2026年9月辽宁沈阳市虹桥初级中学九年级数学竞赛卷（一）

虹桥中学九年级竞赛卷（一） 出题人SH,审稿人SL 一.选择题（共10小题，每题4分) 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.X412=0 C.（x-1)(x+2)=1 D.(x-1)2=x2+3 2.已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为() A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 3.用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是（ A（量)2-贵 B.(x-3)21 4’2 c.(x)28 4 4 4.若关于×的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（) A号 B.K< C.k<号且k≠0D.k<2且k≠0 ? 5.已知x2-3x+1=0,依据下表，它的一个解的范围是( 2.5 2.6 2.7 2.8 x2-3x+1 0.25 0.04 0.19 0.44 A.2.5<x<2.6 B.2.6<x<2.7 C.2.7<x<2.8 D.不确定 6.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意， 可列方程为() A合x(x-1)-36 B.1x(x+1)=36 C.x(x-1)）=36 D.x（x+1)=36 7.已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2-5x+6=0的两个根，则此直角三角形斜边长是() A.√13 B.√5 C.13 D.5 8.矩形，菱形，正方形都具有的性质是() A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 第1页（共12页） D.对角线互相垂直 9.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么CH 的长是( G H E A.5 B.V5 c.32 D.2 2 2 10.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C处，点B落在点B处，其 中AB=9,BC=6,则△DFC'的周长为() B A.9 B.10 C.11 D.12 二.填空题（共10小题，每题4分） 11.一元二次方程2x2+3=7x的解是X1= ,X2= 12.将方程3x2+2(x-3)=0化成一元二次方程的一般形式后，则常数项与二次项系数的商为 13.已知x1,2是一元二次方程x2-8x=0的两根，则x1+x2= 14.如图，小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒， 他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形 边长为xcm,则可列出关于x的方程为 15.已知×=a是一元二次方程x2+3x-4=0的一个实数根，则代数式2a2+6a的值为 16.读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一.据统计，某书院对外开放的 第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次 的月平均增长率为x,则可列方程为 第2页（共12页) 17.已知x+y=3,则代数式-x2+y49x-2的最大值为 18.设a,b为一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根，则a3-a2+a+2026b的值为 19.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12,AC=16,点E是CD边上的一动点，过 点E作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为 D G B 20.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AF,DE相交于点M,G为BC上一点， N为EG的中点.若BG=3,CG=1,则线段MN的长度为 0 M ⊙ G C 三.解答题（共2小题，每题10分） 21.如图，矩形ABCD,AB=16cm,BC=6cm,动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直 到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动. (1)何时点P和点Q之间的距离是10cm? (2)何时四边形APQD为矩形？ y D 第3页（共12页） 22.2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注： 利润=销售价-进货价) 类别 A款钥匙 B款钥匙 价格 扣 扣 进货价（元/件) 30 25 销售价（元/件 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数： (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货 价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最 大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经 调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均 每天销售利润为90元？ 第4页（共12页) 虹桥中学九年级竞赛卷一 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题)》 题号 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B A C B 0 一，选择题（共10小题)》 1.【答案】C 【解答】解：A.当a=0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B.方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.(x-1)(x+2)=1, 整理得：x2+x-3=0,方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D.（x-1)2=x2+3, 整理得-2x+1=3,方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意. 故选：C 2.【答案】B 【解答】解：把x=1代入(m-2)x2+4x-m2=0得： m-2+4-m2=0, -m2+m+2=0, 解得：m1=2,m2=-1, (m-2)x2+4x-m2=0是一元二次方程， .m-2≠0， .m≠2， .m=-1, 故选：B. 3.【答案】A 【解答】解：原方程移项可得： 2x2-3x=1, 第5页（共12页） x23x+9-1,9 2x+162+16 217 故选：A. 4.【答案】D 【解答】解：关于x的一元二次方程x2-2x+3=0, k≠0 ·方程有两个实数根， .△=(-2)2-4k×3≥0， 解得ks 3 k的取值范围是k≤上且k≠0， 3 故选：D 5.【答案】B 【解答】解：由x=2.6时，x2-3x+1=-0.04<0, X=2.7时，x2-3x+1=0.19>0, 所以当x取2.6一2.7之间的某一个数时，x2-3x+1=0, 即x2-3x41=0的一个解的范围是2.6<x<2.7. 