精品解析：广东省广州市真光中学2025-2026学年高三上学期开学考阶段测试数学试卷

广州市真光中学2025学年第一学期开学考阶段测试 高三数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（ ） A. 28 B. 27 C. 23 D. 14 3. 将向量的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量，从的终点处分别作向量的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与共线的两个向量之和，即. 问题: 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若（），则（    ） A. B. C. D. 4. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 图像关于直线成轴对称 5. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ） A. 96π B. 84π C. 72π D. 48π 8. 已知正实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列说法正确的是（ ） A. 用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个. B. 若二项展开式，则 C. 样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D. 用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 10. 已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. Q是线段的一个三等分点 D. 11. 已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是（ ）（提示：，） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________． 13. 已知等比数列共有10项，其和为80，且偶数项的和比奇数项的和大60，则公比_____. 14. 有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望_____ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项均不为零，，前n项和满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前n项和. 16. 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03. （1）从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； （2）用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，记随机变盘，求 的期望值 17. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 18. 设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. （1）求椭圆C的方程; （2）当 时，求点N的坐标； （3）当 时，求直线的方程. 19. 已知函数和各有两个零点. （1）求的取值范围； （2）若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和 分别为和的“完美点”. （i）比较与 的大小； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2025学年第一学期开学考阶段测试 高三数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解对数函数定义域，化简集合A，然后再进行补集和交集的运算得答案． 【详解】函数有意义，则，即，∴， ，. 故选：A 2. 声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（ ） A. 28 B. 27 C. 23 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，再代入数据进行对数运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则, 由题知, 所以. 故选：. 3. 将向量的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量，从的终点处分别作向量的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与共线的两个向量之和，即. 问题: 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若（），则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，通过坐标运算即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个格子长度为1， 则， 由得， 解得， 所以. 故选：B. 4. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 图像关于直线成轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可． 【详解】解：函数， 当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确； 函数的最小正周期为，所以A错误； 当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误． 故选：B． 5. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件得到的一个周期为4，从而求出答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得且， 由，得，又，得， 得，故，所以的一个周期为4， 则，A正确. 故选：A. 6. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径.  因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： .  因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 7. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ） A. 96π B. 84π C. 72π D. 48π 【答案】B 【解析】 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 8. 已知正实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解. 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 则下列说法正确的是（ ） A. 用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个. B. 若二项展开式，则 C. 样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D. 用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用分类加法原理与分步乘法原理，根据偶数的特性，可得其正误；对于B，对等式两边分别求导，利用赋值法，可得其正误；对于CD，根据相关系数以及残差的相关概念，可得其正误. 