3.4 函数的应用(一)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、幂函数及分段函数模型。通过课前预习任务单梳理模型解析式与建模步骤，结合课堂典例（如工厂污水处理、牧场蓄养量）衔接实际问题，构建“预习-建模-解模-应用”的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，每个模型配备“典例解析-方法技巧-对点练清”模块，强化数学建模与运算素养。如二次函数模型中，从牧场蓄养量问题抽象函数关系（数学眼光），通过配方求最值（数学思维），用函数式表达结论（数学语言）。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化内容高效教学。

3. 4　函数的应用(一) 明确目标 发展素养 1.掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及特点 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养 2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养 知识点　函数的应用 (一)教材梳理填空 1．三类常见函数模型： 2.数学建模、解模的过程： (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点． (　　) (2)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　) (3)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(单位：℃)随着时间t(单位：min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．由图可知前5 min温度升高越来越快． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为 (　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 答案：C 题型一　一次函数模型　 【学透用活】 [典例1]　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元． 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长，在既不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案？请通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ [解]　设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2， 则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000. 因为y1< y2，故应选择方案2处理污水． (2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元． 因为y1> y2，故应选择方案1处理污水． 建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．　　 【对点练清】 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元． (1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式； (2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)． (2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%， 则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)， 即2 100≤x≤2 625. 画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间． 题型二　二次函数模型　 【学透用活】 [典例2]　牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围． 解决二次函数模型应用题的四个步骤 题型三　幂函数模型　 【学透用活】 能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型． [典例3]　众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，试写出该种饼干900克装的合理售价． 解决幂函数模型的四个步骤 (1)认真阅读，理解题意． (2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式． (3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果． (4)转化成具体问题，给出解答．　　 【对点练清】 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量． (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 　　 【对点练清】 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工多于30人时，则给予优惠，每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元． (1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式． (2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？请求出最大利润． 解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. (2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． (3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4；当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57.又28.57－4＝24.57＞24，所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目． 名称 解析式 条件 一次函数 ___________ _____ 反比例函数 y＝eq \f(k,x) k≠0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c a≠0 y＝kx＋b k≠0 eq \x(\a\al(提炼,问题))→eq \x(\a\al(收集,数据))→eq \x(\a\al(分析,数据))→eq \x(\a\al(建立函,数模型))→eq \x(\a\al(求模、检,验还原)) eq \a\vs4\al([方法技巧]) [解]　(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)， 由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)． (2)对原二次函数配方，得 y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)＝－eq \f(k,m) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4)， 即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4). (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0<x＋y<m. 因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)， 所以0<eq \f(m,2)＋eq \f(km,4)<m，解得－2<k<2. 又因为k>0，所以0<k<2.故k的取值范围为(0,2)． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(单位：万件)与月份x的近似关系为f(x)＝eq \f(1,150)x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)． (1)写出明年第x个月的需求量g(x)(单位：万件)与月份x的函数关系式． (2)问：哪个月份的需求量最大？最大值为多少？ 解：(1)当x∈N*，且x≤12时，由题意知， g(x)＝f(x)－f(x－1) ＝eq \f(1,150)x(x＋1)(35－2x)－eq \f(1,150)(x－1)x[35－2(x－1)] ＝eq \f(1,150)x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)] ＝eq \f(1,150)x(72－6x)＝eq \f(1,25)x(12－x)， 而当x＝0时，g(0)＝f(0)＝0，也满足上式． ∴g(x)＝eq \f(1,25)x(12－x)(x∈N，且x≤12)． (2)g(x)＝eq \f(1,25)x(12－x)＝－eq \f(1,25)(x2－12x＋36－36) ＝－eq \f(1,25)(x－6)2＋eq \f(36,25)， ∴当x＝6时，g(x)有最大值eq \f(36,25). 即第6个月需求量最大，最大值为eq \f(36,25)万件． [解]　设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之间的函数解析式为y＝(mx＋neq \r(x))(1＋0.2)．由题意得1.6＝(100m＋eq \r(100)n)(1＋0.2)， 即eq \f(2,3)＝50m＋5n，① 4．8＝(400m＋eq \r(400)n)(1＋0.2)， 即100m＋5n＝1.② 由①②解得m＝eq \f(1,150)，n＝eq \f(1,15). ∴y＝eq \f(x,125)＋eq \f(\r(x),12.5).当x＝900时，y＝9.6. 故这种饼干900克装的售价为9.6元． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝eq \f(400,81)，∴流量R的函数解析式为R＝eq \f(400,81)·r4. (3)∵R＝eq \f(400,81)·r4，∴当r＝5 cm时，R＝eq \f(400,81)×54≈3 086(cm3/s). 题型四　分段函数模型　 【学透用活】 [典例4]　已知某商品在近30天内每件的销售价格P(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，t∈N，,80，25≤t≤30，t∈N，))该商品的日销售量Q(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系式； (2)求日销售额S的最大值． [解]　(1)依题意得，S＝P·Q， ∴S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800，0<t<25，t∈N，,－80t＋3 200，25≤t≤30，t∈N.)) (2)S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－t－102＋900，0<t<25，t∈N，,－80t＋3 200，25≤t≤30，t∈N，)) 当0＜t＜25，t∈N，t＝10时，Smax＝900(元)； 当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，Smax＝1 200(元)． 由1 200＞900，知第25天时，日销售额最大值Smax＝1 200元． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解：(1)由题知参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元， 当1≤x≤30且x∈N时，y＝850， 当30＜x≤60且x∈N时，y＝850－10(x－30)＝1 150－10x， 所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(850，1≤x≤30，且x∈N，,1 150－10x，30＜x≤60，且x∈N.)) (2)当1≤x≤30且x∈N时，Q＝850x－12 000，ymax＝850×30－12 000＝13 500(元)，当30＜x≤60且x∈N时，Q＝－10x2＋1 150x－12 000，其对称轴为x＝eq \f(115,2)＝57.5，故当x＝57或x＝58时，ymax＝21 060(元)，所以当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润21 060元． 【课堂思维激活】 一、应用性——强调学以致用 1．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－eq \f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围． 解：(1)令y＝kx－eq \f(1,20)(1＋k2)x2＝0，则x＝0或eq \f(20k,1＋k2)，∵k＞0，x＞0， ∴x＝eq \f(20k,1＋k2)＝eq \f(20,\f(1,k)＋k)≤eq \f(20,2 \r(\f(1,k)·k))＝10， 当且仅当eq \f(1,k)＝k， 即k＝1时，等号成立．故当k＝1时，炮的射程最大，为10千米． (2)炮弹可以击中目标等价于存在x＞0，使得y＝kx－eq \f(1,20)(1＋k2)x2＝3.2成立，即关于x的方程(k2＋1)x2－20kx＋64＝0有正根，由根与系数的关系知，满足两根之和大于0，两根之积大于0，∴只需Δ＝(20k)2－4(k2＋1)×64≥0， 解得k≥eq \f(4,3)或k≤－eq \f(4,3).∵k＞0，∴k≥eq \f(4,3). 故若炮弹可以击中它，k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)). 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f(t)表示学生注意力随时间t(单位：min)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－t2＋24t＋100，0＜t≤10，,240，10＜t≤20，,－7t＋380，20＜t≤40.)) (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ $$