精品解析：广东省梅州市丰顺县东海中学2024-2025学年八年级下学期开学数学试题

2024-2025学年第二学期丰顺县东海中学八年级开学测验 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 的立方根是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 如果m是任意实数，则点P（m－3，m＋2）一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数和数轴上的点一一对应 B. 任何实数都有立方根 C. 实数分为正实数和负实数 D. 若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 4. 已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A-∠B＝∠C B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C. （b＋c）（b-c）＝a2 D. a＝7，b＝24，c＝25 5. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是（） A. 不等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 已知，则代数式的值是(    ) A. B. C. 1 D. 2 8. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 若，则常数a的值为（ ） A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 10. 如图，E、F分别是的中点，若，则的周长为（　　） A. 12 B. 30 C. 27 D. 32 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则_____________ ． 12. 估计的运算结果应在_________之间（填两个连续自然数）． 13. 用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是______． 14. 如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当________，的面积等于6． 15. 如图，坐标系中四边形ABCO正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点．已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为_________________ ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 17. 如图，直线经过点A，． （1）若，则等于多少度？为什么？ （2）三角形三个内角和等于多少度？请你说明理由． 18. 如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求平行四边形的周长． 19. （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 20. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a的值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 21. 已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2．设CQ=a（a＞0）． （1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度． （2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值． （3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值． 22. 如图1，，，． （1）、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； （2）如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则 （直接写出结果）． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W一对相好点． （1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）． ①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________． ②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________． （2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期丰顺县东海中学八年级开学测验 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 的立方根是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根，掌握运算法则是解题关键．根据立方根的计算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如果m是任意实数，则点P（m－3，m＋2）一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P的横坐标与纵坐标的大小关系，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵（m+2）-（m-3）=m+2-m+3=5＞0， ∴点P的纵坐标一定大于横坐标， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴纵坐标一定小于横坐标， ∴点P一定不在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用作差法求出点P的横坐标大于纵坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数和数轴上的点一一对应 B. 任何实数都有立方根 C. 实数分为正实数和负实数 D. 若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义等，根据实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、实数和数轴上的点一一对应，原选项说法不正确，不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 4. 已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A-∠B＝∠C B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C. （b＋c）（b-c）＝a2 D. a＝7，b＝24，c＝25 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故ABC为直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故ABC是锐角三角形，不是直角三角形； C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故ABC为直角三角形； D、∵72+242＝252，∴ABC为直角三角形； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 5. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得再结合计算即可解答． 【详解】解：如图， ∵在中，， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 6. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是（） A. 不等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵ ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到． 7. 已知，则代数式的值是(    ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据x值和完全平方公式可以解答本题． 【详解】∵x＝−1， ∴x2＋2x＋1＝（x＋1）2＝（−1＋1）2＝（）2＝2， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法． 8. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，根据一次函数的性质得到函数经过第二、四象限，图象与轴的交点在轴的下方，可得出函数图象还经过第三象限，于是可判断出函数图象不经过第一象限． 【详解】解：对于一次函数， ， 图象经过二、四象限， ， 一次函数的图象与轴的交点在轴的下方，即函数图象还经过第三象限， 一次函数的图象不经过第一象限， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象和系数的关系是解答本题的关键． 9. 若，则常数a的值为（ ） A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算积的乘方，再同底数幂乘法，根据运算结果一样，列方程组，解方程组即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 故选择C． 【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂乘法，三元一次方程组，掌握积的乘方，同底数幂乘法，三元一次方程组是解题关键． 10. 如图，E、F分别是的中点，若，则的周长为（　　） A. 12 B. 30 C. 27 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质求出与的长，再由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵，F是的中点，， ∴， ∴是等腰三角形． ∵点E是的中点，， ∴． 在中，， ∴的周长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则_____________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键． 由，可得，即可得和，则m和n的值可求，则问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为7， ∴的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. 估计的运算结果应在_________之间（填两个连续自然数）． 【答案】8～9 【解析】 【分析】先将二次根式的运算法则进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴运算结果应8～9之间 故答案为8～9 【点睛】此题考查了二次根式的运算法则以及估算，熟练掌握二次根式的有关性质是解题的关键． 13. 用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可． 详解】解：当a=时，a2=，，而＜2， ∴命题“若a>0，则a2>”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14. 如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当________，的面积等于6． 【答案】或5或9 【解析】 【分析】分点P在上3种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上， ∵中，，点E是的中点， ∴． ∴， ∴； 如图2，当点P在线段上， ∵E是的中点， ∴． ∴， ∴， ∴， 如图3，当P在线段上， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或5或9； 故答案为：或5或9． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 15. 如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边 OC上一点，E 是正方形边上一点．已知B（－3，3），D（0，1），当 AD=CE 时，点E坐标为_________________ ． 【答案】(-3，2)或（-1，0） 【解析】 【分析】分点E在正方形的边AB上或在正方形的边OA上两种情况，根据正方形性质及AD=CE，利用“HL”证得Rt△ADORt△CEB或Rt△AOD≅Rt△COE，从而推出BE=OD或OD=OE，即可求得点E的坐标． 【详解】①当点E在正方形的边AB上时， ∵AD=CE，如图， ∴点E是正方形AB边上一点， ∵四边形ABCO是正方形， ∴，∠AOD=∠B=90， 在Rt△ADO和Rt△CEB中， ， ∴Rt△ADORt△CEB(HL)， ∴BE=OD， ∵B（-3，3），D（0，1）， ∴点E的坐标为(-3，2)． ②当点E在正方形的边OA上时， 同理可证：Rt△AOD≅Rt△COE(HL)， ∴OD=OE， ∴点E的坐标为(-1，0)． 故答案为：(-3，2)或(-1，0)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明Rt△ADORt△CEB是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 17. 如图，直线经过点A，． （1）若，则等于多少度？为什么？ （2）三角形三个内角的和等于多少度？请你说明理由． 【答案】（1），两直线平行，内错角相等． （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用平行线的性质求解即可． （2）根据平角，推出，再利用平行线的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 【小问2详解】 解：的内角和等于．理由： ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴的内角和等于． 18. 如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． （1）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可证，即可求解． 【小问1详解】 证明∶四边形是平行四边形， ， 点E，点F分别是的中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 平分， ， 又， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 19. （1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）不成立,EF＝BE﹣CF． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即可； （2）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝DE，DF＝CF即可． 【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD． 又∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝ED，CF＝FD， ∴EF＝ED+DF＝BE+CF． 即：EF＝BE+CF． （2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线， ∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG， ∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用． 20. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a的值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 【答案】（1）4， （2） （3）当时，，选择方案一更省钱；当时，，方案一，方案二的总费用一样多；当时，，选择方案二更省钱 【解析】 【分析】（1）根据图象得：a＝8000÷2000＝4；关于x的函数解析式为＝4x； （2）用待定系数法可得＝2x+10000； （3）分3种情况：4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，可解得当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【小问1详解】 解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4； ∴关于x的函数解析式为＝4x； 【小问2详解】 根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000， 将点（2000，14000）代入得： 2000k+10000＝14000， 解得k＝2， ∴＝2x+10000； 【小问3详解】 令4x＝2x+10000， 解得x＝5000， ∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多； 令4x＜2x+10000， 解得x＜5000， ∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱； 令4x＞2x+10000， 解得x＞5000， ∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱； 综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式． 21. 已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2．设CQ=a（a＞0）． （1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度． （2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值． （3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值． 【答案】（1）；（2）或16；（3）7或14-2或12． 【解析】 【分析】（1）如图1，作辅助线，构建直角三角形，计算PM和MQ的长，利用勾股定理可得PQ的长； （2）分两种情况： ①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形， ②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形， 分别根据PB=CQ列方程可得结论； （3）存在三种情况：①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ， ②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R， ③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q， 分别根据对称性和直角三角形的性质列方程可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ， Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10， ∴ON=OA=5，AN=5， 同理得：CD=5，BD=5， ∵四边形OACB是平行四边形， ∴OB∥AC， ∴MQ=BD=5， 当a=2时，CQ=2，OP=4， ∴BM=DQ=5-2=3， ∴PM=PB+BM=16-4+3=15， Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ===10（cm）； （2）分两种情况： ①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形， ∴PB=CQ， 即16-2a=a， a=； ②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形， ∴PB=CQ 即2a-16=a， a=16，此时Q与A重合， 综上，a的值为或16； （3）分三种情况： ①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ， ∴PB=QD， 16-2a=a-5， 3a=21， a=7； ②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R， ∵C与C'关于PQ对称， ∴PQ是CC'的垂直平分线， ∴PC=PC'，CQ=C'Q， ∴∠PCC'=∠PC'C， ∵AC∥OP， ∴∠PC'C=∠QCC'， ∴∠QCC'=∠PCC'， ∵CC'⊥PQ， ∴PC=CQ=a， ∵OP=2a， ∴BP=2a-16， Rt△BCR中，∠CBR=60°， ∴∠BCR=30°， ∵BC=10， ∴BR=5，CR=5， ∴PR=5-（2a-16）=21-2a， 由勾股定理得：， a=14+2（舍）或14-2； ③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q， Rt△PBR中，∠PBR=60°， ∴∠BPR=30°， ∵PB=2a-16， ∴BR=BP=a-8， 同理得：CR=CQ=a， ∵BC=BR+CR， ∴a-8+a=10，a=12， 综上，a的值为7或14-2或12． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，对称性等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论和数形结合思想的应用是解决问题的关键． 22. 如图1，，，． （1）、相交于点． ①求证：； ②用含的式子表示的度数； （2）如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明； （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则 （直接写出结果）． 【答案】（1）①见解析；② （2）为等腰三角形． （3）5 【解析】 【分析】（1）①由“”可证，可得； ②由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 ①证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图1，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：等腰三角形，理由如下： 如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形； 【小问3详解】 解：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点． （1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）． ①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________． ②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________． （2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围． 【答案】（1）①；5；②；（2）或． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系内两点间的距离公式，即可求解； （2）根据相好点的定义，即可求解； （3）根据相好点的定义，得到，，设 ，求出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可得：， ， ∴d的最小值为 ，最大值为5； ②如图①， ∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）， 点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P1的距离等于O到AB的距离，即点P1与点O是线段AB的一对相好点， P2（2，4）到AB的最大距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P1的距离等于O到AB的距离，即点P2与点O不是线段AB的一对相好点， P3（－2，0）到线段AB的最小距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P3的距离等于O到AB的距离，即点P3与点O是线段AB的一对相好点， ∴与点O是线段AB的一对相好点的是； （3）∵直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1， ∴直线l为y=4或y=2， ∵点C与点O是线段AB的一对相好点，， ， 当，，即，， 设 ，当点C在y=4上时， 则 ， 解得：， 当，即，, 则， 解得：， 同理 ，当点C在y=2上时，或， 综上所述，x取值范围或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $