1.1 多项式的因式分解同步练习2025-2026学年湘教版数学八年级上册

1.1 多项式的因式分解同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 6．若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 7．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 8．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 9．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 10．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．把一个多项式化成几个 ，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有 的关系． 12．下列各式能在实数范围内因式分解的是：①；②；③；④；⑤；⑥． （请填序号）． 13．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 14．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 15．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 16．若能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 三、解答题 17．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 19．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 20．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． (1)观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． (2)若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； (3)在(2)的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 21．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 22．阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”． 材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝． （1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除； （2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1.1多项式的因式分解同步练习参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D B D B A C 1．D 【分析】本题考查了因式分解的概念，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案； 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是整式乘法不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，结合因式分解的概念，逐个选项分析即可． 【详解】，属于整式乘法不是因式分解，故选项不属于； ，符合因式分解的概念，故选项属于； ，不属于因式分解，故选项不属于； ，选项错误，故选项不属于． 故答案选：． 3．D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式化为几个整式的积的形式，即可． 【详解】解：A．左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． B．左边为单项式，右边分解为常数与单项式的乘积，但单项式的分解不属于因式分解的范畴，不符合题意． C．右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不符合因式分解的定义，不符合题意． D．左边为多项式，右边化为，符合因式分解的定义，符合题意． 故选：D 4．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； B、，是整式的乘法运算，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键． 根据，求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可． 【详解】解： ， 把多项式分解因式，得， ， 故选：B． 7．D 【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查多项式的乘法运算，熟记运算法则是关键． 8．B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 9．A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 10．C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 11． 整式的积的形式 互逆 【分析】根据因式分解的定义进行填空即可解题. 【详解】解：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解, 因式分解和整式乘法具有互逆的关系． 【点睛】本题考查了因式分解的定义,因式分解和整式的乘法之间的关系,属于简单题,熟悉因式分解的概念是解题关键. 12．①②④⑤⑥ 【分析】利用公式法分解因式，即可判断①；利用十字相乘法分解因式，即可判断②；根据因式分解的定义，即可判断出③；利用配方法和公式法分解因式，即可判断④；利用公式法分解因式，即可判断⑤；对式子整理后得出，然后再利用配方法和公式法分解因式，即可判断⑥． 【详解】解：①，∴能在实数范围内因式分解； ②，∴能在实数范围内因式分解； ③，∴不能在实数范围内因式分解； ④ ， ∴能在实数范围内因式分解； ⑤，∴能在实数范围内因式分解； ⑥ ， ∴能在实数范围内因式分解； 综上所述，各式能在实数范围内因式分解的是：①②④⑤⑥． 故答案为：①②④⑤⑥ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 13． 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 14．无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 15．2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 16． 【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可． 【详解】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)， 即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd， ∴cd=6， ∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)， ∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得， ②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得, ③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得， ④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得， 或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合， ∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k的值是7，-7． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解． 17．(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 18． 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 19． 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 20．(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 【详解】（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 21．(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）39 【分析】（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明； （2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可． 【详解】解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字）， ∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h， ∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k）， ∴m、a、k、h都是整数， ∴91m+91n+h+k为整数， ∴任两个“网红数”之和一定能被11整除； （2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2， ∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2， ①当1≤a≤5时，s+t＝， 则﹣（b+1）能被11整除， ∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除， ∴2a﹣2b+1能被11整除， ∵1≤a≤5，0≤b≤5， ∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11， ∴2a﹣2b+1＝0或11， ∴a＝5，b＝0， ∴t＝1642，G（1642）＝17.25； ②当6≤a≤7时，s+t＝， 则﹣（b+2）能被11整除， ∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除， ∴2a﹣2b+1能被11整除， ∵6≤a≤7，0≤b≤5， ∴3≤2a﹣2b+1≤15， ∴2a﹣2b+1＝11， ∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2， ∴t＝2742或3842， ∴G（2742）＝28或G（3842）＝39， ∴G（t）的最大值39． 【点睛】此题主要考查新定义运算的应用，解题的关键根据题意理解“网红数”的定义及因式分解的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$