【详解】对于A，由三位偶数可知个位只能选， 当个位选时，没有重复数字的三位数有个， 当个位选或时，没有重复数字的三位数有个， 则共有个，故A正确； 对于B，对两边求导， 可得， 令，可得，故B正确； 对于C，根据相关系数的概念，易知C正确； 对于D，当残差平方和越小时，拟合程度越好，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. Q是线段的一个三等分点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可. 【详解】如图，由抛物线的定义， 对于A，得，，又，则，A正确； 对于B，由，，得，所以. 而，所以，所以， 可知，所以，B正确； 对于D，在中，，可知，所以，D正确； 对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确. 故选：ABD. 11. 已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是（ ）（提示：，） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用降幂公式可得A选项，利用三角形性质和倍角公式可判断B，由A可判断C，由，转化为边，利用余弦定理和基本不等式可判断D. 【详解】因为，所以, 整理可得, , 化简可得， 又，所以，A正确. ，B错误. 由可得， 因为，所以，C正确. 由B选项可得，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又因为在单调递减，所以，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与相切，确定的值，再根据直线与相切，确定的值. 【详解】因为与相切. ，设切点坐标为，则切线方程为. 因为切线过原点，所以：，故切点为，所以. 对函数，，由， 根据得切点纵坐标为：， 根据得切点纵坐标为：， 由，又由题可知. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：先根据的切线过原点，求出的值；求时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解. 13. 已知等比数列共有10项，其和为80，且偶数项的和比奇数项的和大60，则公比_____. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列偶数项的和及奇数项的和即可得解. 【详解】依题意，，解得， 所以公比. 故答案为：7 14. 有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过对面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望_____ . 【答案】 【解析】 【分析】确定时6个人共有的握手方法，确定Y的值，求出分布列，根据期望公式，即可求得答案. 【详解】当时，共有6人围坐在圆桌旁，不妨按顺时针方向标记为， 用表示i和j握手， 若1和2握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和6握手，则6人共有两种握手方法，即和； 若1和4握手，则6人共有一种握手方法，即， 故当时，共有5种握手方法； 由题意可知Y的取值可能为， 时，握手方式为：和以及， 此时； 则时，握手方式有2种，此时； 故Y的分布列为： Y 2 3 P 则， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项均不为零，，前n项和满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，求得，从而证得数列是等差数列. （2）先求得，然后利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 依题意，，，， ， ， 两边除以得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以. 16. 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03. （1）从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； （2）用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，记随机变盘，求的期望值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）全概率公式可得零件为次品的概率，然后由条件概率公式可得该零部件是甲工厂生产的概率； （2）由题结合（1），可得满足二项分布，然后由，可得.法1，由题可得的可能值，据此可得期望.法2，由二项分布期望公式可得答案. 【小问1详解】 设零件由甲工厂生产为事件，零件由乙工厂生产为事件，零件为次品为事件B，则由题，，，. 则. 则若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率为： ； 【小问2详解】 由（1），结合题意可得，因，则. 法1，因的可能值为0，1，2，3，则的可能值为：-3，-1，1，3. 根据题意，， ， ， . 则； 法2，由二项分布均值公式：， 则. 17. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. （1）求椭圆C的方程; （2）当 时，求点N的坐标； （3）当 时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可； （2）可设，根据向量的数量积坐标运算即可求出点的坐标； （3）向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程. 【小问1详解】 点、分别是椭圆的左、右焦点，，， 椭圆上的点到点的距离的最小值为，， 解得，椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，， 由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，， ，， ，，即， 解得，，； 【小问3详解】 向量与向量平行，，由题意， 又，，即， 设，，，，， ，， ， ，，， ， ，，， 解得，或（舍去）， ， ，， ，直线的方程为， 即为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算及斜率公式，解题的关键是利用向量的共线的运算的坐标运算及模的坐标公式求解点N的坐标，简化了运算过程，属于较难题. 19. 已知函数和各有两个零点. （1）求的取值范围； （2）若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和 分别为和的“完美点”. （i）比较与 的大小； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）因为，故. 又， 设，则， 当时，，单调递增， 故，即， 故. 设， 则，且，，且当时，，单调递增， 故当时，至多只有一个极值点，且为极小值点. 因为，且， 当，且时，， 单调递增，故，. 所以当时，，即. 又因为，故. 【解析】 【分析】（1）先把 、的零点问题转化为、的零点问题.通过求导得出、单调性，确定其值域.根据有两个零点得出范围，再结合性质，确定在该范围也有两个零点，进而得到取值范围. （2）（i）设出 、零点，构造，求导分析其单调性.根据单调性比较与大小，得出零点大小关系，从而比较与 大小. （ii）利用范围得到范围，构造，求导分析单调性，得出与大小关系，得到范围.再构造，求导分析单调性和极值点，结合单调性，比较、、大小. 【小问1详解】 由，，得，， 则，的零点等价于，的零点. ，， 当时，易知，均在区间单调递增，且在单调递减， 故当时，， 当时，， 若有两个零点，则，即. 当时，，当时，，且， 故当时在区间和各恰有一个零点. 综上，若，各有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 【小问2详解】 （i）不妨设和的两个零点分别为，和，， 则，，且，. 设，则， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，，单调递增， 故当时，， 即，当时，，即. 故，，同理有， 故，即. 故答案为：. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $