安徽省皖南八校2026届高三上学期第二次大联考数学试卷

2026届“皖南八校”高三第二次大联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟， 2,考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：集合与常用逻耕用语，不辛式，函数与导数，三角函数与解三角形，向量与 复数，数列，立体几何。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的、 1.已知复数名=a-i,z2=1十2i(i为虚数单位，a∈R),且兰是电虚数，刂a的值为 A号 B-司 C.2 D.-2 长 2.已知集合A=(zlog2x<1),B=(z|lz<2),则A∩(CRB)= A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x≤2) C.{xl-2<x<2} D.☑ 3.已知函数f(x)=ln(x2一2x十2)，下列函数中为偶函数的是 A.f(x)+1 B.f(x)-1 C.f(x+1) D.f(x-1) 4在等比数列(0)中，a4=员2=4，则十+…十= al a2 as A器 B号 c沿 n陪 5.已知f(x)为奇函数，当z<0时，f(x)=x十sinx十1，则曲线y=f(x)在x=受处的切线方 程是 A.x+y-π-2=0 B.x十y-2=0 C.x-y+2=0 D.x-y=0 1 6.已知函数f(x)=sin2x十acos2x的一个零点是石，为了得到y=2cos2x的图象，需要将函数 7 y=f(x)的图象 A.向左平移登个单位长度 B向左平移爱个单位长度 C.向右平移亞个单位长度 D,向右平多答个单位长度 【“皖八”高三二联·数学第1页（共4页）W】 7.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当A它·AF取得最大 值时，tan∠EAF= A.1 B号 c号 D是 8.设函数f(x)=(x一a)(x-b)(x一c),其中0<a<b<c,若对任意x∈R,f(x一1)·f(4一x)≤ 0恒成立，则 A.a十c=2,6=3 Ba+e=3,6=号 C.a+c=2,b=1 D.a+c=3,b=1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知正实数a,b满足等式loga=logb,则下列结论可能成立的是 A.1<b<a B.a<b<1 C.1<a<6 D.6<a<1 10.在正四棱锥P一ABCD中，已知E,F分别为PB,PD的中点，点Q为AP上一动点，满足 P=λPA(a∈[0,1])，则下列说法正确的有 A.BD⊥平面PAC B.当X=号时，平面QEF∥平面ABCD C.不存在λ，使得AC⊥平面QEF D.当入=号时，Q,E,F,C四点共面 11.已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2sinC-sinA=√2sinB,2cosC十 cosA=√6cosB,且△ABC的面积为3十√3，则 AB=晋 B.sin C-cos C=sin A C.b2=a2+4 D.△ABC的周长为3√2十2√+√ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(3,一1)，b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的模为 A 13.如图，在几何体ABC一A1B1C中，侧棱AA1,BB1,CC1均垂直于底面ABC,已 知AB=BC=AC=BB1=1,AA1=3,CC1=2,则该几何体的体积是 14.已知等差数列(a,}的公差为，若集合A={zx=c0sa,n∈N~)={ax,则 x1x2= 【“皖八”高三二联·数学第2页（共4页）W】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤： 15.(13分) 已知函数f(x)=2 sin xcos十2√5cos2x一√5. (1)求函数f(x)的对称轴方程； (2)若f受)=号，x∈（一元，0），求f+晋)的值， 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcos A十√5 asin B,且a=2. (1)求A; (2)若点D在线段BC上，且满足A市=A店+AC ABI ACI ,求△ABC的面积. 17.(15分) 如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其 中AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°. (1)求证：BC⊥AF; (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点Q,满足DQ=λDF+μDB(,μ∈R),且直线AQ⊥平面BCE,求AQ 的长 【“皖八”高三二联·数学第3页（共4页）W) 18:(17分) 已知等差数列{an)的前n项和为Sn;S2=4S1,对任意正整数n,均有a2n=2an十1. (1)求an和Sn; (2)若数列{in)满足b1=1,且bn·a=am-1·bn-1·an+1(n≥2，n∈N'),求数列(bn)的通项 公式； (3)记数列 √店的前n项和为T证明：t,>ln(n十1). 1 19.