第23章 旋转（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年人教版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第23章 旋转 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，等腰直角三角形中，，，将绕C顺时针旋转，得到，连结，过点A作交延长线于点H，连结，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 5．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，将绕点A旋转得到，且点E落在上，连接，则的度数为 ． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，的度数为 ． 15．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 16．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为 ． 17．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，，点E在上，且，点D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当时，点F到的距离为 ． 18．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点O对称的； (2)在图2中，作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； (2)作关于坐标原点成中心对称的； (3)的坐标_________，的坐标_________． 21．（本题8分）如图，在中，已知点，，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的． 22．（本题8分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 23．（本题8分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，将绕点A顺时针旋转到位置，点F落在边上，过D作于E．求证：． 24．（本题8分）（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 25．（本题10分）（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 26．（本题10分）（24-25九年级上·贵州遵义·期中）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)如图①，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，即可实现边的关系的转化．经过推理计算_____．请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． (2)【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； (3)如图③，在中，，，点在内，且，，，求的长． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第23章 旋转 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·贵州黔西·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，理解其定义与区别是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【规范解答】解：A：此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B：此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C：此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D：此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 【答案】D 【思路引导】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解． 【规范解答】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意     B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意 C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意     D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，等腰直角三角形中，，，将绕C顺时针旋转，得到，连结，过点A作交延长线于点H，连结，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【规范解答】解：∵将绕点C顺时针旋转，得到， ， ，     ， ， ， ， ∴的度数是定值， 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且点A与点B关于原点对称，，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【思路引导】本题先根据关于原点对称的点的坐标特征，得出点与点坐标的关系，再结合已知条件，求出的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【规范解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴，． ∵， ∴． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，P是正内一点，将绕点B旋转到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点旋转到， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D，当旋转角为，A，D，E三点在同一直线上时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案． 【规范解答】解：由旋转可知，， ∴． 故选：C． 7．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题围绕图形旋转，结合等腰直角三角形、等边三角形的性质，通过连接辅助线 ，利用角的和差关系求解的度数．解题思路为：先由旋转性质得出且，判定为等边三角形；再结合是等腰直角三角形，求出相关角的度数，最终通过角的组合算出 ． 【规范解答】解：连接， 绕点逆时针旋转得到 ， 是等边三角形 ， 在中，， 是等腰直角三角形 ∵，，， ∴（） ∴ ∴ 故选： ． 【考点剖析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定及性质，等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握旋转前后图形的对应关系，以及特殊三角形的角度、边长性质，通过连接辅助线、，构建角的和差关系是解题关键． 8．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【规范解答】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 9．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵旋转角度， ∴，， ∵， ， ∴， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 【规范解答】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D 【考点剖析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，将绕点A旋转得到，且点E落在上，连接，则的度数为 ． 【答案】15 【思路引导】首先求出，然后由旋转的性质得到，，，然后利用等边对等角求出，进而求解即可． 【规范解答】如图所示， ∵，， ∴ ∵将绕点A旋转得到 ∴，， ∴ ∴． 故答案为：15． 【考点剖析】此题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【规范解答】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）点绕着原点逆时针方向旋转与点重合，则的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，过点作于，利用证明，得出，，即可得答案． 【规范解答】解：如下图，过点作于，过点作于， ∵， ∴，， ∵点绕着原点逆时针方向旋转与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为： 14．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，的度数为 ． 【答案】/88度 【思路引导】本题考查旋转的性质求角度，根据旋转可知，结合等腰三角形的性质和邻补角的性质可求出，最后根据求解即可．掌握旋转的性质是解题关键． 【规范解答】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【规范解答】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，线段最值的计算，掌握旋转的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理，旋转的性质得到的最小值为，最大值为，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵四边形都是边长为的正方形， ∴， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最小值为， 如图所示，正方形绕顶点旋转一周， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最大值为， ∴， ∴线段的长可取的整数值为或， 故答案为：或 ． 17．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是等边三角形，，点E在上，且，点D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当时，点F到的距离为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，旋转的性质，分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可，过点作，证明是等边三角形，得到，旋转得到，，进而得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【规范解答】解：当∵点在线段上时： 为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 过点作，则； ∴点F到的距离为； ②当点在射线上时，如图，作，作， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 18．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，，证明，进而可证，从而，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：3． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点O对称的； (2)在图2中，作绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查旋转作图，作中心对称图形，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，分别作出点B、C绕点A顺时针方向旋转得到对应点、，再顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所作； （2）解：如图2，即为所作； ． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的； (2)作关于坐标原点成中心对称的； (3)的坐标_________，的坐标_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题考查坐标与图形变换，旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据图形直接写出两个点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：． 21．（本题8分）如图，在中，已知点，，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了在坐标系中画图形的平移、旋转与轴对称图形，掌握相减变换的性质是解题的关键； （1）根据坐标系中点右移坐标加的特点，画出三个顶点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）根据关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定三个顶点关于x轴对称的坐标并描点，再依次连接即可； （3）根据坐标系中关于原点对称的点的特征：横纵坐标变为其相反数，确定三个顶点绕原点旋转后的坐标并描点，再依次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作． 22．（本题8分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转，三线合一，掌握知识点是解题的关键． 首先确定，，由将绕点C逆时针旋转得，可推导出，继而证明，则，即可解答． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定角． 23．（本题8分）（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，将绕点A顺时针旋转到位置，点F落在边上，过D作于E．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定，熟练掌握这些性质和判定是关键．根据矩形的性质和旋转得到，再找到相等元素证明，得到，再利用等式的性质即可获证． 【规范解答】证明：由旋转得：， 四边形是矩形， ，， ，， ，四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ． 24．（本题8分）（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．    (1)证明：； (2)证明：的延长线经过点B． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）如图：连接，由旋转的性质可得，然后根据矩形的性质和等腰三角形即可证明结论； （2）如图：延长交于点，由旋转的性质可得、，矩形的性质可得、．再证可得，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：连接， 由旋转性质得， 又∵在矩形中，， ∴； （2）解：延长交于点，    由旋转性质得，，， 在矩形中，，， 由（1）得， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴点与B重合． ∴的延长线经过点B． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25．（本题10分）（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【答案】(1)， (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，；再利用线段的和差可得； （2）运用等腰直角三角形的性质证明可得、；如图：设与、分别交与O，F，结合运用三角形内角和定理可得，即． 【规范解答】（1）解：，，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，． ∴，， ∴，即． （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，． ∴，即， ∴， ∴，， 如图：设与、分别交于O，F， ∵ ， ∴，即． 26．（本题10分）（24-25九年级上·贵州遵义·期中）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)如图①，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，即可实现边的关系的转化．经过推理计算_____．请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． (2)【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； (3)如图③，在中，，，点在内，且，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，证明是等边三角形，求出，根据勾股定理求出结果即可； （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，求出，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据勾股定理列出方程，求出，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理求出，证明，求出，根据勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接， 则，，，， 是等边三角形， ，， ， ； （2）解：将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，如图①所示， 则，，， 是等边三角形， ，， 又，， ，， ， ， 即， ， ，即， ，负值舍去， ， ． （3）解：如图②，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接， 则，，，， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，，三点共线， ， 在中，． 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$