1.1 多项式的因式分解&1.2 提公因式法-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第1章 因式分解 1.1多项式的因式分解 香复恩提园 1.因式的概念：一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把名叫作f的一个 图式.此时，h也是f的一个园式。 2.因式分解的概念：一敕地，把一个多项式表示成若千个多项式的乘和形式，称为把这个多项式图式分解。 已课内基础练 课外拓展练 知识点①因式及因式分解的概念 4.若x2十kx十16=(x-4)2,则 1.(2025长沙期末)下列从左到右的变形，是因 A.k=一8，从左到右是乘法运算 式分解的是 ( B.k=8,从左到右是乘法运算 A.(x+4)(x-4)=x8-16 C.k=一8，从左到右是因式分解 B.x2十2x十1=x(x十2)+1 D.k=8,从左到右是因式分解 5,如图，大长方形由一个边长是a的小正方形 C2+1=e+) 和两个长、宽分别是a,b的小长方形组成. D.a'b+abi=ab(a+b) 整个图形可表示出几个有关多项式因式分 2.(教材变式)下列从左到右的等式变形是不 解的等式，其中错误的是 是因式分解？若是，请指出它的因式：若不 A.a*+2ab=a(a+26) 是，请说明理由。 B.a2+2ab2=a(a十2b2) (1)a2-2a+1=a(a-2)+1. C.a(a+b)+ab=a(a+2b) (2).x3-x=x(x+1)(x-1). D.a(a+2b)-ab=a(a+b) 第5题图 ③)m十4=m1+语. 6.x-y”因式分解的结果为(x2+y2)(x+ y)(x一y),则n的值为 7.检验下列因式分解是否正确， (1)3.x2+xy=x(3x十y). (2)a-5a-24=(a+8)(a-3). 知识点②因式分解与整式乘法的关系 3.根据因式分解与整式乘法的关系填空 8.已知x十mx一n可以因式分解为(x十 (1)因为(x-1)(x+2)=x2+x-2, 7)(x一3)，求(5m一n)205的值. 所以x2十x-2 (2)因为(m+5n)(m-5n)=m2-25n2, 所以m2-25n2= 上册第1章 1.2提公因式法 第1课时提单项式公因式 里固提园 1.公因式的概念：几个多项式的相阿图式称为它们的会图式 2.提公因式法的概念：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因 式分解的方法叫作提公图式法 课内基础练 课外拓展练 知识点① 公因式的概念 7.将3a2m一6amn十3a因式分解，下面是四名 1.下列各组整式中，没有公因式的是 ( 同学得到的结果： A.ab与b B.a十b与a2+b ①3am(a-2n+1);@3a(am十2mn-1); C.y与3y D.x与6x ③3a(am-2mn):④3a(am-2mn+1). 2.(2025长沙望城区期末)多项式9a2x2 其中正确的是 18ax3各项的公因式是 ( A.① B.② C.③ D.④ A.9ax B.9a2x2 C.a2x2 D.9a‘x3 8.把多项式x2y一xy”z因式分解时，提取的 知识点②提单项式公因式 公因式是xy,则n的值可能为 () A.6 B.4 C.3 D.2 3.下列式子中，提公因式正确的是 9.已知a8十ab=5,ab十b2=-2,a十b=7,则 A.12xy2-9x2y2=3xy2(4-3xy) a-b= B.a6+5ab-ab=ab(a+5) 10.(教材变式)把下列多项式因式分解： C.x2z十xy2-xz=xz(x十y) (1)2xy-16x2y+24x2y3. D.3a2y3+6a3y+6a2y=3a2y(y2+2a+2) 4.因式分解： (1)(2024自贡)x2-3x= (2)3xmy2十x2y"(m,n均为大于2的 (2)ab-5ab2= 整数) 变式题已知一个多项式因式分解的结果 是2m(m一2)，则这个多项式为 11.运算能力如下图，已知长方形的长为m, 宽为n,周长为10，面积为6，求代数式m2n 5.把-7ab-14abx十49aby提取公因式-7ab 十mn2十3mn的值. 后，另一个因式为 6.把下列多项式因式分解： (1)24ax2-8x2 (2)-6nm3+4n2m. 八年级数学X版 第2课时提多项式公因式 要点提匠 公因式可以是单项式，也可以是多项式.当公因式是形如（一b)"或(b一a)时，要注意罪指数n的奇偶性： 当n为偶数时，(b一a儿三(a二b)”:当n为年数时，(b一a)”三一(a一b)” 课内基础练 课外拓展练 知识点① 提多项式公因式 易错点因式分解时易忽视符号变化 1.将x(x+1)一2(x+1)用提公因式法因式分 7.把多项式-m(n一2)一m2(2-n)因式分 解，应提出的公因式是 ) 解得 A.x-1B.x-2C.x+1D.x+2 A.(n-2)(m2-m)B.m(2-n)(1-m) 2.有下列各组多项式：①2a十b和a十b;②5m(a C.m(n-2)(m+1)D.m(2-n)(1十m) -b)和b-a:③3(a+b)和-(a+b):④(x y)(x8十xy十y2)和x2一xy十y2.其中含有公 8.已知m为有理数，则整式m2(m2一1)一m2 因式的是 ( ) +1的值 () A.①②B.②③ C.③④ D.①④ A.不是负数 B.恒为负数 知识点②公因式是多项式的因式分解 C.恒为正数 D.不等于0 3.把(a一b)十m(b-a)提取公因式a一b后， 9.多项式(x+2)(2x-2)-(x十2)可以因式 另一个因式是 ( 分解成(x十m)(2x十n),则m一n的值是 A.1-m B.1+m C.m D.一m () 4.因式分解： A.1 B.-1 C.5 D.-5 (1)m(a-b)+n(b-a)= 2x十y=6, 10.不解方程组 求7y(x-3y)2-2 (2)2(a十b)2+3(a+b) x-3y=1, 5.