(17分) 已知函数f(x)=e cos一mx十1，g(x)=f(x)十mx(m∈R),其中函数f(x)的导函数为 f(x). (1)当m=1时，求函数f(x)在[0，π]上的单调性； (2)证明：当m>0时，g(x)在[0，受]上存在极大值点x,且an=m: (3)证明：Ym>0,z∈[0，]，使得g)>e-片+1恒成立. 【“皖八”高三二联·数学第4页（共4页）W】 2026届“皖南八校”高三第二次大联考·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C4=4克=a-D-2=a-2-2+1)i,因为兰为纯虚数，所以a-2=0且2a十1≠0，所以a=2. x21+2i(1+2i)(1-2i) 故选C. 2.DA={xlog2x<1}={x0<x<2},B={x|x<2}={x|-2<x<2},则CB={x|x≤-2或x≥2}， A∩(CRB)=⑦.故选D. 3.C因为x2-2x十2=(x-1)2+1≥1，故f(x)的定义域为R,f(x)+1=ln(.x2-2x+2)+1,不是偶函数，故 A错误；f(x)-1=ln(x2-2x十2)一1，不是偶函数，故B错误；f(x+1)=ln(x十1)2-2(x十1)十2)= ln(x2+1),为偶函数，故C正确；f(x-1)=ln((x-1)2-2(x-1)十2)=ln(x2-4x+5),不是偶函数，故 D错误.故选C. 4.A因为a1= 合a:=4,所以2=g=8,所以g=2,a=2,所以+十…+-2+1+2十+ a 2x[1-(2门 故选A. 1-2 5.D因为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x十sinx十1，则当x>0时，f(x)=-f(-x)=x十sinx1, f()=1十osx从而f(受)=1，又f(受)=，则曲线y=f(x)在x=艺处的切线方程是y-否=1× (x-),即x一y=0.故选D. 6A张题意：得f(管)-血答+aas音-0+号-0，得a-,所以f()一血2红一50s2红= 2sin(2x-音)y=2cos2x=2sin(2x+）=2sim[2(x+罗)）-号]，需要将函数y=f(x)的图象向左平移 登个单位长度，故选A. 7.C以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标y 系如图所示，则A(0,0),E(2,1).设DF=x,则F(x,2),0≤x≤2，故AF=(x,2), A它=(2,1).所以AE·A户=(2,1)·(x,2)=2x十2，当x=2时，AE·AF取得最大 值，北时an∠EF=a(停-∠AE)1 1 1+ 合故选C B 8.B令g(x)=-f(4-x)=-(4-x-a)(4-x-b)(4-x-c)=(x+a-4)(x+b-4)(x+c-4),因为 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的零点为a,b,c,可知y=f(x-1)的零点为a十1，b+1,c十1，y=g(x)的零点 为4-a,4-b,4-c,又因为0<a<b<c,则1<a+1<b+1<c+1,4>4-a>4-b>4-c,若f(x-1)·f(4 -x)≤0，即f(x-1)·[-g(x)]≤0，则f(x-1)·g(x)≥0，可知y=f(x一1)的零点与y=g(x)的零点 a+1=4-c 相同，则b十1=4-b,可得2b=a+c=3,b=多.故选B. (c+1=4-a 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第1页（共6页）W】 9.CD由题意，设loga=logb=m,则a=(号）广，b=(}）”,当m>0时，0<b<a<1,当m=0时a=b=1, 当m<0时，1<a<b.故选CD. 10.ABD对A,如图，连接AC,BD交于点O,连接PO,因为在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 所以AC⊥BD,又因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD,又因为AC∩PO=O,AC,POC平面PAC, 所以BDL平面PAC,A正确：对B,连接QE,QF,EF,因为X=,所以QE∥AB,QF∥AD,又QE,QFC平 面QEF,AB,ADC平面ABCD,QE∩QF=Q,AB∩AD=A,所以平面QEF∥平面 ABCD,B正确；对于C,因为PA=PC,O为AC中点，所以PO⊥AC,因为四边形 ABCD为正方形，所以AC⊥BD,又因为BD∩PO=O,BD,POC平面PBD,所以AC ⊥平面PBD,则AC⊥平面PEF,所以当入=0，即点Q与P重合时，AC⊥平面QEF, C错误：对D,设EF与P0的交点为H,当=号时，PQ=Pi,QC-P心-P戒=P心 -}pi,Qi=pi-P=(pi+P心)-}Pi=P心-pi,则Q心=4Qi,所以Q,H,C共线，所以 Q,E,F,C四点共面，D正确.故选ABD. 2sin C-sin A=v2 sin B,(4 sinC-4sin Csin A+sin2A=2 sinB, 11.BCD由 得 两式相加得4+4cos(C+ (2cos C+cos A=/6 cos B,4 cos2C+4cos Ccos A+cos2A=6 cos2B, A)十1=2十4cos2B,得4cos2B+4cosB-3=0,得(2c0sB-1)(2c0sB+3)=0,得cosB=,或cosB= 2sin C-sinA 2 一多（舍去），因为0<B<受，所以B=受，故A错误：则 zsin C in 得 得 2cosC+cosA=6 2, 2cos C=/6 2-cos A, 4sinC+4 cos'C= (5+sinA)+(停-c0sA),得4=9+6smA+smA+ 4 -√6cosA十cos2A,得 sinA=osA,即anA=1,因为0<A<受，所以A=斧，得C=x一吾-至=登则sinC-cosC= Esin(C)-厄sin(登-)=Esm吾-竖=s血A-号，故B项正确：由锐角△ABC的面积为3十 2 VB,得2 acsin B=3十5，得ac=4(W5+1,设△ABC的外接圆半径为R,则2 Rsin A·2 Rsin C= 465+1).