专题23.4 旋转（章节复习）知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题23.4 旋转（章节复习） （知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转 2 知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称 3 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：旋转中的规律性问题 4 考点2：根据旋转的性质求解 5 考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等 5 考点4：旋转的性质及辨析 7 考点5：画旋转图形 8 考点6：利用旋转设计图案 9 考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标 10 考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 10 考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 11 考点10：坐标与旋转规律问题 12 考点11：线段问题（旋转综合题） 14 考点12：面积问题（旋转综合题） 16 考点13：角度问题（旋转综合题） 17 考点14：其他问题（旋转综合题） 18 考点15：坐标系中的旋转 19 考点16：成中心对称 20 考点17：画已知图形关于某点对称的图形 21 考点18：画两个图形的对称中心 22 考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 23 考点20：中心对称图形的识别 24 考点21：判断中心对称图形的对称中心 25 考点22：中心对称图形规律问题 26 考点23：求关于原点对称的点的坐标 27 考点24：已知两点关于原点对称求参数 29 考点25：判断两个点是否关于原点对称 30 考点26：按图形的变换要求画出另一个图形 30 考点27：按图形的变换要求画出另一个图形 31 考点28：分析图案的形成过程 32 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 38 知识点梳理01：旋转 1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的一个点经过旋转变为另一个点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　 (3)旋转前、后的图形全等. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 【要点提示】（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【要点提示】(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比 　 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等． 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换． 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换． 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换． 图形 要素 平移方向、平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角． 对应线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等． 考点1：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，于，若，，则线段的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 考点2：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·一模）如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（21-22九年级上·江西上饶·期末）如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（   ） A．△ABC各边的中点都可通过网格确定； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上． 【变式训练】（2021·甘肃白银·一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到　 　，再证明　 　，可得出结论，他的结论应是　 　． 拓展延伸： 如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明． 考点4：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形， (1)在CB延长线上存在一点G，使绕着A点逆时针旋转后能与重合，请在图上画出； (2)证明：． 【变式训练】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)填空：是___三角形，它的面积等于____平方单位． (2)将绕点B顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的，则点的坐标是（_____，____），点的坐标是（_____，____）． 考点5：画旋转图形 【典例精讲】阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 【变式训练】如图，将甲图经图形变换变到乙图，下列说法错误的是（ ） A．可以通过旋转和平移实现 B．可以通过旋转和轴对称实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 考点6：利用旋转设计图案 【典例精讲】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，则点的坐标为__________； (2)将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)若上述通过旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______________． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标为 ． 考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 考点10：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． (1)动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． (2)探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 【变式训练】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 考点11：线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【变式训练】（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．    (1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时： ①如图1，当时，与的数量关系为______； ②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由； (2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值． 考点12：面积问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【变式训练】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 考点13：角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【变式训练】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 考点14：其他问题（旋转综合题） 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图， 在菱形中， 点A 在x 轴上， 点 B 的横坐标为3，， 将菱形绕原点O 顺时针旋转， 若点C 的对应点是点，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 考点15：坐标系中的旋转 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 考点16：成中心对称 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．    (1)在图中，画出向左平移9个单位得到的； (2)在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的； (3)在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【变式训练】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点是坐标原点，，，请完成下列解答： (1)作出关于原点对称的，则A点关于原点O的对称点的坐标是_______，B点关于原点O的对称点的坐标是_______． (2)将（1）中得到的，绕点逆时针旋转，画出旋转后的，则点的对应点的坐标是_______． (3)在轴上求作一点P，使以O、、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的坐标是_______． 考点17：画已知图形关于某点对称的图形 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点O旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_______． 【变式训练】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 考点18：画两个图形的对称中心 【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·期末）（1）解方程：； （2）如图，与关于点成中心对称，若，，，求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例精讲】（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 考点20：中心对称图形的识别 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请画出关于原点对称的； (2)若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 【变式训练】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，中，，． (1)将各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得，画出； (2)将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，得，画出； (3)将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，得，画出； (4)在，，中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，对称中心的坐标是 ． 考点21：判断中心对称图形的对称中心 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． (1)绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)选择点为对称中心，画出与关于点对称的； (3)在轴上画出点，使得最小． 【变式训练】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 考点22：中心对称图形规律问题 【典例精讲】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【变式训练】（2022九年级上·全国·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 考点23：求关于原点对称的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，已知中，，，． (1)若与关于原点成中心对称，请直接写出点，，的坐标并在网格图中画出； (2)线段绕坐标原点逆时针旋转后点的坐标是_________． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆南岸·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移5个单位，再沿轴正方向平移2个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出，并求出的面积． 考点24：已知两点关于原点对称求参数 【典例精讲】（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴必有交点； (2)若该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，求m的值． 【变式训练】（21-22九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． (1)直接写出AC与y轴交点的坐标 　 　． (2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为 　 　． (3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． 考点25：判断两个点是否关于原点对称 【典例精讲】△ABC和 关于点O对称，下列结论不正确的是（ ）. A．AO＝ B．AB∥ ​ C．CO＝BO D．∠BAC＝∠ ​ 【变式训练】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 考点26：按图形的变换要求画出另一个图形 【典例精讲】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【变式训练】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 考点27：按图形的变换要求画出另一个图形 【典例精讲】将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ． 考点28：分析图案的形成过程 【典例精讲】（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【变式训练】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段AB为边画一个锐角，使其面积为6． （2）在图②中以线段CD为边画一个钝角，使其面积为6． 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 3．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 16．如图，正方形的边长为一个边长为的小正方形沿着正方形的边连续翻转(小正方形起始位置在边上)，当这个小正方形翻转到边的终点位置时，它的方向是（  ）    A．   B．   C．   D．   17．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ）      A．6 B．5 C．3 D．1 基础夯实 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是D，E，如果点B，D，C恰好在同一条直线上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，过点作直线，是边上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转交直线于点． （1）若，则的值为 ； （2）若，，，则的面积为 ． 4．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 培优拔高 6．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点D，求的度数（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E.当点D落在边上时，交于点F，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，点在射线上，过点作射线的平行线，与的平分线交于点，点在线段上（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：①； ②； (2)连接并延长，分别交，于点，．若，，求线段的长． 10．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）（1）【发现证明】如图，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______ ②如图，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______不要求证明； （3）【联想拓展】如图，若正方形的边长为，，求的长． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.4 旋转（章节复习） （知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转 2 知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称 3 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：旋转中的规律性问题 4 考点2：根据旋转的性质求解 6 考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等 8 考点4：旋转的性质及辨析 10 考点5：画旋转图形 13 考点6：利用旋转设计图案 15 考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标 18 考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 20 考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 22 考点10：坐标与旋转规律问题 25 考点11：线段问题（旋转综合题） 30 考点12：面积问题（旋转综合题） 36 考点13：角度问题（旋转综合题） 40 考点14：其他问题（旋转综合题） 45 考点15：坐标系中的旋转 48 考点16：成中心对称 50 考点17：画已知图形关于某点对称的图形 54 考点18：画两个图形的对称中心 58 考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 60 考点20：中心对称图形的识别 62 考点21：判断中心对称图形的对称中心 65 考点22：中心对称图形规律问题 68 考点23：求关于原点对称的点的坐标 71 考点24：已知两点关于原点对称求参数 73 考点25：判断两个点是否关于原点对称 76 考点26：按图形的变换要求画出另一个图形 77 考点27：按图形的变换要求画出另一个图形 80 考点28：分析图案的形成过程 81 中考真题 实战演练 83 难度分层 拔尖冲刺 97 基础夯实 97 培优拔高 102 知识点梳理01：旋转 1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的一个点经过旋转变为另一个点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　 (3)旋转前、后的图形全等. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点梳理02：特殊的旋转—中心对称 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 【要点提示】（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【要点提示】(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 知识点梳理03：平移、轴对称、旋转之间的对比 　 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等． 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换． 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换． 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换． 图形 要素 平移方向、平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角． 对应线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等． 考点1：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，于，若，，则线段的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等，构造全等三角形是解题的关键．先证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【规范解答】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． (1)直接写出旋转中心和旋转角； (2)若正方形的边长是1，直接写出的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角为 (2) 【思路引导】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； （2）解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 考点2：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（2025·广西南宁·一模）如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键． 根据矩形的性质得，再根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 矩形绕点逆时针旋转，得到矩形， ． 故先选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【规范解答】（1）解：和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； （2）证明：由（1）得：，， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，利用矩形的性质及旋转的性质证明是解题的关键． 考点3：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（21-22九年级上·江西上饶·期末）如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（   ） A．△ABC各边的中点都可通过网格确定； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上． 【答案】B 【思路引导】将△ABC绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答． 【规范解答】解：将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图， A．△ABC各边的中点都可通过网格确定，正确； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为⊙O的面积 S= ，故B错误； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形，正确； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上，正确． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】（2021·甘肃白银·一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到　 　，再证明　 　，可得出结论，他的结论应是　 　． 拓展延伸： 如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明． 【答案】（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见解析． 【思路引导】（1）结论：EF=BE+DF．证明△AFE≌△AFG（SAS）即可解决问题． （2）结论：GH2=AG2+CH2．将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．证明∠MAG=90°，△BGH≌△BGM（SAS）即可解决问题． 【规范解答】解：（1）结论：EF=BE+DF． 由旋转的性质可知：DG=BE，∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵∠EAF=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠FAG=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DF+DG=DF+BE， ∴EF=BE+DF． （2）结论：GH2=AG2+CH2． 如图：将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM． ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠C=45°， 由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠ABM=∠CBH， ∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°， ∵∠HBG=45°， ∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°-∠HBG=45°， ∴∠HBG=∠MBG， ∵BG=BG， ∴△BGH≌△BGM（SAS）， ∴GH=GM， ∵∠MAG=90°， ∴AM2+AG2=GM2， ∴GH2=AG2+CH2． 【考点剖析】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型． 考点4：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD是正方形， (1)在CB延长线上存在一点G，使绕着A点逆时针旋转后能与重合，请在图上画出； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是∶ （1）在CB延长线上取点G，使，连接即可； （2）先根据证明，得出，，结合角的和差关系可求出，然后根据证明即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）中作图知：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)填空：是___三角形，它的面积等于____平方单位． (2)将绕点B顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的，则点的坐标是（_____，____），点的坐标是（_____，____）． 【答案】(1)等腰直角， 5 (2)图见详解， 【思路引导】该题综合考查等腰直角三角形的判定，面积的计算及旋转变化坐标的求法；根据要求得到旋转变换后的图形是解决本题的关键． （1）求出各边长，那么可得该三角形是等腰三角形，进而根据勾股定理的逆定理可得该三角形是等腰直角三角形，面积为两个直角边积的一半； （2）根据旋转中心点，旋转方向顺时针，旋转角度画出相关图形可得相应坐标． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ， ， 故答案为：等腰直角， 5 ； （2）解：如图， 根据图象可得． 考点5：画旋转图形 【典例精讲】阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 【答案】（1）60°；180°；（2）72°；（3）如图所示，是中心对称图形．（答案不唯一）见解析. 【思路引导】（1）根据正六边形的边数，即可得到正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，依据中心对称的概念，即可得到中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； （2）依据360°÷5=72°，即可得到将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； （3）利用平移、轴对称或旋转变换，即可设计出中心对称图形． 【规范解答】（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； 故答案为60°；180°； （2）∵360°÷5＝72°， ∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； 故答案为72°； （3）如图5所示，是中心对称图形．（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换进行作图，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 【变式训练】如图，将甲图经图形变换变到乙图，下列说法错误的是（ ） A．可以通过旋转和平移实现 B．可以通过旋转和轴对称实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 【答案】D 【思路引导】结合图形特点可得甲图形变为乙图形可以经过旋转、平移或旋转、轴对称实现，从而可得出答案． 【规范解答】甲图形变为乙图形必须通过旋转变换， 所以D选项错误， 故选D． 【考点剖析】本题考查了几何变换的类型，属于基础题，掌握各几何变换的特点是解答本题的关键． 考点6：利用旋转设计图案 【典例精讲】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，则点的坐标为__________； (2)将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)若上述通过旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______________． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 (3) 【思路引导】本题考查画平移图形，画旋转后图形，确定旋转中心位置等． （1）根据题意先将三点坐标列出，再根据的坐标为，利用平移性质得出坐标，并在图中找出点坐标连接继而得到图形； （2）先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可； （3）依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心． 【规范解答】（1）解：由图可知，，，， ∵点的坐标为， ∴，， 将，，依次连接，如下图所示： ， 故答案为：； （2）解：）先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可，如下图所示： ； （3）解：依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心，如下图所示： ， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，根据所给图形，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解： ， 每旋转次，点的位置重复出现． 又 ， 第次旋转后点的位置与第次旋转后点的位置相同． 过点作轴，垂足为， ， ， 点坐标为， ． 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为． 故答案为：． 考点7：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：； （3）由旋转可知：， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 考点8：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【思路引导】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 【规范解答】解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点9：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法． 过C点作轴于H点，如图，先证明得到，，则，所以，由于，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，然后根据旋转的性质得到次旋转后点的坐标为，即可作答． 【规范解答】解：过C点作轴于H点，如图， ∵，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次 ∴ ∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转， 即把绕点顺时针旋转，得，过作轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第四象限 ∴点的坐标为 故选：B 【变式训练】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【规范解答】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、 同在一个象限内， 、、 的横坐标分别为、、 ，纵坐标分别为、、 ， ∴点， 故答案为：． 考点10：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． (1)动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． (2)探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)平行于且 (2)①；② 或 【思路引导】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【规范解答】（1）解： 、边的中为点、， 与的位置关系为平行，数量关系为， 平行于且等于的一半， 故答案为：平行于且． （2）解：（2）① ，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中为点、， ，， 的面积为； ② 、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时， 四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ； 当时，作于点， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ，，， ， ， 四边形为矩形； ， ， ， ； 综上所述，的长度为 或 ． 【考点剖析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 【变式训练】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【思路引导】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【规范解答】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 考点11：线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【思路引导】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【规范解答】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【考点剖析】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 【变式训练】（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．    (1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时： ①如图1，当时，与的数量关系为______； ②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由； (2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值． 【答案】(1)①②理由见解析③，理由见解析 (2)长的最小值是，最大值是 【思路引导】（1）①连接，由已知可证四边形是正方形，即可得；②连接，证明，即得；③由，知，故，四边形的面积始终保持不变； （2）由，，，，，，求出，，当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，此时线段长的最小值为；当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，此时线段长的最大值为． 【规范解答】（1）解：①，理由如下： 连接，如图：    ， 四边形是矩形， ，，为中点， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 故答案为：； ②，理由如下： 连接，如图：    ，，为中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ③，理由如下： ， ， ， 不变， 四边形的面积始终保持不变，即， 故答案为：； （2）如图：    ，，，，，， ，， 在中，， 当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，如图：    此时线段长的最小值为； 当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，如图：    此时线段长的最大值为， 答：长的最小值是，最大值是． 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点12：面积问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【思路引导】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【规范解答】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 【变式训练】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【答案】或 【思路引导】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 【规范解答】解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 考点13：角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【规范解答】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【考点剖析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式训练】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 考点14：其他问题（旋转综合题） 【典例精讲】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图， 在菱形中， 点A 在x 轴上， 点 B 的横坐标为3，， 将菱形绕原点O 顺时针旋转， 若点C 的对应点是点，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用参数构建方程解决问题. 作轴于H．设，利用勾股定理构建方程求出x，然后根据旋转的性质即可解答. 【规范解答】解：如图，作轴于H． ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ∴， 设， ∴，∶ ∵点B的横坐标为3， ∴ ∴ ∴， ∴, ∴点B的纵坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵, ∴点C和B的纵坐标相同， ∴, ∴将菱形绕原点O顺时针旋转， ∵根据旋转的性质，点C绕原点顺时针旋转后，点C的应点是点，其横、纵坐标交换，且纵坐标变为原来的相反数， ∴点坐标是， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【思路引导】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【规范解答】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【考点剖析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 考点15：坐标系中的旋转 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【规范解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)否 【思路引导】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 考点16：成中心对称 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．    (1)在图中，画出向左平移9个单位得到的； (2)在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的； (3)在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解 【思路引导】本题考查图形与坐标，图形的平移与旋转， （1）把向左平移9个单位即可； （2）以点O为对称中心，画出各个顶点的对称点，顺次连线即可； （3）根据平行四边形的性质，画出图形，即可得到P的坐标 【规范解答】（1）解：如图所示，    （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，    点P的坐标分别是 【变式训练】（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点是坐标原点，，，请完成下列解答： (1)作出关于原点对称的，则A点关于原点O的对称点的坐标是_______，B点关于原点O的对称点的坐标是_______． (2)将（1）中得到的，绕点逆时针旋转，画出旋转后的，则点的对应点的坐标是_______． (3)在轴上求作一点P，使以O、、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的坐标是_______． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析， (3)，，或 【思路引导】本题主要考查了中心对称、旋转变换、等腰三角形的定义、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据中心对称的性质确定点的位置，然后顺次连接，并确定点、的坐标即可； （2）根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接，并确定点的坐标即可； （3）设，分，，三种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：如下图，即为所求， 则A点关于原点O的对称点的坐标是，B点关于原点O的对称点的坐标是． 故答案为：，． （2）如下图，即为所求， 则点的对应点的坐标是． 故答案为：． （3）如下图， 由（2）可知，， 则， 设， 当时，可有，解得，即； 当时，可有，解得或（舍去）， 即； 当时，可有，解得，即； 当时，可有，解得，即或． 综上所述，满足条件的点P的坐标是，，或． 故答案为：，，或． 考点17：画已知图形关于某点对称的图形 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点O旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图-旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：与关于点Q中心对称，点Q的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向左平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【思路引导】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键； （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心； 【规范解答】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为； 故答案为：；． 考点18：画两个图形的对称中心 【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·期末）（1）解方程：； （2）如图，与关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】（1），；（2）． 【思路引导】（）利用因式分解的方法解出方程即可； （）由与关于点成中心对称，则，由性质可得，，，然后由勾股定理即可求解； 本题考查了解一元二次方程，中心对称图形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：（）， 或， ∴，； （）∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， 即． 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【思路引导】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接、，    ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 考点19：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例精讲】（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【思路引导】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． (1)四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； (2)若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】(1)是中心对称，图见详解 (2) 【思路引导】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 【规范解答】（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 考点20：中心对称图形的识别 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请画出关于原点对称的； (2)若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，点的坐标为． 【思路引导】本题考查了画中心对称图形、作图-平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． （1）根据关于原点对称的点的特征，先找出、、的位置，再依次连接即可； （2）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接、，它们的交点即为点，根据图形得出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图：    ∴的图形如图所示，，． （2）解：连接、，它们的交点即为点， ∵与关于点成中心对称， ∴由图可知，点的坐标为． 【变式训练】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，中，，． (1)将各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得，画出； (2)将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，得，画出； (3)将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，得，画出； (4)在，，中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，对称中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，x轴或直线， 【思路引导】（1）向右平移4个单位，分别画出再依次连接，即可作答． （2）结合，，．这三个点的纵坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答． （3）结合，，．这三个点的横坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答． （4）结合所作的图形，以及轴对称和中心对称的性质，即可作答． 本题考查了直角坐标系中图形的平移，轴对称，旋转与点的坐标的数量关系，形数结合，用 数字控制图形变换． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：结合图形与坐标 ∴在，，中，与成轴对称，对称轴是轴或直线；与成中心对称，对称中心的坐标是 考点21：判断中心对称图形的对称中心 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． (1)绕点顺时针旋转后得到，请画出； (2)选择点为对称中心，画出与关于点对称的； (3)在轴上画出点，使得最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【思路引导】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转，轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）分别确定关于点对称的对称点，再顺次连接即可； （3）作关于轴对称的对称点，连接与轴交于点点即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求作． 【变式训练】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）（1）解方程：； （2）如图，在由小正方形组成的网格图中建立平面直角坐标系，，的顶点均在格点上． ①点绕点逆时针方向旋转后的对应点的坐标为________． ②若和关于原点中心对称，画出． ③求的面积． 【答案】（1），； （2）①；②见解析；③． 【思路引导】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程、求绕原点旋转的点的坐标、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握相关作图方法． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，从而得到点的坐标； ②利用关于原点中心对称的点的坐标特征找到对应点，然后描点即可； ③根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：原方程可变为， ，； （2）解：①如图，，的坐标为． 故答案为：． ②如图，为所作． ③依图得：的面积为． 考点22：中心对称图形规律问题 【典例精讲】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【答案】 7 【思路引导】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【规范解答】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【考点剖析】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 【变式训练】（2022九年级上·全国·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)、的坐标分别为，； (3)；或或或． 【思路引导】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标； （2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标； （3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， 同理可得：，，，， 即点、的坐标分别为，， 故答案为：，； （3）解：，，，，，，，； 的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环， ， 的坐标与的坐标相同，即； ∴， 设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D， 当时，点D坐标为或； 当时， ∵， ∴，点D坐标为； 当时，点D在的垂直平分线上， ∴点D与原点重合，点D坐标为； 综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或． 【考点剖析】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键． 考点23：求关于原点对称的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，已知中，，，． (1)若与关于原点成中心对称，请直接写出点，，的坐标并在网格图中画出； (2)线段绕坐标原点逆时针旋转后点的坐标是_________． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查坐标与图形以及旋转作图，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作出点A、B、C的对应点，，，再写出其坐标即可； （2）按要求作出旋转后的点，再写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，，点，，即为所作， 所以，； （2）解：如图，线段绕坐标原点逆时针旋转后点的坐标是， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆南岸·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移5个单位，再沿轴正方向平移2个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出，并求出的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析，13 【思路引导】本题考查了中心对称变换以及平移变换． （1）直接利用平移的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到，并根据平移确定各点的坐标； （2）利用原点对称的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到；根据割补法求面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， 由图知，，，； （2）解：如图，即为所求． ． 考点24：已知两点关于原点对称求参数 【典例精讲】（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴必有交点； (2)若该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，求m的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】（1）证明判别式即可， （2）根据该抛物线与直线的两个交点关于原点对称，则设两交点坐标分别为 ，再把这两点分别代入抛物线的解析式中，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 抛物线与x轴必有交点； （2）解：依题意可设抛物线与直线的两交点坐标分别为 ，将两点分别代入抛物线的解析式中， 联立得： ， 解得． 【考点剖析】本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 【变式训练】（21-22九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． (1)直接写出AC与y轴交点的坐标 　 　． (2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为 　 　． (3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． 【答案】(1) (2)0 (3) 【思路引导】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，进而可得出答案． （2）由图可知，△ABC 与△PQR是关于原点成中心对称，进而列出方程组，求出a,b的值，即可得出答案． （3）根据平移的性质作图即可；利用割补法求解三角形面积即可． 【规范解答】（1）设直线AC 的解析式为y＝kx+b， 将A（4，3），C（1，2）代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝， 令x＝0，得y＝， ∴直线AC与y轴交点的坐标为（0，）． 故答案为：（0，）． （2）由图可知，△ABC 与△PQR是关于原点成中心对称， ∴可列方程， 解得， ∴a﹣b＝0， 故答案为：0． （3）如图，即为所求． 的面积为． 【考点剖析】本题考查作图-平移变换、中心对称、用待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 考点25：判断两个点是否关于原点对称 【典例精讲】△ABC和 关于点O对称，下列结论不正确的是（ ）. A．AO＝ B．AB∥ ​ C．CO＝BO D．∠BAC＝∠ ​ 【答案】C 【规范解答】试题解析：点C与点B不是对称点，所以线段CO不一定与线段OB相等． 故选C. 【变式训练】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 【答案】D 【思路引导】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案． 【规范解答】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误； B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误； C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误； D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确； 故选D． 【考点剖析】此题主要考查了关于xy轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆． 考点26：按图形的变换要求画出另一个图形 【典例精讲】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【思路引导】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【规范解答】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 【变式训练】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【思路引导】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【规范解答】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 考点27：按图形的变换要求画出另一个图形 【典例精讲】将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现. 【规范解答】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合. 故选B. 【考点剖析】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作. 【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ． 【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF 【规范解答】 由图可知，把△ABC绕点O逆时针旋转90°可得到△DEF. 考点28：分析图案的形成过程 【典例精讲】（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形； （2）结合（1）即可拼接组成图形； （3）结合（1）即可拼接组成图形． 【规范解答】（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：如图3所示： 【变式训练】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段AB为边画一个锐角，使其面积为6． （2）在图②中以线段CD为边画一个钝角，使其面积为6． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【思路引导】（1）作以AB为底的锐角三角形即可； （2）根据面积为6作图即可； 【规范解答】（1）以AB为底，设高为h，则，解得，如图所示； （2）当时，，，如图所示， 【考点剖析】本题主要考查了格点作图，准确分析作图是解题的关键． 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【思路引导】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【规范解答】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【思路引导】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 3．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【规范解答】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 5．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【答案】 【思路引导】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【规范解答】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 16．如图，正方形的边长为一个边长为的小正方形沿着正方形的边连续翻转(小正方形起始位置在边上)，当这个小正方形翻转到边的终点位置时，它的方向是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【思路引导】根据题意画出小正方形连续翻转后的草图，由此即可解答． 【规范解答】根据题意画出小正方形沿着正方形的边，连续地翻转到边的终点位置时的图形（如图），由此可得，小正方形回到边的终点位置时它的方向是向下． 故选C．    【考点剖析】本题主要考查了生活中的旋转现象，根据题意画出小正方形连续翻转后的草图是解决问题的关键． 17．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ）      A．6 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【思路引导】由题意结合图形判断出每次变换后，骰子朝上一面的点数，即可得出结论． 【规范解答】解：由题意结合图形可知：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数为5； 完成2次变换后，骰子朝上一面的点数为6； 完成3次变换后，骰子朝上一面的点数为3； 完成4次变换后，骰子朝上一面的点数为5． 故选B． 【考点剖析】此题考查的是图形的旋转和探索规律题，结合题意和图形找出变换规律是解决此题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是D，E，如果点B，D，C恰好在同一条直线上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质，逐项进行判断即可． 【规范解答】解： 绕点A顺时针旋转得到， 根据旋转的性质可知：，旋转角， 故A，B不符合题意； 如图，记，的交点为， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转可得：，则， 而， ∴， ∴， 故C不符合题意； ∵，， 当时， ∴，与题干信息不符， 故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【思路引导】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【规范解答】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； （2）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； （3）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； （4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 综上所述，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有2个． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，过点作直线，是边上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转交直线于点． （1）若，则的值为 ； （2）若，，，则的面积为 ． 【答案】 5 【思路引导】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，证明，即可得到； （2）过点作于点．求出，，即可求出的面积． 【规范解答】（1）解：， ． 直线， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则， ， ， ． 将射线绕点顺时针旋转交直线于点， ， ， ， ， ． 故答案为： （2）解：如图，过点作于点． ，， ． ， ，． ，，， ， 解得， ，， 的面积为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【规范解答】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键； （1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质，，，进而得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，推出，继而根据勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 培优拔高 6．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点D，求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质等知识，正确理解旋转角的概念并且正确地求出的度数是解题的关键．由于点，得，因为，所以，由旋转得，则，即可得到问题的答案． 【规范解答】解：于点， ， ， ， 由旋转得， ， 故选：B． 7．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E.当点D落在边上时，交于点F，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、旋转的性质；由旋转可推出，根据三角形的内角和和等边对等角求出，从而得到，即得到，再根据即可求解． 【规范解答】解：由旋转可知：,,， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为 ． 【答案】3或4或8 【思路引导】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据旋转的性质解答即可． 【规范解答】解：如图： ①如图1，当点落在点时，此时； ②如图2，当点落在边上时，此时； ③如图3，当点落在边上时，此时． 故答案为：或或． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，点在射线上，过点作射线的平行线，与的平分线交于点，点在线段上（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：①； ②； (2)连接并延长，分别交，于点，．若，，求线段的长． 【答案】(1)① 见解析；②见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据角平分线定义及平行线的性质求出，再根据等腰三角形的判定定理即可得证； ②根据平行线的性质、旋转的性质证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角平分线的定义即可得证； （2）在上截取，连接，过点作于点．证明，根据全等三角形的性质求出，，结合平行线的性质、等腰三角形的判定求出，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：①平分， ． ， ， ， ； ②， ． 由旋转的性质知，， ， ， ． 在和中， ， ． 平分， ， ． （2）解：如图，在上截取，连接，过点作于点． ， ，． 平分， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， ． ， ． ， ． ， ，． 在中，， 由勾股定理得， ． ， ． 【考点剖析】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用有关定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）（1）【发现证明】如图，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______ ②如图，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______不要求证明； （3）【联想拓展】如图，若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①不成立，此时，理由见解析；②，理由见解析 （3） 【思路引导】（1）证明，可得出，则结论得证； （2）将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证； 将绕点A逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证； （3）求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解． 【规范解答】（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图， ，，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 在和中，      ∴， ， ； （2）解：不成立，此时，理由如下： 如图，将绕点A顺时针旋转至， ，，，， ， 在和中，      ∴， ； ；如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， ， ， ， 在和中，      ， ， ， 即． 故答案为． （3）解：由可知， 正方形的边长为， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$