精品解析：河北省/唐山市玉田县第三中学2024-2025学年上学期八年级数学期末测试卷

2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，没有平方根的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根即可得出答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选：B． 2. 要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（ ） A. + B. － C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式除法运算，能根据结果判断出是除法运算是解题的关键，根据分式除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式计算，一个数开立方根计算等．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 垂直平分线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，垂直平分线，三角形的中线等知识，根据作图痕迹判断出线段是的中线即可． 【详解】解：由作图可知点D是边的中点，故线段是的中线． 故选：A． 6. 若，则的整数部分是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算及估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用实数的运算法则计算得出，估算出x范围即可求得结果． 【详解】解：， 又，即， 则的整数部分是3， 故选：B． 7. 如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，由可得，故此选项不符合题意； B、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．此题根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、中的三角形三边长分别是：，，，三条边长都是无理数，故该选项符合题意； B、中的三角形三边长分别是：，，2，只有两条边长是无理数，故该选项不符合题意； C、中的三角形三边长分别是：2，，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意； D、中的三角形三边长分别是：2，4，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图，将绕点C逆时针旋转得到（点A，B的对应点分别为D，E），点E恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质及等腰三角形性质，熟练掌握旋转性质及等腰三角形性质是解题关键，由旋转得，得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转得：， ， ， 故选：C． 10. 如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质，根据轴对称的性质得到，，进而根据线段和差求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故选：A． 11. 老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A. 甲、丁 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 12. 等边三角形的边长为6，点O是三个内角平分线的交点，，的两边与分别交于点D，E．在绕O点顺时针旋转过程中，有如下三个结论： 结论I：； 结论II：四边形的面积始终为； 结论III：周长的最小值为9． 对于结论I，Ⅱ和Ⅲ，下列判断正确的是（ ） A. 只有I对 B. 只有Ⅰ和Ⅱ对 C. 只有Ⅰ和Ⅲ对 D. I，Ⅱ和Ⅲ都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；连接，作于点H，作于点M，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，则可对I进行判断；利用得到四边形的面积，则可对Ⅱ进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对III进行判断． 【详解】解：连接，作于点H，作于点M，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵点O是等边的内心，同时也是外心， ∴分别平分和， ∴， ∴，即， 而，即， ∴， 在和中， ∴， ∴，故I正确； ∴， ， ， ， ， ∴四边形的面积，故Ⅱ错误； ， ， ， ， ， ∵， ∴的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， ， ， ∴周长的最小值，故III正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________． 【答案】② 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 14. 已知，代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，把所求式子可变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为： 16. 如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程； （1）先分别化简，再继续计算即可； （2）先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）整理得， 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 18. 如图，在边长为1个单位长度正方形网格中，A，B是正方形网格的格点． （1）过A，B两点画一条数轴，并标出原点O的位置，使点A表示2，点B表示； （2）在所画数轴上画出表示，，的点； （3）借助网格在数轴上画出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了实数与数轴，绝对值，算术平方根，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点A表示2，点B表示画出数轴即可； （2）首先计算绝对值和算术平方根，然后所画数轴上画出各点即可； （3）以点O为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴的交点即为所求表示的点． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：，， 如图所示； 【小问3详解】 解：如图所示，点E即为所求； ∵， ∴ ∴ ∴点即为所求表示的点． 19. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． （1）若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； （2）若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． （1）根据“好分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：分式（m，为常数）是一个“好分式”， 它的“好整式”为， ， ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：分式的“好整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“好分式”． 21. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】（1）见解析； （2）该飞镖状图案面积是； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 则． 【小问2详解】 解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． 【小问3详解】 解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 22. 某公司拟在甲、乙两个街区投放一批共享单车，这批共享单车包括两种不同款型．请回答下列问题： （1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放两种款型的共享单车各50辆，投放成本共计7500元，其中种款型的共享单车的成本单价比种款型的共享单车高10元．两种款型的共享单车的成本单价各是多少？ （2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放辆共享单车，乙街区每1000人投放辆共享单车．按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆．如果甲、乙两个街区共有15万人，试求的值． 【答案】（1）两种款型的共享单车的成本单价分别是70元和80元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设种款型的共享单车的成本单价是元，则种款型的共享单车的成本单价是元，根据投放两种款型的共享单车各50辆，投放成本共计7500元，列出方程，解方程即可； （2）根据甲街区每1000人投放辆共享单车，乙街区每1000人投放辆共享单车．甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，甲、乙两个街区共有15万人，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设种款型的共享单车的成本单价是元，则种款型的共享单车的成本单价是元． 由题意，得， 解得， ． 故两种款型的共享单车的成本单价分别是70元和80元． 【小问2详解】 解：由题意，得． 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 23. 如图是盼盼家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ①的度数； ②求乙房间的宽． 【答案】（1）米 （2）①；②米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，求出的长，根据直角三角形的性质，得到，由此可证得，求得的长，即可求出甲房间的宽； （2）①由已知可直接求得答案； ②过点N作，垂足为C，先证明是等边三角形，然后证明，得到米，即得答案． 【小问1详解】 在中，米，米， 米， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， 米， 米， 甲房间的宽为米； 【小问2详解】 ①，， ， 的度数为； ②过点N作，垂足为C， ， 由题意得， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米， 乙房间的宽为米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 24. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①同意，理由见解析；②3 （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，没有平方根的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7 2. 要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（ ） A. + B. － C. D. 3. 已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 4. 下列式子正确是（ ） A. B. C. D. 5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 垂直平分线 6. 若，则的整数部分是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点C逆时针旋转得到（点A，B的对应点分别为D，E），点E恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为（　 　） A. B. C. D. 11. 老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A. 甲、丁 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 12. 等边三角形边长为6，点O是三个内角平分线的交点，，的两边与分别交于点D，E．在绕O点顺时针旋转过程中，有如下三个结论： 结论I：； 结论II：四边形的面积始终为； 结论III：周长的最小值为9． 对于结论I，Ⅱ和Ⅲ，下列判断正确是（ ） A. 只有I对 B. 只有Ⅰ和Ⅱ对 C. 只有Ⅰ和Ⅲ对 D. I，Ⅱ和Ⅲ都对 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________． 14. 已知，代数式的值为_______． 15. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 16. 如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，A，B是正方形网格的格点． （1）过A，B两点画一条数轴，并标出原点O的位置，使点A表示2，点B表示； （2）在所画数轴上画出表示，，的点； （3）借助网格在数轴上画出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． （1）若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为，求m，n的值； （2）若“好分式”的“好整式”为，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 21. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 22. 某公司拟在甲、乙两个街区投放一批共享单车，这批共享单车包括两种不同款型．请回答下列问题： （1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放两种款型的共享单车各50辆，投放成本共计7500元，其中种款型的共享单车的成本单价比种款型的共享单车高10元．两种款型的共享单车的成本单价各是多少？ （2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放辆共享单车，乙街区每1000人投放辆共享单车．按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆．如果甲、乙两个街区共有15万人，试求的值． 23. 如图是盼盼家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ①的度数； ②求乙房间的宽． 24. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$