而nA-要mC=sm登=血登=sm(停+）-后2，则，号×62 4 2 45+1),得R=2,得a=2 Rsin A=2X2X号=22，b=2 Rsin B=-2×2×5=25,e=2 Rsin C=2X2X 2 +E=6+2,得2-a2=(25)2-(22)2=4,放C项正确：△ABC的周长为a十b+c=22+25+ 4 √6+√2=3√2+2√5+√6，故D正确.故选BCD. 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第2页（共6页）W】 12.√5因为a=(3,-1),b=(2,1),a在b方向上的投影向量的模为|acos(a,b)| =5 1a 如图所示，构造一个底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱ABC一DEF, 其中，B1E=4-1=3=AA1,AD=4-3=1=BB1,CF=4-2=2=CC,因此VAC-ABC=VABG-EF,即 VcA<=2Vc,根据三楼柱体积公式.Vc愿=专×1X1Xn60X4=5,放该儿何体的体积 是V46=×5=g 21 14.一2 a,=au+(n-1)d=a十经(n-1),则cosa=cos[a+(m-l)]=cos(经+a一经)，其周期为 红=3，而nCN,即cos 4最多3个不同取值，由题可知集合A={xx=cosa,n∈N)有且仅有两个元 2x 素，A={x1,x2},则在c0san,cos a+1,c0san+2中，c0san=cos an+1≠c0sam+2或cos an≠c0sam+1= c0Saa+2,或cos an=cos a+2≠cOS an+1,又cos an=cos an+-3,即cOS an+3=cos an+2≠cos a+1,一定会有相邻 的两项相等，设这两项分别为cos0,0s(+号)·于是有c0s0=c0s(0+）,即有0叶(0+)=2x,∈乙， 解得0=x一号，&∈Z,不相等的两项为c0s0,os(+）,故1=os(kx一子)os[(kx一琴)十] 15.解：(1)f(x)=sin2x+5cos2x=2sin(2z+5)》 3分 令2x+号=+kx,k∈Z,… 4分 解得x=危+经kcZ。 故函数fu)的对称轴为直线x=登十经，k∈乙 6分 2)因为f(侵）-2sin(+晋)=号，即si(十)）是， 8分 且∈(-，0)则十晋∈（要号） 可得+晋∈(0，青)则os(+)厂1-sin(+）=, 10分 则f(+）=2sin[2(+看)+吾]=2sin2(+） =4n(十号)eo(,十吾）4x是×号器 所以(，+晋）=器 13分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第3页（共6页）W】 16.解：(1)根据题意2b=bcos A+√3 asin B, 则由正弦定理得，2sinB=cos Asin B十√3 sin Asin B, 2分 因为sinB≠0，所以2=cosA+√3sinA, 3分 所以sin(A+看）=1，… 5分 由A∈(0，x),所以A=号 7分 (2)令A正= 斋正斋则-定= 又AD=A它+A京，则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的角平分线.… 8分 1A可=(A它+A)2=A它+A产+2A它.A市=1+1+2×1X1Xc0s号=3， AD=√5， 10分 Sac=2csim晋=合(h叶0)…AD…simg即c=b叶c.… 12分 由余弦定理可得：a2=b+e-2bcos号=4， 即(b十c)2-3bc=(bc)2一3bc=4,解得bc=4,… 14分 所以SAw三bsin牙车B,…5分 17.解：(1)因为∠BAF=90°，所以AB⊥AF, 因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AFC平面ABEF, 所以AF⊥平面ABCD.… 2分 因为BCC平面ABCD,所以BC⊥AF,… 3分 (2)由(1)知AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AF⊥AD, 因为∠BAD=∠BAF=90°，所以AB⊥AF,AB⊥AD, 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2, 所以A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0), CE=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),… 5分 设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,之)， C范·m=0即 则 -2x十y=0:令=1，得m=（121),… 6分 c2.m=0, -2x+2x=0, 同理易知平面ACF的一个法向量为n=(-1,2,0),… 7分 所以cosm,n)=mn6X5 m·n 3=30 10 8分 所以平面ACF与平面BCE夹角的的正弦值为 70 10 …………………9分 (3)设Q(a,b,c),由题可知D反=λDF+uDB, 即(a-2,b,c)=a(-2,0,2)+H(-2,2,0)→a=2-2x-2,b=2μ，c=2入， 11分 即Q(2-2入-2μ，2,2λ)，所以AQ=(2-2λ-24,2μ，2λ).