故选：B 6.【答案】A 【解答】解：根据题意得： 1x(x-1)=36 故选：A. 7.【答案】A 【解答】解：方程x2-5x+6=0, 分解因式得：（x-2)(x-3)=0 解得：x=2或x=3, 根据勾股定理得：斜边为√22+32=√13】 故选：A. 8.【答案】C 【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分.故选：C. 第6页（共12页) 9.【答案】B 【解答】解：，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3, ∴AD=AB=BC=1,CE=EF=3,∠E=90°， 延长AD交EF于M,连接AC、CF, H D 则AM=BC+CE=1+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,∠AMF=90°， 四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， .∠ACD=∠GCF=45°， .∠ACF=90°， H为AF的中点， ..CH=LAF, 2 在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5， .CH=√5， 故选：B. 10.【答案】D 【解答】解：将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠， .CF=C'F,AB=CD=9,BC=AD=6, :点C落在AD边的中点C处， ∴CD=3, ∴.△DFC的周长=CF+DF+CD=CD+CD=9+3=12 故选：D 二.填空题（共10小题） 11.【答案】1；3 2 【解答】解：整理得：2x2-7x+3=0, 分解因式得：（2x-1)(x-3)=0, 第7页（共12页） 可得2x-1=0,X-3=0, 解袋：为 ,X2=3. 故答案为：1；3. 12.【答案】-2. 【解答】解：3x2+2(x-3)=0, 3x2+2x-6=0, 所以常数项是-6，二次项系数是3， 商为6=2， 3 故答案为：-2 13.【答案】8 【解答】解：x1,X2是一元二次方程x2-8x=0的两根， …X1+X2=8. 故答案为：8 14.【答案】（11-2x)(7-2x)=21. 【解答】解：由题意可得：(11-2x)(7-2x)=21, 故答案为：(11-2x)(7-2x)=21. 15.【答案】8. 【解答】解：a是一元二次方程x2+3x-4=0的一个实数根， .a2+3a-4=0, ∴.a2+3a=4, ∴.2a2+6a=2（a2+3a）=8 故答案为：8 16.【答案】600+600(1+x)+600(1+×)2=2850 【解答】解：该书院对外开放的第一个月进书院600人次，且进书院人次的月平均增长率为x, ,第二个月进书院600(1+x)人次，第三个月进书院600(1+x)2人次 根据题意得：600+600(1+x)+600(1+x)2-2850 故答案为：600+600(1+x)+600(1+x)2=2850 17.【答案】17 【解答】解：x+y=3, 第8页（共12页） y=3-X, .-x2+y+9x-2=-x2+3-X49x-2=-x2+8x41=-(x-4）2+17, 当x=4时，该式有最大值为17， 故答案为：17。 18.【答案】2026 【解答】解：因为a,b为一元二次方程x2-×-2025=0的两个实数根， 所以a2-a-2025=0,a+b=1, 则a2+a=2025 所以a3-a2+a+20266=a(a2-a）+a+2026b-2025a+a+2026b=2026(a+b）=2026×1=2026. 故答案为：2026. 19.【答案】4.8 【解答】解：如图，连接OE 四边形ABCD是菱形，AC=16,BD=12, ..ACLBD,AD=DC,OC=OA=8,OB=OD=6 .∠C0D=90°， ∴CD=V0C2+0D2=V82+62=10 :EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G, .∠EF0=∠EG0=90°， .四边形OGEF是矩形， ∴.OE=GF 当OE⊥DC时，GF的值最小， 此时，S%0c=oD:0C=DC-0E, ∴.ODOC=DCOE, .6×8=10OE .OE=4.8, FG的最小值为4.8， 故答案为：4.8 第9页（共12页) D G B 20.【答案】17 2 【解答】解：连接DG,EF, :四边形ABCD是正方形， ·AB=CD,AB∥CD,∠BAD=90°， 又点E,F分别是AB,CD的中点， ∴.AE=DF且AE∥DF, ∴.四边形AEFD是矩形， M是ED的中点， 在正方形ABCD中，BG=3,CG=1, ∴.BC=DC=4, 在Rt△DGC中，由勾股定理得 DG=VDc2+C2=√42+12=√17 在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点， MN是三角形EDG的中位线， ÷MW=1DG=V17 2 2 故答案为：17 2 M E F ⊙ 三.解答题（共2小题） 第10页（共12页） 21.【答案】(1)8秒或24秒时点P和点Q之间的距离是10cm: 5 5 (2)当16秒时四边形APQD为矩形. 5 【解答】解：(1)如图1，过点Q作QN⊥AB于点N, 设当t秒时PQ=10cm, 则QC=2t,PN=16-5t, 故62+(16-5t)2=100 解得：t1=8,2=24 5 答：8秒或24秒时点P和点Q之间的距离是10cm: 5 (2)如图， Q C 当四边形APQD为矩形，则AP=DQ, 即3t=16-2t 解得：t-16 答：当16秒时四边形APQD为矩形. D N..... B 图1 22.【答案】(1)A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件 (2)当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080 元 第11页（共12页） (3)将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.， 【解答】解：（1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 依题意得： x+y=30 30x+25y=850 解得： x=20 y=10 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥匙扣， 依题意得：30m+25(80-m)≤2200， 解得：m≤40 设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w=(45-30)m+(37 -25)(80-m)=3m+960. .3>0 ..w随m的增大而增大， ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080，此时80-m=80-40=40. 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080 元 (3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a-25)元，平均每天可售出4+2(37 a)=(78-2a)件， 依题意得：(a-25)(78-2a)=90 整理得：a2-64a+1020=0, 解得：a1=30,a2=34 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元. 第12页（共12页）