结论开放题一个多项式，把它因式分解后 (3y一x)3的值. 有一个因式为(x一1).请你写出一个符合条 件的多项式： 6.把下列多项式因式分解： (1)(2m十3n)(2m-n)-n(2m-n). 11.运算能力已知a,b,x,y满足a十b=x十 y=3,ax+by=7,(ai+b2)xy+ab(x2 (2)(x-y)2-(y-x). 十y2)的值 (3)一题多解法3x‘十x3-9x-3. 上册第1章 3△参考答案 第1章因式分解 10.解：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)2=(x-3y2[7y+2(x- 1.1多项式的因式分解 3y]=(x-3y°(7y十2x-6y)=(x-3y)(2x十y).因为2x 1.D +y=6,x-3y=1,所以原式=6， 2.解：(1)不是因式分解 11.解：因为a+b=x十y=3,所以(a十b)(x十y)=9, 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，放 所以ax十ay十bx十by=(az十by)十(ay十bx)=9. 不是因式分解。 因为ax十y=7,所以ay十bz=2,所以(a2+b)xy十ab(x2 (2)是因式分解.因式分别为x,x十1和x一1 +y')=a'zy+6'xy+ahxitaby*=ax(ay+b)+by(br+ (3)不是因式分解， ay)=(ay+br)(ax+by)=2X7=14. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式，故不是因式 1,3公式法 分解： 第1课时利用平方差公式进行因式分解 3.(1)(x-1)(x+2)(2)(m+5n)(m-5n)4.C5.B 1.D2.D变式题一363.C 6.4 4.1)(x+2)(x-2)(2)(a+4b)(a-4b)5.6 7.解：(1)因为x(3x十y)=3x2+xy, 6.不正确4一2还可以再因式分解成(2+)(2-) 所以因式分解3x2十xy=x(3x十y)正确 7.解：(1)原式=(x+3+4)(x十3-4)=(x十7)(x一1) (2)因为(a十8)(a-3)=a2+十5a-24≠a2-5a-24, (2)原式=[3(x-y)]-[2(x+y]=(3x-3y+2x+ 所以因式分解42一5a一24=(a十8)(a一3)不正确. 2y)3x-3y-2.x-2y)=(5x-y(x-5y). 8.解：因为x2十mx一n可以因式分解为(x十7)(x一3)， 8.C9.600 所以(x十7)(x-3》=x2+4x-21=x8+mx一元， 10.解：1D原式=4(9m2-n2)=4(3m十n)(3m-n) 所以m=4,1=21,所以5m-n=5×4一21=-1， (2)原式=(x一2)(x2-16)=(x-2)(x+4x-4). 所以(5m一m)2s=(-1)2s=一1. 11.必须进行到每一个因式都不能分解为止3(a十b)(6-a) 1.2提公因式法 12.D13.B14.A15.B16.517.30 第1课时提单项式公因式 18.解：(1)原式=3(m3一16)=3(m2+4)(m一4)=3(m°十 1.B2.B3.D 4)(m十2)(m-2). 4.1)x(x-3》(2)ab(a-5b)变式题2m°-4m (2)原式=[3(a+b)十(a-)][3(4十b)一(a-6)] 5.1+2x-7y =(3a十36十a-6)(3a+3b-4+b) 6.解：(1)原式-8x2(3a-1D, =(4a+2b)(2a+46) (2)原式=一2%m(3m2-2n). =4(2a+b)(a十2b). 7.D8.A9.1 19.解：因为x一x=(x一y)十(y一x)=6,x十￥=14，所以x 10.解：(1)原式=2xy(x-8十12y). -*2=(x十x)(x-x)=14X6=84 (2)原式=x-2y2(3x2+y2). 20.解：(1)不是是 11.解：依题意，得2(m十m)=10,体n-6, (2)不是8的倍数.因为(2m十2)2-(2m)2=(2m十2+ 所以雅十n■5，所以m°#十n为2十3mn■mn(m十n十3)=6 2m)(2m十2-2m)=2(4w十2)=4(2m十1)，所以由这两个连 ×(5+3)=48. 续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数， 故代数式m2十mn十3mn的值为48. (3)(42-2)+(82-62)+(122-102)+…+(2002-1982) 第2课时提多项式公因式 =4×8+4X7+4×1+…+4X19g=4×3+198×50 1.C2.B3.A 2 4.(1)(a-b)(m-n)(2)(a+b)(2a+2b+3) =20200. 5.2(x-1)十x(x-1)(答案不难-) 第2课时利用完全平方公式进行因式分解 6.解：(1)原式=(2m一n)(2m十3m-n》 =(2n-n)(2m十2n） 1D变武题A2Caac-2P2(+》 =2(2m一n)(m十n) 4.64变式题7或-1 (2)原式=(x-y)+(x-y)=(x-y)(x-y十1). 5解a2a-32(侵a+2）”3m十n-3 (3)原武=x(3x+1)-3(3x+1) 6.C7.(1)3(x-3)2(2)2ab(a-b)3 =(3x+1)(x1-3) 一题多解法、 8.解：(1)原式=26(a”+8a十16)=2b(a十4)2. (2)原式=(4x2-y2)2=(2x十y)2(2x-y) (3)原式=3x1一9z)十(x1一3) (3)原式=(a2+462+4ab)(a°+4地3-4b) =3x(x3-3)十(x3-3) =(a+26)2(a-26) =(x-3)(3z十1). 9.D10.3a(x-y2 1 7.B8.A9.C 11.解：①原武=3×（③.7-名×3.7×2.7+27）■ 3 上册参考答案 175