2025届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学

三湘名校教育联盟·2025届高三第二次大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】C 【解析】由题意可得A={x|一4≤x≤0}，B={x|一3≤x≤1}，可得A∩B={x|一3≤x≤0}，故集合A∩B 中所含整数有一3，一2，一1,0，共4个，故选C 2.【答案】A 【解折】曲感意可得：得器321号号放一号+号其健部为号放选八 5 3.【答案】A 【解析】由2025>2025≥1及指数函数的单调性可得a>b>≥0，令函数f(x)=x3,易得f(x)单调递增，故当 a>b≥0时，一定有a3>b3,故充分性成立，但由a3>b3只能推出a>b,即必要性不成立，故“2025>2025 ≥1”是“a8>b3”的充分不必要条件，故选A. 4.【答案】A 【解析】由题意可得sin(0+10)=-4,故sin(20+110)=in(90°+20+20°)=cos(20+20)=1一2sim(8+10) =1-2-)=8放选A 5.【答案】0 【解析】由向量=(4,3)，S=(2,10),可得=A店=-=(2,10)-(4,3)=(-2,7)，所以5在上的投 6.【答案】C 【解折】易知5，-a,-号+2-)十d-2,者，S,-a也为等龙数列，则号+（亿-昌）十d-2为 完全平方，则(2-d)小 -2d(d-2)=0,解得d=4,故选C. 7.【答案】D 【解析】因为∫()关于点m,D中心对称，所以函数gx)=∫红十n)-4=1n十1+”+2红十2m-4为奇函 x十m+n 数，则2n-4=0,即n=2,且y=ln 7子2为奇函数，所以m十2=一3，解得m=5,放f)三h十 x-5 21-m=1.且了6r)=2G+1-故切线斜率为f(7)- 6 g,故选D. 8.【答案】B 【解析】设△ABC的内切圆半径为r,由题意可得bc0sC+cc0sB=2,由余弦定理可得6·。+6C 2ab aitcibatbcaitc-b 1 2ac 2a 2a =a=2,而Saax=2 besinA=2(a十b+c)r,故r= 3 2 【高三数学试题参考答案第1页（共6页）】 2十b十。，由余弦定理可得u2=b+c2-2 becosA.则4=b2+e2-bc>bc,当且仅当b=c时等号成立，而4= be h+c)户-3c,则b+c=V3b+4,其中c≤，故r=5. bc √3 bc 2·2+6+c2 ,令√3bc+4= 2+/3bc+4 1(2<≤)，放r=3.-43 G·27-2》故运B 9.【答案】AC 【解析】对于A:因为2x十y=1≥2V2‘了，则y<日，当且仅当2x=y,即x=y=时取等号，放A正 确，对于B.1+4=2红++42+》_8r+y+6≥28x·立+6=6+42，当且仅当8=兰，即x x y x y x 2y=2-2时取等号，故B错误：对于C:因为2x十y≤ 2-1 4.x2+y 2 2 ,则4x+y≥ 2,当且仅当2x=y 即x=y=时取等号，故C正确：对于D:因为x+D=×2ry+1<号×[十g+D门=当 且仅当2x=y十1，即=y=0时取等号，这与xy均为正数不盾，放x十1<宁，放D错误，放选AC 10.【答案】AD BL 【解析】如图所示，对于A,因为BB,亡平面BC:F,BB1∩平面BC1F=B,故BB 与平面BC,F的交点为B,且是唯一的.又因为B,G,H三点不共线，所以GH不 经过点B,又GHC平面BC,F,所以直线GH与直线BB1没有交点，即直线GH 与直线BB,异面，故A正确：对于B,因为AB的中点为E,AA,的中点为F,所 以点G是△AAB的重心，FG:GB=1:2,若GH∥BC1,则FH:HC,=1:2, 事实上：A,户=入A,C=入(A1A+AC)=A(2A,F+2A,C)=21A,京+ B H 2λAC1,所以H是FC,的中点，FH：HC1=1:2不成立，故B错误：对于CD 选项，如图，取线段BF的中点Q,连接A,Q并延长，交BE于点P,下证BC1∥平 面A:PC:由H为C1F的中点可知HQ∥BC1,又BC,丈平面A,PC,HQC平面 A,PC,所以BC1∥平面APC,故D正确，C错误；故选AD. 11.【答案】BCD 【解析】由题意可得f'(x)=e一n,当x∈(-o∞，lnn)时，f'(x)<0,f(x)单调递诚，当x∈(lnn,十o∞)时， f'(x)>0,f(x)单调递增，故a,=f(lnn)=n2+n-nlnu.对于A:a1=2,ag=6-2n2,a2一2-a1=2 2n2>0,即a1<a2-2,故A错误；对于B:设函数F(x)=x2-1一xlnx,x∈N,,F'(x)=2x-lnx-1,设函 数gx)=2x-1r-1g(x)=2-子x≥1时，则g'a)>0Pgx)单调递增，放g)≥g1)=1>0= F'(.x)>0→F(x)单调递增，故F(.x)≥F(1)=0→n2-1-nlnn≥0→n2十n-nlnn≥n+1→a.≥n+1,故B 正确；对于C:易知n>lnn,又因为f(x)在x∈(lnn,十o∞)上单调递增，故f(lnm)<f(n)<f(n十1)≤ f(a,),故f(am)>f(n),故C正确；对于D:am+m一a-am=m[n+lnm一ln(n+m)]+n[m十lnn ln(n十m)],只需证明n十lnm-ln(n十m)>0即可，而n十lnm=lne"m,由e'>x十1(x≥1)易得me> m(n十1)=m十mn≥m十n,故n十lnm一ln(n十m)>0,同理可得m十lnn一ln(n十m)>0,故a+m>am十 am,故D正确，故选BCD. 【高三数学试题参考答案第2页（共6页）】 12.【答案】(-8,0] 【解析】因为命题“Hx∈R,ax2一a.x一2<0”为真命题，当a=0时，一2<0成立，当a≠0时，则 1a<0 ,解得一8<a<0,故a的取值范围是（一8,0]，故答案为（一8,0]. △=a+8a< 13.【答案】[-8.24] 【解析】由题意可得AB的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP在A丽 方向上的投影长度的取值范围是[一2,6]，由数量积定义可知AP·AB等于AB的模与 AP在AB方向上的投影长度的乘积，所以AP·AB的取值范围是[一8,24]，故答案为 [-8,24]. 14.【答案6+2 【解析】设三棱锥P一ABC的高为h,依题意，可取BC中点O,连接OA,OP,则OA= OB=OC=1,OP=h,则△PBC的面积为，h·BC=h,△ABC的面积2OA·BC=1, 由PA=PB=,FT可得△PBA的面积为。于，于是三校维P-ABC的表面积 为√2h2+1十h+1, 由等体积可知v2团可+h+1)5-1X告，所以子-20+2+2甲-2y2于+2+2，放号号 h 22所1十2+2-322+2.设函数f(x)=220-1+2,且x>0,则() h √2.x十1-2 2.x2-3 3 x2√2x2+1x√2.x2+1(2.x+I+2) 当x<(x)<0f(x)单调递减x>2f'(x)>0, 了x)单调递增，所以了)≥层)=后十2所以h-时.是己取得最小值后+2，故答案为，后+2。 15.【解析】(1)由题意可得f(x)=3sin2x十cos2x=2sin2x十石)x∈(0，π)，…2分 令x=2x+名r∈(0，x0.则：∈（行，1），因为y=sim∈（行，1）的单调递诚区间是 π3元 22 …5分 且由受≤：<受得<：<，所以：)的单调递减区间是[后，引 …7分 2)当x∈[臣m小，则2x+∈[后2m+]因为)在区间[m 上的最小值为一2，…9分 即y=sinz 在，2m+ 上的最小值为-1，又因为∈（1），所以<2m+<18 66 ,…12分 即≤m<,故m的取值范围为 2 3 3π ……13分 16.【解析】(1)由题意得2Sn=(n+1)am,当n≥2时，2S。-1=naw-1,… 1分 两式作差得2an=(n十1)am一1am-1,(n一1)am=a-1, 3分 所以号-号则数列分}为常数数列…5分 【高三数学试题参考答案第3页（共6页）】 无单调性，故数列)不是单调数列。…6分 (2)由(1)可得2=0=1，所以4.=1，故4n·2=1·2.…8分 所以T。=1·2+2·22+3·23+…十n·2",① 10分 2T。=1·22+2·2十3·2十…十(1-1)·2十n·2m+1,②…12分 ①-②得-T,=2+2+2+…+2-n·2+1=21-2） 1-2 一n·2+1=-2-(n-1)·2+1,…14分 所以Tw=(n一1)…2+1十2.……… …15分 17.【解析】(1)如图，连接AC交BD于点O,设四棱柱ABCD一A1B,C1D1的 体积为V=Sh(其中S为菱形ABCD的面积，h为四棱柱ABCD一 A1BC1D1的高)， ……】分 所以ABDA,的体积为S·号h=.同理四面体AB,BC,的体积为 2·3h= ……2分 分 又因为四边形ABCD是菱形，所以A0=OC=2AC=2A,C1,所以点A 到平面A,BD的距离为点C,到平面A,BD距离的一半，所以四面体 1) A1BCD的体积是四面体ABDA,的体积的两倍，即三V.…4分 设点A到平面A,BD的距离为1.则2=V-名V=V 3d·25, ……5分 解得d=5.…6分 (2)如图，连接OA1,由A,B⊥A,C,得A,B⊥AC,又四边形ABCD是菱 形，所以AC⊥BD,又A,B∩BD=B,A,B,BDC平面A,BD,所以AC⊥ 平面A,BD,又A,OC平面A,BD,所以AOLAC,…8分 又A1B=A1D,BO=BD,所以A1O⊥BD,…9分 又BD∩AC=O,BD,ACC平面ABCD,所以A,O⊥平面ABCD, 以点O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA1为：轴，建立如图所示空间直角坐标系，由(1)知V=12,且菱 形ABCD的面积为S=25,所以h=2=25. …… ……11分 23 依题意，O(0,0,0).C(-√3,0,0).B(0,1,0),C(-23,0,23) 易得平面A1BD的一个法向量为OC=(一3,0,0)，…12分 设平面BC1D的一个法向量为n=(a,b,c),又OB=(0,1,0),OC=(-25,0,23). OB·n=0 b=0 所以 ,即 ,取n=(1.01), …13分 OC1·n=0a-c=0 故cos<n,0G>=n·0C n·OC2·32 14分 【高三数学试题参考答案第4页（共6页）】 故锐二面角A一BD一C的余弦值为号. ………15分 【评分细则】体题第二问若考生通过利用儿何法来求解二面角A:一BD一C,的平面角为∠A,OC,=牙，或者 利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过 程不严谨酌情扣一定的分数 18.【解析】(1)易得f(x)定义域为(0，十o∞)，f'(x)=x一alnx,显然a≠0.…1分 ①当a<0时，'(x)单调递增，不可能有两零点，不合题意.………2分 ②当a>0时，令函数g(x)=f'(x),易得g'(x)=“,故x∈(0，a)时，g'(x)<0,g(x)单调递减 x∈(a,十o∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增，…4分 当a≤e时，有g(.x)≥g(a)=a(1-lna)≥0.不可能有两零点：当a>e时，有g(a)<0,g(1)=l>0,由零点 存在性定理可得g(x)在区间(1，)必有一个零点x1.……………6分 g(a')=a(a-21na),令函数e(a)=a-21na,则g'(a)=1-2>0,即g(a)单调递增，故p(a)>p(e) e一2>0，即g(a2)>0,故g(x)在(a,十o∞)上有零点x2,综上a∈(e,十o∞).……8分 x一x1 （2)依题意有g(x)=g(x)=0,即x1-aln1=r:一alnc:=0.故得a=nx,一nnr:-nz 2-TI ,………10分 因此，=h要=令1-2∈1.e则1，兴同理n,=兴故dh,十a,= x2-xx1x2-1 1 告m,欲证2<edr+lnr,<e+1,即证221m<(e+1 tfe' ………12分 t+e 令函数m()=lt-2二， 2广。，函数u()=(e+1n1E(c),只需证明m>0,n()>0即可，又 t+e m')=+e-2e+D--1)+e-10. t(t十e)2 ……14分 t(t十e) 故m0)是猫顶数，故m>m①=0义=e0=(e+1-兰-小令数 t (t+e)2 A)=e2+1-号-1，则)-号-1>0，放h)单调递增，故)>h1)=0,…16分 因此n'(t)= 4+eh)>0,放n)单调递增，故nu)>n)=0,故2<clnr+lnr,<e+1得证… …………………17分 【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可 用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分。 19.【解析11D因为a,为满是“绝对值关联"的m阶数列.假设a,≥0，则21a:-2a,=之a,-之a,=0≠ m-1(m≥2，不满足题意，同理若a,<0,则1u,-a,=-之a,+公a,=0≠m-1(m≥2)，也不满足 【高三数学试题参考答案第5页（共6页）】 题意，… ……4分 所以a1,a2,…,am中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设a1,a,…,a1>0,a,a+1,…,am<0 (其中1≤1<k<m),故存在i∈{1,2，…，l}j∈{k,k十1，…，m},满足aa,<0.…6分 (2)①一个满足“绝对值子关联”的4阶数列为：子，音、一子、一号：（答案不唯一，符合要求即可）…8分 3333 一个满足绝对值1关联的5阶数列为：号，号，子-1，-1：（答案不唯一，符合要求即可）…10分 222 ②设a<a(i=1,2…m),且2a-2a=一1.不妨设a1a…a≥0，a+1a42…a,<0,其 中1<<n,并记之a,=1,名，a,=y,为方便起见不妨设x≥（否则用-a,代替a,即可）… 于是得21a,=x十y…之a,=x-y,因为21a,-空a,=n-1,即(x+y)-(x一y)=n-1 所以y-”号≥”2，一方面有”号-y<a-以，另-一方面”长<a. 所以m-1≤（1一k)以十从=以，即X≥”二1，当且仅当n一k=k,即k=2时等号成立。…13分 (①当m为偶数时，设n=2s∈N则有前项为正数，后s项为负数的数列”二，”一1。 n n-1_n-1 ”骨是“绝对值”，关联“的m阶数列，又≥”，所以入的最小值为” ，…,n1 一；… ………14分 当n为奇数时，设m=2+1∈N.则”号=y<m-a,”号<<以等价于 2 A之2，十-6且A≥名，即A不小于2,6与中的最大者. ……15分 当k=x或s十1时，两者中的最大者均为1，有入≥1， 当<：或>+1时，有若>1或2十i->1,则有>1 所以取k=s或s十1时，A可能取得最小值1， 且有前：项为正数，后十1项为负数数到11.1，一号号，”号符合愿意所以入可以 取得最小值1.…… …16分 n-1 ,n=2s 综上所述入的最小值为 (s∈N%).… …17分 1,n=2s+1 【高三数学试题参考答案第6页（共6页）】机密★启用前 三湘名校教育联盟·2025届高三第二次大联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合A={x|一4≤x≤0}，B={x|一3≤x≤1}，则集合A∩B中所含整数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3-i 2.已知：=计2则：的虚部为 7 A.5 c- D. 3.“2025>2025≥1”是“a3>b3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4已知in0+109=-,则sin(20+109 1 A.8 B.6 C.-g n- 5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒 子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外 线粒子)，不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光 设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A,B,通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平 面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为sA=(4,3),sB=(2,10),设光子B相对光子A 的位移为s,则s在xA上的投影向量的坐标为 43 A.(55 /5239 B.(-2,7) C.2525 43 D.2525 【高三数学试题第1页（共4页）】 6.已知等差数列{am}的前n项和为S。,公差为d,a,=2,若S。一am也为等差数列，则d的值为 A.2 B.3 C.4 D.8 7.已知函数fx)=1nZ士+2x(m≠1D关于点(m,4)中心对称，则曲线y=f(x)在点（一m, x+m f(n一m)处的切线斜率为 A.4 C. 13 D 8.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且beosC+ccosB-=2,A=,则△ABC的内切 圆半径的最大值为 A号 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正数x,y满足2.x+y=1,则 A.8.xy≤1 B.1+4>≥12 cx+≥号 D.x(+1)≤4 10.三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1,设AB的中点为E,AA1的中点为F,AE与BF交 于点G,AC与CF交于点H,则 A.直线GH与直线BB1异面 B.GH∥BC C线段AE上存在点P,使得BC1∥平面A1PC D.线段BE上存在点P,使得BC1∥平面APC 11.设函数f(x)=e'一n.x十n2,n∈N+,记f(x)的最小值为am,则 A.a1>a2-2 B.am≥n+1 C.f(a)f(n) D.an+m>am十am 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知命题：“Hx∈R,a,x2一ax一2<0”为真命题，则a的取值范围是 13.已知P为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则AP·AB的取值范围是 14.三棱锥P-ABC中，AB=AC=√2，AB⊥AC,平面PBC⊥平面ABC,且PB=PC.记P-ABC 的体积为V,内切球半径为r,则子-己的最小值为 【高三数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=3sin2x十cos2x,x∈(0，π). (1)求f(x)的单调递减区间： (2)若f(x)在 2m]上的最小值为-2，求m的取值范围 16.(本小题满分15分)记首项为1的数列{am}的前n项和为Sm,且2S.=(n+1)am. (1)探究数列“}是否为单调数列； (2)求数列{am·2a,}的前n项和T。. 17.(本小题满分15分)如图，四棱柱ABCD一AB1C1D1中，四边形ABCD是菱形，四面体ABC:D 的体积与四面体AB,BC1的体积之差为2，△ABD的面积为23. (1)求点A到平面A1BD的距离： DI (2)若A,B=A1D,A,B⊥A,C1,BD=2,求锐二面角A1一BD一C 的余弦值. 【高三数学试题第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=+ar-ax1r在(0，十∞)上有两个极值点r,且 x1<x2 (1)求a的取值范围： (2)当2∈(1，e)时，证明：2<elnx1+lnx<e+1. 19.(本小题满分17分)对于m(m=2,3,)项数列{a},若满足a-|∑a,=m-1,则称它 为一个满足“绝对值关联”的m阶数列. (1)对于一个满足“绝对值关联”的m阶数列{an},证明：存在i,j∈{1,2，…，m},满足aa,<0; (2)若“绝对值关联”的m阶数列{am}还满足a:≤入(i=1,2,…,m),则称{a.}为“绝对值入关 联”的m阶数列. ①请分别写出一个满足“绝对值子关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不 必论证，符合要求即可)： ②若存在“绝对值入关联”的n阶数列(n≥2)，求入的最小值（最终结果用常数或含n的式 子表示). 【高三数学试题第4页（共4页）】■ 三相名校教育联盟·2025届高三第二次大联考 数学答题卡 姓名 维级 贴条形码区 考号 考生禁销■手平丝有面光量始事射风件用出能笔短除州铁专每见 有陆面，香在去多销地维舞目已纳销名，准考证可第同老昆游日堂，情准查 娃 和两精址在规地消位童 童 主生件速2纳桂用推经笔城程：年店外通2能用机上专年目色里基苦？地小年 学 事 法择带（情用2召帕笔流涂】 5IAJ[jLG】Lp LA]UnI Ic][p] 2[A)【Bj《a1[0j 61a1B】⊙1{D1 104A1B00 3[A[D 7[A][3 [c]Ib] 11A1I1[e1[D 4[A)IB3 IC}[0] 84A【)【0!D 林落保题【清使用05毫米的黑色字凌苦字第书写】 2(5分] 13(3分) 4(5分) 满在青酒门的害面厚碱内作香，相市能和起和更区降销新南无数 15(本小慧W分13分) 高三数学第1页（共2夏） 单在春酒用青有四通内汽带，理国师钢估用夏国的茶带方草 坏（本小避清分15分） 17.(本小题满分15分) 清害名相科的满排丝域内作有，监出维州容目准面区域的满率龙道 1风.（本小遥橘分17分） 事在务箱目的滋国以域内作有，想比推组法套抛定道域的法来光重 高三数华郊2红（共2夏） 改（本小题清分7分） 童有然道目的落国以道内作活，道出重触修理组宝江植的答室士重