… 12分 因为AQ⊥平面BCE,所以AQ是平面BCE的一个法向量，所以AQ∥m, 即224=坐-空解得X=子以=司 14分 1 故4-（分1，》aà-√日+1+于- ……15分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第4页（共6页）W】 18.解：(1)因为数列{an}为等差数列，不妨设am=xn十y(xy∈R), 由a2=2am+1可得2xn+y=2(xn+y)+1=2xn+2y+1,故y=2y十1，解得y=-1, 所以an=x7—1,…1分 S2=4S1,即a2+a1=4a1,即a2=3a1, 所以2x一1=3(x一1)，解得x=2,…2分 故4.=2m-1,S.=n(aa）=1+g0-1=n.…4分 2 2 (2)方法一：由(1)得：an=2n-1, ,b,=(2n十1)(2n-3) “当≥2且n∈N时，。=(2n-1)7 8b名·会·名是.灰m b2 b …………………6分 -2×2”》×2n2×…×293××1-×- (2n-1)2 (2n-3)2 (2m-5)2 ……9分 当n=1时0=1满足么-初 综上所述：bnEN）.… 10分 方法二：由(1)得：an=2n-1, ,b1=1,am>0,bna日=bm-1am-1am+1(n≥2，n∈N*), hn0=hn1a0,… 6分 an+1 an 令cn=b·an,则数列{cn}为常数列， ………………7分 an+l c,=b。·a=bn1.==b.1=1X= 1 Q+1 an 33 9分 6号x-如 an 6n-3 10分 ⑧市加友术明哈>n》 11分 设f(x)=x-ln(x+1),x>0, 则了(x)=千1当x>0时，f(x)>0f(x)单调递增， 所以f(x)>∫(0)=0，… 13分 所以f(分)=0-n1+)>0.即号>1+)： …15分 所以工.=1++写+叶分>n1+Dtl1+）+ln(+号）l1+) 3 =ln(2x号×号x…x）=1n+1. 所以Tm>ln(n十1).…17分 19.解：(1)当m=1时，f(x)=e'cos x-x+1,f(x)=e(cosx-sinx)-1, 令h(x)=f(x),则h'(x)=[(cosx-sinx)+(-sinx-cosx)]e=(-2sinx)e,…2分 当x∈[0，π]时，h'(x)≤0， 所以h(x)=∫(x)在[0，π]上单调递减。…………4分 (2)证明：g(x)=f(x)+m.x=emrcosx+1,g'(x)=em(mcos x-sinx)=-√m2+1sin(x+0)em, 其中0满足an0=一m,m>0,0(-受，0）小…6分 令g'(xo)=0,得xo=一0，当x∈(0，一0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第5页（共6页）W】 当xe(-0,受)时，g(x)<0,g()单调递减. 8分 所以g)在[0，]上存在极大值点x 且tan xo=tan(-0)=m. ……………………… 10分 (3)由(2)知g)在[0，受]上的最大值为g(一0)=ecos((-90+1=。mcos0叶1. 11分 要证3x∈[0，受]，使得gx)>e+1对任意m>0恒成立， 即证em cos0十1>e吉十1对任意m>0恒成立， 即证cos0>em+1-立对任意m>0成立，又m=-tan0, 所以即证cos0>e++向对任意0∈（一受0）恒成立， 即证[ndms0)品gan0-1]>0.其中0e(音-o) 12分 令p(x)=ln(cosx)- tan x 因为(广-(= 1 (sin 1 cos x con(os )ctan cos x 所以p'(x)=-tanx sin +tan x+- 1 .cos'x+x sin'x sx sin'x cos'x 令n()=cosx+xsim2x,xe(-受，0）： n'(x)=-2cos xsin x+sin2x+2xsin xcos x=sin x[sin x+2(x-1)cos x]>0, 则n)在（一吾0）上单调递增，义(-1)=c0s2<0n(-子）=君>0， 则3x∈(-1，-)），使(x)=cosx十sinx=0, 解得tanx1= √所以os=√ 当xe(-受x)时，(x)<0,即p(x)<0,g(x)单调递诚： 当x∈(x,0)时，n(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以(x)在x=时取到极小值，也是最小值，…14分 [(z)]min=(z1)=In(cos z1)- 1十ctan-1= 2 -1+In(cos x1) tan x tan x =2-a-1-2ln1-)月 15分 令x)=2x-1-21-)x(-1,-: 即(x)在(-1，一于)上单调递减，9()m=p(x)=t(x)>(-军)： 16分 又()=2得-11+）>-1->品号0… 即当0e(-受.0）时，[ln(eos)g+an0-1]>0. 所以3x∈[0，受]，使得g()>c+1对任意m>0恒成立，命题得证. …17分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第6页（共6页）W】