1.2 提公因式法同步练习 2025—2026学年湘教版数学八年级上册

1.2 提公因式法同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知实数a，b满足，，则的值为（   ） A．1 B．13 C．21 D．42 2．下列因式分解正确的有（    ） ①； ②； ③； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 5．若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（       ） A．60 B．16 C．30 D．1 6．已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 7．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 10．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 二、填空题 11．因式分解： ． 12．因式分解： ． 13．多项式和的公因式是 ． 14．若，，则 ． 15．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 16．若，则 ． 三、解答题 17．因式分解：， 18．用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 19．实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 20．观察下列各式： 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则：个位数字是5的两位数平方，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上即25．例如：计算：，因为，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：_____． (2)设这个数的十位数字为，用含的代数式表示速算法则：_______________． (3)请用所学的数学知识说明（2）中速算法则成立的理由． 21．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 23．若一个四位数m千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个四位数为“等差数”．将等差数m千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到新数，并记，例如：在1234中，，是“等差数”，此时；在1235中，，不是“等差数”． (1)判断2569，8431是否是“等差数”，并说明理由；如果是，求出对应的的值； (2)若四位数，且，记，，当与均为整数时，求出所有满足条件的“等差数”m． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年8月8日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B C C B C C B 1．D 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值．利用因式分解得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键，根据因式分解的方法依次判断即可． 【详解】解：①，故计算错误； ②，故计算错误； ③，正确； ④，故计算错误； 因式分解正确的是③，共1个， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查提公因式法因式分解，结合题意判断各项是否有公因式即可． 【详解】解：A、中公因式为3，则A不符合题意； B、中公因式为，则B不符合题意； C、中各项没有公因式，则C符合题意； D、中公因式为，则D不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，代数式求值，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 根据长方形的周长和面积公式，得到关于和的方程，再通过因式分解将所求表达式转化为已知值的代数式求解． 【详解】解：由长方形的周长为10，得：， 即． 由长方形的面积为6，得：． ∴． 故选C． 6．C 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 7．B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了单项式和多项式、因式分解、代数式求值等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据多项式次数定义，可知当多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有7个，可判断说法①；当时，根据题意可知，然后分情况讨论，即可判断说法②正确；根据题意，当时，分情况讨论，可得所有的和为，再分均为正数和均为负数两种情况讨论，即可判断说法③． 【详解】解：多项式的次数为2时，符合条件的多项式有，，， ，，，， 共有7个，故说法①错误； 当时，， ∵均为正整数， ∴， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， ∴代数式的值共有三种不同结果，故说法②正确； ∵均为正整数，当时，可有以下几种情况， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， ∴所有的和为， 若均为正数，则， ∴所有的和为， 若均为负数，则， ∴所有的和为， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的有②③，共计2个． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．B 【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m）， ∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m）， ∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m）， ∴n﹣2＝9，m＝， ∴n＝11，m＝63． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法，解题的关键是将式子中互为相反数的因式与转化为相同因式，再提取公因式完成分解． 先将变形为使原式两项含相同公因式再提取公因式得到因式分解结果． 【详解】解： 故答案为： 12． 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 14．2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先根据，得出，然后将因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 15．6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则 ． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 16． 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ． （2） ． 19．(1)图1中建筑物的占地面积为，图2中建筑物的占地面积为 (2)1 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法、因式分解，能根据题意用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积是解题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积即可． （2）根据（1）中所得代数式，结合即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得， 图1中建筑物的占地面积为：； 图2中建筑物的占地面积为：． （2）解：， 因为， 所以， 所以图1的面积更大． 故答案为：1． 20．(1) (2)，， (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分解因式，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）利用完全平方公式把展开得到，再把前两项分解因式即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解饿： ． 21．(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 22．（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 23．(1)1235不是“等差数”，见解析 (2)或 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解整除的意义是解题的关键． （1）根据题干中的新定义判断求解； （2）先分别求出，，，再根据，，，的取值范围和整除的意义求解． 【详解】（1）解：， 是“等差数”， ； ， 不是“等差数”； （2）解：由题意得：， ， ， ， ，，，，都是1到9之间的整数，与均为整数， ，都为的倍数， ，或，， 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$