因为命题“∃a＜0，a＋＞b”是假命题， 所以命题“∀a＜0，a＋≤b”是真命题． 又当a＜0时，a＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－a＝，即a＝－1时等号成立，所以max＝－2， 所以b≥－2， 所以实数b的取值范围为[－2，＋∞)．] 13．(2025·济宁调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B. 设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)．当x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]， 所以f′(x)≥0，所以f(x)在(0，π)上单调递增， 所以a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cosB．] 14．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题： ①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n. 其中所有真命题的编号是(　　) A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ A　[对于①，若n⊂α，因为m∥n，m⊂β，所以n∥β； 若n⊂β，因为m∥n，m⊂α，所以n∥α； 若n既不在α内也不在β内，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，所以n∥α且n∥β，故①是真命题． 对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②不是真命题． 对于③，如图，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t. 因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，所以根据线面平行的性质定理知n∥s， 同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，所以s∥平面β. 因为s⊂平面α，α∩β＝m，所以s∥m.又因为n∥s，所以m∥n，故③是真命题． 对于④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，若n∥α，n∥β，则m∥n，故④不是真命题． 综上，只有①③是真命题． 故选A．] 15．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m.若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________. 　[当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0；当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m. 由题意可得f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥.] 16．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是____. 甲　[若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁说的都是真话，不符合题意． 若丙是获奖的歌手，则甲、丁说的都是真话，不符合题意． 若丁是获奖的歌手，则乙、丙说的都是真话，不符合题意． 若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．] 学科网（北京）股份有限公司 $$