精品解析：广东省茂名祥和中学2024-2025学年上学期期末九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．试卷共6页． 2．考试时间共120分钟．满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对有理数的加减运算法则的应用，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．根据有理数的加减运算法则求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 5. 如图，在矩形 中，对角线与 相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，，，则 ， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中 不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 若 是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把 代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 7. 已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了反比例函数的增减性，求出点A、B、C所在的象限是解题的关键．根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 点在第一象限，点在第三象限． ． ， ． 故选：D． 8. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．根据垂径定理推出，推出，再由即可解决问题． 【详解】是直径，， ， ， ， ， 故选：C． 9. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知， 的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知， ，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形 ，测得，则该菱形的边长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由周长的计算即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴． 故答案为：13． 13. 已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为，由弧长公式求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为 ，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数经过点 ∴关于x的一元二次方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，点P是 内一点，过点P分别作直线平行于 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则 的面积是______． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为 ，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得， ，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为 ， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简与减法运算，特殊三角函数值，先计算乘方，化简二次根式，绝对值，代入特殊三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在四边形 中，， 是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段 的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，分别以、 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线． （2）先利用垂直平分线的性质得到 且，再由得出内错角相等，通过角边角定理证明三角形全等，得到，结合 证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形来证明． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的线段 的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ， ∴， ∵， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及菱形的判定定理是解题的关键． 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由 乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为： （名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为： ， 故答案为：50， ； 【小问2详解】 解：D的人数为： （人） ∴C的人数为： （人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为 ，点 是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与 所成的． （1）如图②，当支撑点在水平线 上时，直接写出 的长； （2）如图，当 与 保持平行时，求前后两轴心 的长度． （参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点 作于点 ，过点作于点 ，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， 由题意可知：，点 是的中点，，， ， ， 在 中，， ； 【小问2详解】 解：过点 作于点 ，过点作于点 ， ， 由题意知 ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 在 中，，， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 20. 近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题． 材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道． 材料2：当售价为60元时，每天可销售40，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元． （1）若三个大棚的面积是1400，求道路的宽度； （2）当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）1米 （2）售价定为50元时利润最大，为1800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设通道的宽为米，根据矩形面积公式建立方程即可； （2）售价定为元，利润为 元，得到 关于的二次函数，再利用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（舍去）或， 答：通道的宽为1米； 【小问2详解】 解：设售价定为元，利润为 元 则由题意得：， 化简得： ， ∵， ∴当 时，利润最大，为元． 21. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像略 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当 时，， ∴， 解得 ， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得 ， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是 ． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1， 中，点D是 边上一点，连接，若， 则称点D是 中 边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是 中 边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3， 是的内接三角形，点H在上，连接 并延长交于点D．点H是 中边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①详见解析；②；（3）①详见解析；② 【解析】 【分析】（）将代入计算即可； （2）①如图，取格点，连接 交于 ，点 即为所求； ②利用面积法求出，利用勾股定理求出，然后代入求解即可； （）①证明可得，再根据点 是 中边上的“射影点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证； ②连接，由可得 ，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． 故答案为：4； （2）①取格点K，连接 交于M，如图，点M即为边上的一个“射影点”． ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M是边上的一个“射影点”； ②∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． （3）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H是 中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：连接，如图： 由①知，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴为的直径， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 ，不重合），过点 作轴于点F，交直线 于点，连接 ， ①连接，当的面积为时，求点 的横坐标； ②直线 能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由． （3）若 为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点 的坐标． 【答案】（1） （2）①的面积为时，点 的横坐标为1或4；②能，当点 的坐标为或时，直线 把分成面积之比为的两部分 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线 的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的 点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的 点坐标． 【小问1详解】 解：（1）将代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为． 【小问2详解】 设直线 的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线 的解析式为， ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点 的横坐标为1或4． ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线 把分成面积之比为的两部分． 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．试卷共6页． 2．考试时间共120分钟．满分为120分． 3．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 4．保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 7. 已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的直径 垂直于弦 ，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=____． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形 ，测得，则该菱形的边长为______． 13. 已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为，则该扇形的面积为______． 14. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 15. 如图，点P是 内一点，过点P分别作直线平行于 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则 的面积是______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在四边形 中，， 是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段 的垂直平分线 ， 分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 18. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆 的长为 ，点 是 的中点，前支撑板，后支撑板，车杆 与 所成的． （1）如图②，当支撑点 在水平线 上时，直接写出 的长； （2）如图，当 与 保持平行时，求前后两轴心 的长度． （参考数据：） 20. 近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题． 材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道． 材料2：当售价为60元时，每天可销售40，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元． （1）若三个大棚的面积是1400，求道路的宽度； （2）当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润． 21. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘 中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点 的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点 的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点 的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1， 中，点D是 边上一点，连接，若， 则称点D是 中 边上的“射影点”． 【构建联系】 （1）在图1中，若点D是 中 边上的“射影点”，且，则______． 【理解应用】 （2）如图2，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点在网格图的格点上． ①请仅用直尺画出 边上的一个“射影点”； ②在①的基础上求得的值为______． 【深入探究】 （3）如图3， 是的内接三角形，点H在 上，连接 并延长交于点D．点H是 中 边上的“射影点”． ①求证：； ②若，的半径为r，且，求的值． 23. 综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点 在点的左侧），与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 ，不重合），过点 作轴于点F，交直线 于点 ，连接 ， ①连接 ，当的面积为时，求点 的横坐标； ②直线 能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由． （3）若 为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $